第讲正余弦定理及应用

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座27)正、余弦定理及应用一. 课标要求：(1) 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解 决一些简单的三角形度量问题；(2) 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题。二. 命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角 函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角 等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托， 结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般

2、为选择题、填空题，也可 能是中、难度的解答题。三. 要点精讲1直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中，C = 90°, AB = c, AC= b,a2+ b2 = c2。(勾股定理)A + B= 90°(锐角三角函数定义)BC = a。(1 )三边之间的关系(2 )锐角之间的关系(3 )边角之间的关系asinA = cosB=,cbcosA= sinB=丄aatanA =3 / 122 .斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在 ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。 (1 )三角形内角和： A+ B+ C= n。(2)正弦定理：

3、在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。=2R。abc_sin A sin B sin C (R为外接圆半径)(3) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。2 2 2 2 2 2 2 2 2a = b + c 2bccosA; b = c + a 2cacosB; c = a + b 2abcosC。3 三角形的面积公式：111 一(1 )= aha=bhb=chc(ha、hb、he分别表示a、b、c上的咼)；2 2 2(2 )=1 1 1absi nC = bcsi nA= acs inB;2 2 22 2b sinCsinA = c

4、 sinAsinB2 si n(C A) 2s in (A B) (R为外接圆半径)2(3)(4) = a sin BsinC =2si n(B +C)2 = 2R sinAsinBsinC。(5) - abc ;4R(6)= Js(s-a)(s-b)(s-c);；(a + b+c)l;2、丿丿(7)= r s。4 解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至 少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以 包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形 的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，

5、则称为解直角三角形; 若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设厶ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。(1) 角与角关系：A+B+C = n;(2) 边与边关系： a + b > c, b + c > a, c + a > b, a b < c, b c < a, c a > b;(3) 边与角关系：正弦定理 b c 2R (R为外接圆半径);si nA s i B si C余弦定理c2 = a2+b2 2bccosC, b2 = a2+c2 2accosB, a2 = b2+c2 2bccosA;它们的变形形式

6、有：2 2 2si nAa八 bc - aa = 2R sinA, cos Asin B b2bc5 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身 的特点。(1 )角的变换因为在 ABC 中，A+B+C= n，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= A B C A B . CtanC。sincos , cossin ;2 2 2 2(2 )三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式：S = ah4 = |absinC = r * p = p(p-a)(p-b)(p-c)其中r为三角

7、形内切圆半径，p为周长之半。(3)在厶ABC中，熟记并会证明：/ A，/ B,Z C成等差数列的充分必要条件是/ B=60 ° ; ABC是正三角形的充分必要条件是/A，/ B,Z C成等差数列且a, b, c成等比数列。四典例解析题型1 :正、余弦定理(2008湖南文7)在 ABC 中，AB=3 , AC=2 , BC= , 10 ,则 AB AC =()3A.-2【答案】D113【解析】由余弦定理得 COS. CAB ,所以AB AC =3 2,选D .44 2例 1 . (1 )在 ABC 中，已知 A=32.°° , B=81.8°, a =42

8、.9 cm,解三角形；(2)在-ABC中，已知a=2°cm, b=28cm, A=4°°，解三角形(角度精确到1° , 边长精确到1cm)。解析：(1)根据三角形内角和定理，C=180°-(A B) =180°-(32.0° 81.8°) =66.2° ；根据正弦定理，asinB 42.9sin818°，8°.1(cm)；b = sin A根据正弦定理，as inCC si nAsin 32.°°42.9前66°2°泌sin 32.°&

9、#176;(2 )根据正弦定理,bsinA 28sin4° si nB a因为 °° v B v 18°° ,°-08999.2°所以 B : 64°，或 B116°.当B 64°时,C =180° -(A B) ： 180° -(40° 64°) =76°,asi nC 2°si n76°c°3°(cm).si nA - sin40°当B 116°时，C =18°°

10、 -(A B) 18°° -(4°° 116°) =24° , c=asnC =2°sin24 ： 13(cm).si nAsi n4°点评：应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有 两解的情形；(2 )对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2. ( 1)在：ABC中，已知 a =2.3 ,、2 , B=6°°，求 b 及 A;(2)在.：ABC中，已知 a=134.6cm , b =87.8cm , c=161.7cm，解三角形 解析：(1ba2 c22acco

11、sB=(2、3)2 ( 6 、2)2 -22.3 ( 62) cos 45°=12 ( .6 、2)2 -4 3( .3 1)=85 / 12 b=2.2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一： cosA2 宀2 =(2 2)2 ( 62)2-(2 3)212bc2 2 2 ( 62)2- A=600.解法二：a診nB磊加50,又、6乜2 > 2.4 1.4 =3.8, 2 3 v 2 1.8 =3.6, a v c即 00 v A v 90°, A =600(2 )由余弦定理的推论得:2 2 2A b +c a cos A2bcA 56020 ；2 2

12、2 c a -b cos B2caB ： 32053 ；E 161.72 -134.62 ,0.5543,2 87.8 161.72 2 2134.6161.7 -87.8 ,0.8398,2 134.6 161.7C =180° (A B) ： 180° -(56°20 32°53) =90°47；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2:三角形面积例3.在AABC中,sin A + cos A =AC = 212 AS3,求tan A的值和卫ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。2 sin A cos A 二-

13、2 cos(A -45 ),2« 1 cos(A -45 ).2又 |0°<A<180,二 A 45： = 60：, A = 105：.tan A =tan(45' 60 )二1.31 - ” 3sinA 二sin105 =sin(45 60 )二sin45 coSO cos45 sin60 二2 .64=_（后 +/6）。1iQ + $63解法二：由si nAcosA计算它的对偶关系式sin A - cos A 的值。S.ABCjAC ABsinAj 2 3/410 / 12sin A cos A2.(sin A cos A).2sin A cos A

14、 二20: A： 180,. sin A 0,cos A : 0.2(sin A -cosA)3二 1 -2 sin A cos A 二-.sin A - cos A 二 6+得'.2=6一得co"264从而tan A =sin AcosA以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查 运算能力，是一道三角的基础试题。 两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢? 例4. （2008年四川理17）.（本小题满分12分）求函数y = 7 -4sin xcosx 4cos2 x -4cos4 x的最大值与最小值。【解】：y =7-4sin

15、 xcosx 4cos2 x-4cos4 x2 2=7 -2sin 2x 4cos x 1 -cos x2 2=7 2sin 2x 4cos xsin x2=7 -2sin 2x sin 2x2二 1 -sin 2x:; 62由于函数z = u -16在I -1,1 I中的最大值为2Zm a x= 4 -16 =10最小值为2Zm i n= 1 -16=6故当sin 2x =1时y取得最大值10 ,当sin 2x =1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：禾U用倍角公式降幕，禾U用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键

16、；若0兰a< 2ir,sinaa /3cos a，则a的取值范围是：（C ）（ji 兀、(K、(K 4 兀(H3兀(A)1-,-(B)1 ,兀（C）.,(D)1-13 2丿13丿13 3丿132丿【解】sin a> T3cos asi na"3cosa>0(n )21si n°-cosa=2sin «->0I22)I3丿兀5兀f兀4兀又/ 0 <a兰2兀二一一<a 一一 < 0 <a 一一 < n，即 x “,故3333133丿例5. （2008四川理5）即选C ；【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正

17、余弦公式逆用，以及正余弦函数的图 象；a, b, c ,已知 sin A = 2-23【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案;例6.在锐角 ABC中，角A B, C所对的边分别为2 B +C2 Ai求 tansin 的值；(2)若 a = 2 , SABC = 2，求 b 的值。解析:(1)因为锐角厶ABC中，A + B + C =：,sinA所以1cosA =3tan2" + sin2 A2 2.2 B + C sin -22 B + C cos -2+ si n21 cos( B + C)1 + cos (B + C)1+ (1 cosA)21 + cosA .

18、 17+ -=1 cosA 33(2)因为 Slabc='2,1122,贝V bc= 3。又 S abc= bcsi nA =- be*-a2= b2+ c2 2bccosA 中,13将a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理:3b得 b4 6b2+ 9 = 0 解得 b=、, 3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。题型4:三角形中求值问题取得B +C 例7. ABC的三个内角为 A、B C，求当A为何值时，cosA 2cos-2 最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C= n，得 B+C= f，所以有 cosB+C =sin?。

19、B+CA2AAA 12 3cosA+2cos_=cosA+2sin 2 =1 2sin § + ZsinSn 2(sin? ?) + ?；当si nA =即卩A= nn时,COSA+2COSB+C取得最大值为；。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通 过三角函数的性质求得结果。例8. (2008辽宁文，17)(本小题满分12分)在厶ABC中，内角 A, B, C对边的边长分别是 a, b, c，已知c = 2 , C =-.3(I)若 ABC的面积等于3，求a, b ；(n)若 sin C - sin( B - A) = 2sin 2A，求 ABC

20、的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数 有关知识的能力.满分 12分.解：(I)由余弦定理及已知条件得，a所以 ABC的面积S = absin C 点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函 数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。，b2-ab=4 ,1又因为 ABC的面积等于. 3，所以一 absin C = 3，得ab = 4 .4分2a2 亠 b2 ab - 4联立方程组解得a = 2 , b = 2 . 6分ab =4,(n)由题意得 sin( B A) sin( B - A)二 4sin A cos

21、A,即 sin B cos A = 2sin A cos A ,8 分当 cosA=0 时，A , B , a题型5:三角形中的三角恒等变换问题 例9 .在 ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知 a、b、c成等比 数列，且a2 c2 =ac be,求/ A的大小及bsin B的值。 c 分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故 可用余弦定理。由b2=ac可变形为b =a，再用正弦定理可求bsin B的值。 / 12 , b 二2 ,2633当cosA = 0时，得sin B = 2sin A，由正弦定理得 b = 2a ,a

22、b - ab = 4,2、.：343联立万程组解得a, b =12分b=2a,3319 / 12解法一：T a、b、c成等比数列， b2 = ac。T-,22222乂 a c =ac bc,. b +c a =bc。/ A=60°。在厶ABC中，由余弦定理得：cosA= b c a =_b2 = 12bc 2bc 2在厶ABC中，由正弦定理得 sinBniM，: b2=ac,Z A=60°,absin B b2 sin 60。、3=sin60 ° =一。cac2解法二：在 ABC中，由面积公式得 bcsinA= acsi nB。2 22 2b =ac,Z A=60

23、°,. bcsinA=b sinB。.bsin B.八.3=si nA=。c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。ACl AC例io.在厶abc中，已知a、b、c成等差数列，求tan tan3 tan tan 22 22的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又 A + B+ C = 180°,所以A+ C = 120 ° ,A +CA +Cl从而=60°,故tan3 .由两角和的正切公式，2 2+ A * C tan tan得 A* C 1 - tan tan 2 2所以 tanA tanC33ta吟 ta

24、nC,tanA tanC 3tanAtanC3。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为 已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6 :正、余弦定理判断三角形形状例11.在 ABC中，若2cosBsinA= si门6则厶ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin (A+ B) + sin (A B)又：2sinAcosB= sinC,sin ( A B) = 0 ,. A= B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和 变形方向，通畅解题途径。例1

25、2 . (2008安徽理，17)(17).(本小题满分12分)已知函数 f(x)二 cos(2x ) 2sin(x-)sin( x )3 44(I) 求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程(n)求函数f(x)在区间上的值域12 2，解：(1) 7 f(x)=cos(2x ) 2si n( x)si n( x )3441 3cos2xsin 2x (sin x -cosx)(sin x cosx)2 21 .322二一cos2x sin2x sin x cosx2 2sin 2x - cos2x1二一cos2x2ji二 s i n (x2)62兀周期T厶三2k：'由2x-s*：2

26、(k z),得xpn(k Z)3.函数图象的对称轴方程为(2)i *i:5：2气一"贏上单因为f(x)二sin(2x)在区间,上单调递增，在区间612 3调递减,所以当x=3时，f (x)去最大值1:f(-石)乎舟12 2n 1nf(十刁，当x石时，f(x)取最小值所以函数f(x)在区间-,-上的值域为、3点评：解决此类问题时要结合三角形内角和的取值问题，同时注意实施关于三角形 内角的一些变形公式。题型7 :正余弦定理的实际应用例13.如图，当甲船位于 A处时获悉，在 其正东方向相距 20海里的B处有一艘渔船遇险 等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ',相距10海里C处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1 ')?解析：连接BC,由余弦定理得 BC2=202+1022X20X10COS12O =700.于是 ,BC=10。.sin ACBsin120°201oV7/ ACB<90° ,/ ACB=41°。乙船应朝北偏东 71°方向