点到直线距离和两条平行直线间距离

1、3.3.3点到直线的距离【教学目标】1让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离2引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力, 鼓励创新培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作【重点难点】教学重点：点到直线距离公式的推导和应用 教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(Xo,yo),直线|的方程是Ax+By+C=O,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线I的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题 思路2.我们已学习了两

2、点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离如图1,已知点P(xo,yo)和直线I:Ax+By+C=0，求点P到直线I的距离(为使结论具有一般性，我们假设 A、BM 0).新知探究提出问题 已知点P(Xo,yo)和直线|：Ax+By+C=0，求点P到直线I的距离你最容易想到的方法是 什么？ 各种做法的优缺点是什么 ？ 前面我们是在 A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？ 回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离 )活动： 请学生观察上面三种特殊情形中的结论：IC I .| Ax+ C |(i )xo=O,yo=O 时，d

3、=； (I】)xoM 0,0=0 时，d=A2B2A2B2（，）xo=O,yoK时，d=|By0C|A2 + B2观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(xo,yo), d=?学生应能得到猜想：I.启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P到特殊位 置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质， 作平行线, 把一般情形转化为特殊情形来处理 )证明：设过点P且与直线I平行的直线li的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0,得p，(CL,o).A P' N=C1|A(-CA)C|A,A2B2(*)t P 在直线 li：Ax+By+

4、C i=0 上，二 Ax o+By o+Ci=0. Ci=-Ax o-By 0.代入(*)得 |P ' N|=C * Ax0 +Byo 1JA2 + B2即"J1. 可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立I c _ c | 引导学生得到两条平行线Ii：Ax+By+C i=0与l2：Ax+By+C 2=0的距离d= 12JA2 + B2证明：设Po(xo,yo)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，贝U点Po到直线Ax+By+C i=0的距离为d=I Ax0_By°_C | A2 B213 / 11d=|Ci二C2 |A2 B2d=| Ax0_By°_

5、C |” A2 B2又 Ax 0+By0+C2=0,即 Ax°+By0=-C2,讨论结果：已知点 P(X0,y°)和直线|：Ax+By+C=0，求点P到直线I的距离公式为d=j_C=CjA2 B2当A=0或B=0时，上述公式也成立 两条平行线 Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为应用示例例1求点P0(-1 , 2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解：(1)根据点到直线的距离公式得d= 1 2上。2二101 = 10 =2.5. 府+12 聽因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|= 5 .3 3点评：例1(1)直接

6、应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a，6)到直线3x 4y=2的距离等于4,求a的值.|3a-4 6-2|亠 46解：=4= |3a-6|=20二 a=20 或 a= .J32 +423例 2 已知点 A(1 , 3), B(3 , 1), C(-1 , 0)，求 ABC 的面积.1解:设AB边上的高为h，则Saabc= |AB| h.2|AB|= .(3 -1)2(1 -3)2 =2 2 ,AB边上的高h就是点C到AB的距离.y 3 x 1AB边所在的直线方程为，即x+y-4=0.1-33-1点 C至U x+y-4

7、=0 的距离为 h= -_=,J12 +12 J2因此， SaABC= x2 25 =5.2 <2点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于一的直线方程.2解：已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式，即可求出直线方程为 x+ y仁0 或 7x+ y + 5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是 两平行线间的距离.因此

8、，d2 3一7 0 8| = M =3.防+(-7)2<5353点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离变式训练求两平行线 l1：2x+3y-8=0,l 2：2x+3y-10=0 的距离.答案:2.3134 2 解:点0(0, 0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为 O (,),5 513则直线MO的方程为y-3=工x.48ii直线MO与直线l:2x-y+仁0的交点P( ,)即为所求，155相应的|PO|-|PM|的最大值为|MO |= 185 .5课堂小结通过本节学习，要求大家：1掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离2构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转

9、化、探索问题的能力，鼓励创新培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作3本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用当堂检测导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3 A组9、10； B组2、4及导学案课后练习与提高3.3.3点到直线的距离课前预习学案一、预习目标 让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离、学习过程预习教材Pii7 P119，找出疑惑之处问题1.已知平面上两点 A（0,3）, B（_2,1）,则AB的中点坐标为 , AB间的长度为.问题2在平面直角坐标系中，如果

10、已知某点P的坐标为（xo,y0），直线I的方程是l : Ax By=0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线I的距离呢？5分钟训练1点（0, 5）到直线y=2x的距离是（)53 5A.B. . 5C.-D.2222两条平行直线 3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为3已知点(a,2)(a >0)到直线 I: x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( )A. 2B. 2 -、2C.、2 - 1D.、2 1参着答案析;根据点到直竝的距离公式得二运答熱B士解析:根据两条平行琶间的距离公式得=：.答案=23解析;根据点到頁裁的距离公式得罕/ +九孚=|说+1»伍JF

11、+F 72因为 a>0?所UA 口 +1 二 / 2 n = 1.答案：C三. 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.2会用点到直线距离公式求解两平行线距离-3认识事物之间在一定条件下的转化用联系的观点看问题-学习重点：点到直线距离公式的推导和应用学习难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点 1 :已知点 P(x°,y°)和直线l : Ax By 0，则点 P到直线I的距离为:Axo Byo C注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离;在运用公式时，直线

12、的方程要先化为一般式问题1 :在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线方程 I : Ax By0中，如果A =0，或B =0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线丨的距离呢并画出图形来.例分别求出点 A(0,2), B(-1,0)到直线3x_4y -1=0的距离.问题2：求两平行线li : 2x 3y _8 =0 , I?: 2x 3y -1 =0的距离知识点2:已知两条平行线直线 h Ax亠By亠G =0 , |2:|G cAx By C0 ,则li与I?的距离为d-JA2 +B2注意：应用此公 式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使x,y的系

13、数相等典型例题例1求点P0（-1，2）到下列直线的距离:（1）2x+y-10=0;（2）3x=2.变式训练点A（a，6）到直线3x 4y=2的距离等于4,求a的值.例 2 已知点 A(1 , 3), B(3, 1), C(-1 , 0)，求 ABC 的面积变式训练求两平行线 li：2x+3y-8=0,l 2：2x+3y-10=0 的距离当堂检测课本本节练习拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点0（0, 0）、M（0, 3），试在l上找一点P,使得|PO|-|PM| 的值最大，并求出这个最大值学习小结点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转1. 点到直线距离公式的推导过程,化为点到直线

14、的距离公式 -课后巩固练习与提高30分钟训练1点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为（）A.4、2B. 1 2C. 2 2D. 32点P(m-n,-m)到直线xy=1的距离为（m n)A. m2n2B. . m2n2c. *m2 n2D.、m2 _ n3点P在直线x+y-4=0上，0为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A. .13B.2、2C. 6D.2J54到直线2x+y+仁0的距离为的点的集合为()5A.直线 2x+y-2=0B.直线 2x+y=0C.直线 2x+y=0 或直线 2x+y-2=0D.直线 2x+y=0 或直线 2x+y+2=05若动点A、B分别在直线li： x+y-7

15、=0和x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点 的距离的最小值为()A. 3.2B. 2 2C3 3d.4 .26两平行直线11、12分别过点Pi(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为5,则两条直线的方 程分另寸为 li : , 12： 7已知直线1过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线I的距离为3,求直线I的方程8已知直线I过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线I的距离相等，求直线I的方程9已知三条直线 Ii： 2x-y+a=0(a >0),直线 “：4x-2y-1=0 和直线 b： x+y-1=0,且 Ii 与 S 的 距离是75 10(1) 求a的值

16、(2) 能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件：P是第一象限的点； P点到I1的距离是P到I2的距离的-:P点到I1的距离与P点到I3的距离之比是25 ?若能,2求P点的坐标；若不能，请说明理由.参考答案1.解析：由点到直线的距离公式可得V2答案：C2. 解析：'"=nx+my-mn=0 ,由点到直线的距离公式，得m n2 2 2|n(m-n)-m - mn| |-n - m |22m n Jm2 + n2Jm2 + n2答案：A3. 解析:根据题意知|OP最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得= 212 答案：B2x+y+仁

17、0，且两4解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得51 m 二11 =工5 二 I m-1 | =1，解得 m=2 或 m=0. ,55故所求直线的方程为 2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D£解析:依题意知ABB5中点'的集合为与直线心x-v-?=O和心都相等的直线， 则“至原点的距离的最小值为原点到该直线的距禹设点、【所在直线的方程为.'；根据平行线间碍公式得第=彩I tn-5 I即 x-ydQ,根据点到直线的距离公式得：M到原点的距离船最小值为匚2L 3龍一

18、答案為&解析:因丹(1,辱 班1闹的距离为h所以两平行直线' 丄垂直于过珊、P：1:5)的 直线，交因过旳1月的直线垂直于兀轴，所c平行于扎轴，即店程分别为心 v=Qj-i -=5.IBr 答案=直线/的斜率不存在时，即方程为此时点商匕到该直线的距离两土満足条 件：直线j的斜率存在时，设直线方程为沖0：7 根据点到直线的距离公式得d= 严如T =>24k-7=>k.V1ZF247即此时直建:的方程为*=- I x-2'.-3=>?x-24v-5S=CL24故所求直疑的方程为 Z 或7x-24y-5S=(l138.解：直线I平行于直线 AB时，其斜率为 k=kAB=-1，5-1即直线方程为y=-(x-1)+1 = x+y-2=0 ;直线I过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线I的方程为y=1.综上，直线I的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：