破解折叠问题的三步曲

1、破解折叠问题的“三步曲折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，因为是从平面跃然而到空间思维跨度大，由静到动，能综合考查学生的空间想象能力，识图能力及分析能力， 是近年来高考的热门题型， 要解决好此类问题笔者认为应从以下三点 着手： 第一步：看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这 就需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；（1）折痕 是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位，盐打哪儿咸，醋打哪儿酸，解决折叠问题的

2、思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关，要 明确一点：位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的；（2） 折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是 一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。（3） 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？ 第二步：挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该 充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：（1） 将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这 个二面角的平面角，在立体图中标出；（2）使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的

3、；比如若A,B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为 P（A,B）,这样便于翻折前后的对比；（3）使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点； 第三步：结合问题，寻找不变量通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间 形态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来 寻找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变 的垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些 量是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，

4、在实际解题中应灵活运用，下面举例说明在解 题中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的： 一、不变的垂直关系例1:如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，将 ADE和厶BEC沿DE和CE折起，使 AE与BE重合，记A与B重合后的点为P求（1）求证：PE 平面PDC ；（ 2）二面角P-CD-E的度数;E1分析：从翻折的过程可以看出,AD _ AE,EB _ BC这两个垂直关系是不变量，而翻折后A,B重合为P,故在立体图中有PE _ PD, PE _ PC，问题得解;解：（1）由翻折过程可知，PE-PD, PE _ PC，故 PE _ 平面 PDC ；（2）取 C

5、D 中点F,连接PF,FE,在原平面图形中,AD=BC,ED=EC,翻折后 A,B重合为 P,故 PD=PC,可知PF _ CD, EF_ CD ,则.PFE是二面角 P-CD-E的平面角，设正方形边长为a,得aa21PE , EF =a, sin ZPF-，则二面角 P-CD-E 的度数为 30°2a 2二、不变的长度关系例2 （2007安徽文）把边长为,2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后，在 A, B, C, D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（nnA. V2 nC. nB. d 23分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征

6、是直二面角，C. n哪个角是它的平面角？ 不难看到DO _ AC,OB _ AC这两组垂直关系是不变的， 故.DOB就是面角的平面角，贝V - DOB二§，那么如何确定A,B,C,D四点所在的球心呢？找不变量！通 过比较两图可以发现，折叠前A、B、C、D四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正方体中心O到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有 OA = OB=OC=OD，所以O就是翻折后A, B, C, D四点所在球的球心，易得该球半 nI I兀径R=1，而D,B两点在球中所对球心角为，球面距离L R ，故选B.2 2D三、不变的平行关系 例3：(2006高考辽宁卷)已

7、知正方形ABCD , E,F分别是边 AB, CD的中点，将 ADE沿DE折起，如图所示，求证:BF / 平面 ADE01期分析：要证明BF /平面ADE，只需证明BF与平面ADE内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，BF /ED这个平行关系是不变量，命题得证；解：E、F分别是正方形 ABCD的边AB、CD的中点，贝U EB/FD且EB=FD,四边形EBFD是平行四边形.BF/ED.ED 平面AED,而BF二平面AEDBF / 平面 AED练习：(1 )将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积是( )(A)(B)(C) a5(D) a36

8、 12 12 12(2) 如图，在正三角形 ABC中，D , E, F分别为各边的中点，G, H , I, J分别为AF , AD ,BE ,DE的中点 将厶ABC沿DE ,EF,DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度为 ()A . 90° B . 60 ° C . 45(D) 0j G F严(3) 如图，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=60° ,E为AB的中点，将 ADE与厶BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则P DCE三棱锥的外接球的体积为4 3 二(A)-2T(4)正方形 ABCD的边长是2, E、(C)将正方形沿EF

9、折成直面角(如图所示) M为矩形AEFD内的一点，如果,/MBEMBC , MB和平面BCF所成角的正切值为1/2，那么点M到直线EF的距离为 。答案：(1 )选D 提示画出翻折前后的图形，可知不变量有DO _ OC,DO _ OA,而BD二a，可得 DOB二90 ,则DO _平面ABC,三棱锥体积1 V sh =3v22a a12(2)选B 分析：画出折叠后的立体图形，因为A,B,C三点重合为S,翻折过程中不变量是GH /DF , JI / DB即JI /SD，故GH与IJ所成角就是 SDF，大小为60°。选C 提示：由已知易得 ADEr DEC CEB均为正三角形，而翻折后 A,B重合为P,故三棱锥P-CDE实际为正四面体，计算可得外接球半径6=ji8(4)填 彳提示:由/MBE= EMBC，可知M在平面EFCB内的射影在Z E