2014年高中数学抽象函数专题习题

1、2014高中数学抽象函数专题习题高中数学抽象函数专题特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k#0)f(x+y尸f(x)+f(y)哥函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或f(.)黑指数函数f(x)=ax(a>0且a?1)f(x+y尸f(x)f(y)或f(xy)f(x)f(y)对数函数f(x)=logax(a>0且a?1)f(xy尸f(x)+f(y)x或f()f(x)f(y)y正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx一、f(x)f(y)f(xy)1f(x)f(y)余切函数f(x)=cotx-11f(

2、x)f(y)f(xy)f(x)f(y)一.定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y=f(x)的定义域是2,2,则函数y=f(x+1)+f(x-1)的定义域为练习：已知函数f(x)的定义域是1,2,求函数flogi3x的定义域。2例2:已知函数flog3x的定义域为3,11,求函数f(x)的定义域练习：定义在3,8上的函数f(x)的值域为2,2,若它的反函数为f-1(x),则y=f-1(2-3x)的定义域为,值域为。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)#

3、0,则f(2001)=R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，由丫=祇+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，贝Uf(2009)=.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x6R者B有f(x+5)>f(x)+5,f(x+1)wf(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=.练习:2则四)也蟠),f(1)f(3) f(5)22f2(3) f(6)f2(4)f(8)f(5)”7)3的值是 f(2001)1 .f(x)的定义域为(0,),对任意正实数x,y都有f(xy尸f(x)+f(y)且f(4)=2,则(2)2 .如果f(xy)f(x)f(y),

4、且f(1)22f2(1)f(2)f2(2)f(4)f(1)f(3)3、对任意整数x,y函数yf(x)满足：f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(1)1,则f(8)(A.-1B.1C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2,则f(2005)=()A.2005B.2C.1D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x),又Y=f(x)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x),则Y=f-1(16)为()1 1A)1B)-1C)8D)16816156、已知a为实数，且0a1,f(x)是定义在0,1上的函数，满

5、足f(0)0,f(1)1,对所有xy,均有f(xy)(1a)f(x)af(y)1，(1)求a的值(2)求f(彳)的值三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y,f(x+y尸f(x)f(y)总成立,且存在X1x2,使得f(x1)f(x2),求函数f(x)的值域。四、求解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法,区间转移法,例5.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)例6、设对满足k0,x#1的所有实数x,函数f(x)满足,fx,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否

6、存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：f(n)>0,n6N;f(ni+n2)=f(ni)f(n2),ni,n26N*;f(2)=4同时成立?若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.例9、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x-)f(x3恒成立，当x2,3时，22f(x)x,则x(2,0)时，函数f(x)的解析式为()A.x2B.x4C.2x1D.3x1练习：1 、设yf(x)是实数函数(即x,f(x)为实数),Hf(x)2f(1)x,求证：|f(x)|-V2.x32 .(重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(I)若f(2

7、)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(II)设有且仅有一个实数x。,使得f(xo)=xo,求函数f(x)的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0,(1)求f(0)的值；对任意的xi(0,1),X2(0,1),都有f(Xi)+2<lOgaX2成立时,22求a的取值范围.五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)例10设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y尸f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)二-2,求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.练习：设f(x)定义于实

8、数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求证：f(x)在R上为增函数。例11、已知偶函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意Xi,X2都有f(XiX2)f(Xi)f(X2),且当X1时f(x)0,f(2)1,(1)f(x)在(0,+oo)上是增函数；(2)解不等式f(2X21)2练习：已知函数f(X)的定义域为R,且对m、n6R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(1尸。,当x>1时，f(X)>0.求证：f(X)是单调递增函数；例12、定义在R+上的函数f(X)满足:对任意实数m,f(Xm)=m

9、f(X);f(2)=1。(1)求证:f(Xy)=f(X)+f(y)对任意正数X,y都成立；(2)证明f(X)是R+上的单调增函数；(3)若f(X)+f(X-3)&2,求乂的取值范围.练习1定义在R上的函数y=f(x),f(0)#0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a、b6R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1;求证：Xt任意的x6R,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)>1,求x的取值范围.练习2、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy尸f(x)f(y),且f(x)#0,当x>

10、;1时,f(x)<1试判断f(x)在(0,+s)上的单调性。六、奇偶性问题例13.(1)已知函数f(x)(x?0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy尸f(x)+f(y),试判断函数f(x)的奇偶性。例14:已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足1f(xy)f(x)f(y)1,(2)f(y)f(x)存在正常数a,使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。例15:设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是增函数，又f(2a2a1)f(3a22a1)。求实数a的取值范围。例16:定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,yR都有f(x+y尸f(x)+f(

11、y).(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)<0对任意xGR恒成立,求实数k的取值范围.练习：1、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab尸af(b)+bf(a).求f(0),9)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)若f(2)=2,un=f(2n)(nN*),求证:Un+i>Un(nN*).2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x,y都有f(x+y尸f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)<0恒成立.判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数

12、；若函数f(x)在-3,3)上总有f(x)w6成立，试确定f(1)应满足的条件；1。1。(3)解关于x的不等式一f(ax)f(x)-f(ax)f(a),(n是一个给te的自然数，a0)nn3、已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)=1，若a,b61,1,a+b?0时，有f(a)f(b)>0.ab(1)判断函数f(x)在1,1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x+1)<f();2x1(3)若f(x)Wm22pm+1对所有x61,1,p61,1(p是常数)恒成立,求实数m的取值范围.七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编

13、号周期性对称性1fxafxafxafxa7对称轴xayfxa是偶函数；fxafxa7对称中心(a,0)yfxa是奇函数T=2|；a2faxfbxT=bafaxfbx7对称轴x-a2b;faxfbx对称中心(,0),3f(x)=-f(x+aT=2e)-af(x)=-f(-x+a)一对称中心-1,04faxfbxT=2ba.，一,、abfaxfbx一对称中心,025f(x)=士，-T=2afxf(x)=b-f(-x+a)-对称中心-,2261f(x)=1-f(x)0ffxaT=3结论：(1)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2) 函数图象关于

14、点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别：y=f(a+x)与y=f(b-x)关于xb-2对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(»2,0)对称例17:已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()A.-1B.0C.1D.2函数f(x)对于任意的实数x者B有f(1+2x)=f(1-2x),则f(2x)的图像关于对称。例18.已知函数y=f(x)

15、满足f(x)f(x)2002，求f1xf12002x的值。例19.奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x),则在区间0,2T上，方程f(x)=0根的个数最小值为()3个B.4个C.5个D.6个练习1、函数yf(x1)是偶函数，则yf(x)的图象关于对称。12、函数yf(x)满足f(x3),且f(3)1,则f(2010)。f(x)7113、函数f(x)是定乂在R上的奇函数，且f(-x)f(-x),则f(1)f(2)f(3)ff(5)4、已知函数yf(2x1)是定义在R上的奇函数，函数yg(x)是yf(x)的反函数，若xx2。则g(x)g(x2)()A)2B)0C)1D)-25 .设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=f(x)，当0WxW1,时,f(x)=x，则f(7.5)=-0.56 .定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=.7、f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.4B.5C.6D.78、设函数f(x)的定义域为1,3,且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，已知当x2,3时f(x)=/2x,求当x1,2时,f(x)的解析式.9、(山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x4)f(x)，且在区间