曲线和方程--教案三：第一课时

1、教学目标(一教学知识点1.曲线的方程.2.方程的曲线.(二能力训练要求会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系.(三德育渗透目标渗透数形结合思想.教学重点曲线的方程和方程的曲线.曲线C和方程F(x,y=0必须满足两个条件:(1曲线上的点的坐标都是这个方程的解.(2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这时,才能把这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.教学难点对曲线的方程和方程的曲线间的对应关系的理解.教学方法启发引导法教具准备投影片两张 教学过程.课题导入师在本章开始时,我们研究过各种直线的各种方程,详细讨论了直线和二元一次方程的关系,下面哪位同学给大家叙述一下它们的关

2、系?生甲在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程.生乙在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.师这两位同学所描述的都正确,即直线和二元一次方程的关系是将其两者综合起来便更加完整、准确.如,两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x -y =0.也就是说,如果点M (x 0,y 0是这条直线上的任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即x 0=y 0,那么它的坐标(x 0,y 0是方程x -y =0的解;反过来,如果(x 0,y 0是方程x -y =0的解,即x 0=y 0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在

3、这条平分线上.那么,一般的曲线和方程的关系又如何呢?下面,我们进一步研究一般曲线(包括直线和方程的关系.讲授新课大家知道,函数y =ax 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.即这条抛物线是所有以方程y =ax 2的解为坐标的点组成的.也就是说,如果M (x 0,y 0是抛物线上的点,那么(x 0,y 0一定是这个方程的解;反过来,如果(x 0,y 0是方程y =ax 2的解,那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上.这样,我们就说y =ax 2是这条抛物线的方程.再如y =sin x 是正弦曲线的方程,y =cos x 是余弦曲线的方程,等等.综上所述,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作适

4、合某种条件的点的集合或轨迹上的点与一个二元方程f (x ,y =0的实数解建立如下的关系:(1曲线上的点的坐标是这个方程的解;(2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形.由曲线的方程的定义,还可得到:如果曲线C 的方程是f (x ,y =0,那么点P 0(x 0,y 0在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0=0. 师下面我们来看一例子.例(1证明圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25;(2并判断点M 1(3,-4、M 2(-25,2是否在这个圆上.分析:(1要想证明圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程是x 2

5、+y 2=25.即要证所有到坐标原点的距离等于5的点的坐标都是方程x 2+y 2=25的解.(或者说任一到坐标原点的距离等于5的点P (x 0,y 0的坐标x 0,y 0均满足x 02+y 02=25.且要证以方程x 2+y 2=25的解为坐标的点都在圆上(或者说方程x 2+y 2=25的任一解(x 0,y 0,以(x 0,y 0为坐标的点到坐标原点的距离等于5.(2若要判断某点是否在圆上,则只要看其坐标是否满足圆的方程即可.(1证明:设M (x 0,y 0是圆上任意一点,则|OM |=5 即52020=+y xx 02+y 02=25,即(x 0,y 0是方程x 2+y 2=25的解.(2解

6、:设(x 0,y 0是方程x 2+y 2=25的任一解,那么x 02+y 02=25. 即52020=+y x ,点M (x 0,y 0到原点的距离等于5,点M (x 0,y 0是这个圆上的点.由(1、(2可知,x 2+y 2=25是圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程.把点M 1(3,-4的坐标代入方程x 2+y 2=25,左右两边相等,(3,-4是方程的解,所以点M 1在这个圆上;把点M 2(-25,2的坐标代入方程x 2+y 2=25,左右两边不等,(-25,2不是方程的解,所以点M 2不在这个圆上.如图所示: 师下面请同学们结合练习认真体会.课堂练习生(板演练习课本P 69 练习1,2

7、,3.1.解:设到两坐标轴距离相等的点P (x ,y .则|x |=|y |,即:x =±yx ±y =0,到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是x ±y =0而不是x -y =0.2.解:如图所示: 等腰三角形ABC 的中线为线段AO .AO 的方程是x =0(0y 3注:AO 所在直线的方程为x =0.3.解:根据题意可得: =+=+25112535(02222b a b a 解之得=.9,16b a答:a ,b 的值分别为16,9.课时小结通过本节学习,要理解曲线的方程和方程的曲线,曲线C 和方程F (x ,y =0必须满足两个条件:(1曲线上的点的坐标都是这个方程的解.(2以这