正余弦定理习题精选精讲

1、正、余弦定理的五大命题热点1 / 23正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求岀三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.例1（2005年全国高考江苏卷） ABC中，A = , BC = 3,则 ABC的周长为（）34 寸3sin B+ l + 3C. 6sin B +1+36丿3丿分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b+c，则周长为3+ b + c而得到结果.解：由正弦定

2、理得:3 b cb csin B sin C sin B sin C sin3b +c2兀sin B sin(-3得 b+ c= 2-/3 sin B + sin( - B) = 6sin( B).故三角形的周长为:363+ b + c= 6sin3，故选（D）.评注：由于本题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即 B= _，周长应为3.3 +3,故排除（A）、（B）、（C） 而选（D）.6例2（2005年全国高考湖北卷）在厶ABC中，已知 AB = 士卫3,COsB二兰，AC边上的中线BD、5，求sinA的值.6分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理,即得 sinA.解：

3、设E为BC的中点，连接 DE，则DE/AB，且 DE =丄AB2，设 BE = x3在厶bde中利用余弦定理可得：BD2二BE2 ED22BE ED cos BED ,2 82J6 J6,75 = x2x，解得 x = 1 , x =3363故 bc=2，从而 AC2 =A BC2 -2AB BGcosB，即 AC32 .27故2 丁 A航故，sin A =-si nA_30146二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.例3（2005年北京春季高考题）在二ABC中，已知2 sin A cos B = sinC，那么二ABC 一定是（）A 直角三角形B 等腰三角形 C

4、.等腰直角三角形D 正三角形解法 1:由 2sinAcOSB =sinC = sin（A + B） = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsinB = 0，得 sin（A-B） = 0，得 A= B .故选（B）.（舍去）2 21又 sin B =- 30sin C c解法2 :由题意，得cosB =，再由余弦定理，得2sin A 2acosB =a2 c2 -b2ac2 2 22aca c -，即 a2= b2,得 a = b,故选(B).2a（如解法1）,统一化为边，再判断（如解法2）.评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断三、解决

5、与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.例4（2005年全国咼考上海卷）在.:ABC中，若A = 120 , AB = 5 , BC = 7,则.ABC的面积S=分析：本题只需由余弦定理，求出边AC,再运用面积公式 S= 1 AB?ACsinA即可解决.27 / 23解：由余弦定理，得cosA2 2 2 2AB AC - BC 25 AC -492AB *AC10 AC-，解得 AC= 3.2- S= AB/CsinAu215.31AB?AC?sinA =21AC?i,得 h= AB? sinA2，故选（A）.2四、求值问题例5（2005年全国高考天津卷）在 ABC

6、 中，./ A、设a、b、c满足条件b2 c2 -be =a2和b.B、. C所对的边长分别为a、b、c , 13，求/ A和tan B的值.2分析：本题给岀一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.b2 +c2 _a21解：由余弦定理cosA，因此，/A = 60- 22bc在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A-Z B=120 -Z B.1 r- c si n C由已知条件，应用正弦定理3二2 bsin Bsin(120 - B)sin Bsin120 cosByos120 sinB 3cotB 1 解得 cotB=2,从而 tanB J2 / 2sin B五、正余弦定理解三角形

7、的实际应用禾U用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下: （一.）测量问题例1如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物 C,测得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求 ABC/ CAB、/ CBA，这个三角形可确定。在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、AC解析：由正弦定理得 -sin ZCBA SABC点评:AB，二 AC=AB=120m , 又si n ACB11二 AB AC sin CAB = AB CD，解得 CD=60m。22虽然

8、此题计算简单，但是意义重大，属于不过河求河宽问题”。30分钟后又测得灯塔在它的东30。北。若此灯塔（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进, 周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔 到达B点，测得S在东30北的方向上。S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后 在厶 ABC 中，可知 AB=30K 0.5=15，BS=AB=15，过点S作SCX直线 AB，垂Z ABS=150 , Z ASB=15，由正弦定理得足为 C,则 SC=15sin30 =7.5这表明航线离灯塔的距离为 7.5海里，

9、而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2)画岀示意图，并将已知条件在图形中标岀；(3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。(三.)追击问题 例3如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距 A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以 28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少 h能尽快追上乙船？解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在 C处相遇。在厶 ABC 中，AC=

10、28t，BC=20t，AB=9，设/ ABCa ，/ BAC书。2 2 2a =180- 45。15 =120。根据余弦定理 AC = AB + BC 2AB，BCcosg，2 2 1 228t8120t-2 9 20t ()，128t2-60t-27=0,(4t 3)(32t+9)=0,o153 9解得t= ，t= (舍)4 32/ AC=283=21 n mile，43BC=20X=15 n mile4根据正弦定理，得 sinBCsin :AC15叮5亦又又T2114a =120：5伍B 为锐角，B =arcsin ”14，又三14厶114arcsin 二！ L144甲船沿南偏东一arcs

11、in 5、3的方向用h可以追上乙船。4144点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的/ ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知,所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列岀关于 t的一元二次方程，解岀t的值。五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何例6(2005年全国高考卷三试题(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇.3 ) ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知a，b，c成等比数列，cos B =-4(i)求 cotA+cotC 的值;分析：本题是正、余弦定理与向量、3(u)设BABC

12、，求a + c的值.2等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等.3 /口解: (i)由 cosB，得 sin B4=j_(4)2、7由b2=ac及正弦定理得si nB = si nAsinC.1 则 cot A cotC tan A tanCsin (A C) sin B_ 2 _ 2sin B sin B1 cos A cosC=十sin A1_ sin C cos A cosC sin Asin Bsin C=4d7sin AsinC3 33(H)由 BA BC ，得 ca?cosB= ，由了 B = ，可得 ac= 2,即 b2 = 2.2 24由余弦定理 b2=a2+c2

13、2ac+cosB,得 a2+c2=b2+2ac cosB=5. (a 亠 c)2 = a2 c2 ：； 2ac = 5 ：； 4 = 9, a c = 3易错题解析2 2 2例题1在不等边厶ABC中，a为最大边，如果a b +c ,求A的取值范围。2.22.222c错解：丁 a 0。则cos Ab2 c2-a22bc,由于cosA在(0, 180 )上为减函数且 cos90= 0，二 A 90又t A ABC 的内角，二 0 A V 90 。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把 a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误正解：由上面的解法，可得 A 60 。因此得A

14、的取值范围是(60 ，90 )。2atan A例题2 在厶ABC中，若一=，试判断厶ABC的形状。btan B错解：由正弦定理，得2sin Atan A2 =sin Btan B2 sinAsin AcosB2 sin A 0， sin B a 0sinBcosAsin B即 sin AcosA=sinBcosB，即卩 sin2A = sin2B2A = 2B，即A = B。故 ABC是等腰三角形。辨析：由sin2A =sin2B，得2A = 2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得 sin2A = sin2B， 2A = 2k兀 +2B或 2A

15、=2k兀 + 兀一2B(k EZ)例题3在厶 ABC 中，A= 60 ，b= 1，ABC，求a+bt csin Asin B sin C的值。jrA _ B20vAc 兀,0vbc 兀 k =0，则A=B或故厶ABC为等腰三角形或直角三角形。错解：/ A = 60 , b = 1 ,SABC = * 3，又SA=1ABCbcsin A ,2例题5 在厶ABC中，已知a = 2, b,C= 15 ，求 Ao由余弦定理，得 a =+c2 -2bccosA =+16-8cos60 = JT3又由正弦定理，得sin C=_二,sinB=_3=寸392岳a + b + c/T3 + * + 4sin A

16、+sin B +sinC733622 殛 739辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的正解：由已知可得 c = 4，a=Jl3。由正弦定理，得a =13=2.39sin A 一 sin60 一 3a b c2 392 R sin Asin Bsin C3例题4在厶ABC中，C=J6+J2，C = 30。，求a + b的最大值。错解：t C= 30由正弦定理，得 A+ B = 150 ，B= 150 - Aoab4642sin A 一 sin(150 A) 一 sin30二 a =2(.62)sin Ab=2(V6 + U2)sin(150 - A)又丁 si nA。，

17、sin( 150- A)兰 1a b 乞 2( 6、2)2(、6、2) =4( 62)故a +b的最大值为4( J6 + U2)辨析：错因是未弄清A与150 - A之间的关系。这里 A与150 - A是相互制约的，不是相互独立的两个量,sinA 与 sin(150 A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错误的 正解：t C= 30 ，二 A+ B = 150 ，B= 150 - Ao由正弦定理，得a = b= 6 、2sin A 一 sin(150- A) 一 sin30因此a b = 2( 6 ,2)sin A sin(150 - A)= 2(6、2)sin 75cos(A -75)=4

18、( .6 Q)-162os(A -75)4-(8 4、3)cos( A -75 a，二B A。因此a = 150 是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生1正解：同上 c = J6 灯2， sin A = ， v baa2二 B A,且 00 ： A : 1800，二 A =30例题6 在厶ABC中，ot COS A = b COS A，判断 ABC的形状。错解：在厶abc中，v a cos A = b cos B，由正弦定理得 2Rsi nA cos A = 2 R s in B cos B/ sin2A

19、 = sin2B,： 2A=2B且2A+2B =180/ A= B 且 A+ B = 90 故厶ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。正解：在厶abc中，v a cos A = b cos B，由正弦定理,得 2RsinAcosA=2RsinBcosB，： sin2A = sin2B/ 2A = 2B 或 2A + 2B = 180，二 A = B 或 A + B =90 。故厶ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a，b，c是三角形的三边长，证明长为寸5，Jb，的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设0 v a兰b兰c，只要考虑最

20、大边的对角 b为锐角即可。cos（、a）2（、b）2 -（.c）22厲Jb2 ab9 / 23a + b a c，即 cos 日 a 0由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有二长为va, Jb, JC的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条 件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得|cos日=0又飞+ 爲_花=x a + Vb + yC（ab）2 -ca b -c2、ab0 a 、 b C a i b - Jc、a 、b c即长为ja, je , jc的三条线段能构成锐角三角

21、形。高考试题展示21、（06湖北卷）若 ABC的内角A满足sin 2A，则sin A cosA =3A.15,15解：由 sin2A = 2sinAcosA 0,可知 A这锐角，所以 sinA + cosA 0,5又(sin A cos A)2 =1 sin 2 A，故选 a32、（06安徽卷）如果.：A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于：A,B2C2的三个内角的正弦值，则a . -A|B1C1和-A2 B2C2都是锐角三角形b . -AEG和A?B2C2都是钝角三角形c.皿占6是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形d .二AIB1C1是锐角三角形，A? B2C2是钝角三角形31sin A

22、= cos A, = si n（ 一 A）2兀解TBQ的三个内角的余弦值均大于oZAC1是锐角三角形，若命BQ是锐角三角形，由sinBrosBmq-B），sin C2 = cosG = si n（C1）I.2A： =一 A2兀n得B2B1，那么，A2B2C2，所以A2B2C2是钝角三角形。故选Do222 2 2C2 = _GL.23、（06辽宁卷）ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p = (a c,b), q = (b -a,c -a),若 p q,则角 C 的大小为(A) 6(B) 3(C) 22兀(D)3【解析】p/q二(a c)(c-a) =b(b _a)二b222

23、1 ia - b，利用余弦定理可得沁八，即 cosC亍虫为，故选择答案B o【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、(06辽宁卷)已知等腰 ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是(A2B.c.158D. 157解：依题意，结合图形可得tan=152A2ta n，故 tan A 二15“c 152155、(06全国卷I) .ABC的内角Ab、c的对边分别为1-tan2 A2、c，若b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB二1A.-4解：UABC 中,a、b、c成等比数列，且C = 2a，_则b=2 a，cosB 二a22 ,

24、 2 2,2 2c - b a 4a - 2a2ac4a23，选B.46、06山东卷)在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c,A= ,a=3 3 ,b=1，则 c=(A) 1(B) 2(c)3 1(D)313 / 23所以C = 90，故c= 2，选B解：由正弦定理得sinB = 1，又a b，所以A B,故B = 30，227、(06四川卷)设a,b,c分别是厶ABC的三个内角 代B,C所对的边，则a b b c是A = 2B的(A )充要条件(C )必要而充分条件(B)充分而不必要条件(D)既不充分又不必要条件解析：设a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a

25、b b c，21-cos2a 1-cos2B则sin A =sinB(sinB sinC)，贝UsinBsinC，1(cos2B -cos2A)二sin BsinC，sin(B A)sin( A - B)二sin Bsin C，2又sin(A B)二sinC，二 sin(A-B)二sin B，二 A B =B，A =2B，若厶abc中，A =2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到ab b c，2 .所以a = b b c是A=2B的充要条件，选a.& (06北京卷)在 MBC 中，若 sin A:sin B : sin C = 5: 7 :8，则 NB 的大小是,解：si nA： sin

26、B : si n C = 5： 7 ：8 ：=a b c= 5 7 8 设 a = 5k，b= 7k，c = 8k，由余弦定理可解得.B的大小为39、（06湖北卷）在AABC中，已知ab = 4, A = 30sinB =17 / 23解：由正弦定理易得结论sinB210、（ 06 江苏卷）在厶 ABC 中，已知 BC = 12, A = 60 , B = 45, _则 AC =【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识ACbc【正确解答】由正弦定理得，.，解得ACsin 45 sin 60 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（ 06全国II

27、 ）已知 ABC的三个内角 A、B、C成等差数列，且 AB= 1，BC= 4,则边BC上的中线AD的长为 解析：由. ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得 A+C=2B而A+B+C=二可得乙B =3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得 AD =3本题主要考察等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度中等。12、（06上海春）在厶ABC中，已知BC =8, AC =5，三角形面积为12, 则 cos 2C =(1)(2)若AC=、3dC,求一：的值.解: (1) JfQ JI如图 3, ；=(二-2 ：)= 2r-2 -解:1 3 由三角形面积公式，得 一BC CA s

28、i nC=20s in C =12，即sin C =-2 5277于疋cos2C =1 2sin C =从而应填一 252513、（06湖南卷）如图3,D是直角 ABC斜边BC上一点,AB=AD,记/ CAD= , / ABC=：.（2）.在ABC中，由正弦定理得DCACDCsin ：sin(?/ sin:严W 3曲即 2 . 3sin2 ： -sin14、（06江西卷）在锐角 ABC中，角AB, C所对的边分别为a, b,由 得 sin ： = -cos 2 :，si n - - -、3cos2 - - -、3(1 - 2s in2),-y：3= 0.解得 sin -或 sin :=2已知

29、si n An J2 ,32 B +C 2 A(1) 求 tansin 的值；2 2(2) 若 a =2, Saabc =，2，求 b 的值.解：（1）因为锐角厶ABC中sin A2 2，所以3cosA =-，则3tan2BC + sin2A2 2.2 B + C sin -2 +2 B + C cos -2.2 Asin 21 COs：B +C ) + 丄(1 - cos A)1 + cos ( B + C)21 + cos A , 17+ =1 cosA 331 1(2)因为 Sabc =、- 2,又 Sabc = bcsin A = bc *13将a= 2，cosA =，c=代入余弦定理

30、:3b2 2 2a = b + c 2bccos A 中得b46b2+ 9=0解得b=315、（ 06江西卷）如图，已知 ABC是边长为1AB、AC上的点，线段 MN经过 ABC的中心G，M、N分别是边(1)的正三角形,n2兀）33试将 AGM、 AGN的面积（分别记为 0与S2）表示为：的函设 MGA =，-(2)求y= 2 + A 的最大值与最小值S12 s解：（1）因为G是边长为12拓=3:AG =，ZMAG = 一3236的正三角形 ABC的中心,所以由正弦定理GMTtsin6GAnsin (二一：)6得GMJI6sin (: +)6则S1 =1GM GA sin ：=2兀12si(+

31、 -)同理可求得S2=JI12si n(：-)6(2)y=兀2JL+ sin(:-)=72 (3+ cot2：)，6兀2兀兀2兀因为，所以当：=或=时，y取得最大值ymax= 2403 333ji当时，y取得最小值ymin= 216B+C16、(06全国卷I).ABC的三个内角为 A B、C，求当a为何值时，cos A - 2cos取得最大值，并求出这个最大值。2.解：由 A+B+C= n ,得= 2 A2 ，所以有 cosTj =sinA| .B+CA2AAA 1 23cosA+2cosj=cosA+2sin j=1 2sin j+ 2sinq= 2(sin-j j) + 2当sinA =

32、1 ,即A= n 时,cosA+2cosB+C取得最大值为32J517、(06全国 II )在 lABC中，B = 45 , AC = 、10,cos C =，求5(1) BC 二？若点D是AB的中点，求中线CD勺长度。解：(1 )由 cosC =口得sinC 555sinA=sin(180 -45 -C)-2(cosC sin C)3.1010AC10由正弦定理知BCsin A =sin BJ2込 3、.210(2) AB ACsin BBD =丄 AB=12由余弦定理知CD二 BD2 BC2 -2BD BC cosB 工18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形厶ABC三内角,向量m -

33、-1, .3, n hcos 代sin A，且 m n =1(I)求角A ;1 sin2B若 -3，求 tan Bcos B -sin B解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、(n)两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。(I)v m n =1一1厂.3 i icos A,sin A = 1即 3sin A - cosA = 12|sinA 乎 yosaIL(sin ! A -I 6丿2 0 ：A ,A1 2sin B cos Bji ji/. A -6 6ji/. A 二一3(n)由题知 22cos B sin B-3，整理得 sin2 B sin B

34、cosB 2cos2 B =02cos B = 0 /. tan B -tan B2 = 0: tan B = 2 或 tan B -1而 tan B = _1 使 cos2 B - si n2 B = 0，舍去/. tan 8=219 / 23tanC =tan 停-A B - _tan A B 二ta n A ta n B1 -tan Atan B21 一2、38 311319、(06 天津卷)如图，在 ABC 中，AC =2 , BC =1, cosC =4(1)求AB的值；求sin 2A C的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考 本运算

35、能力及分析解决问题的能力.满分12分.(I)解：由余弦定理，2223AB=AC2 BC-2AC.BC.cosC =42 2 12.4那么，ABj2?察基3 /2-J7(u)解：由 cosC ，且 0 : C ：二，得 sin C = 1 - cos C 二4 4由正弦定理,竺二竺,解得sinA-SSsinC sin AAB所以,cosA 二52。由倍角公式 sin 2A=sin2A cosA=816且 cos2A =1-2sin2A 9，163/7 故 sin 2A C 二sin 2AcosC cos2AsinC 二 一820、(07 重庆理 5)在 ABC 中，AB A = 450,C =

36、750,则 bc =()a. 3 - 3 b. 2c.2d. 3 【答案】：A【分析】：；AB二.3, A=45,C =75,由正弦定理得：a BC_73si nA si nC si n45si n756 24BC =3- 61421、( 07 北京文 12 理 11)在 ABC 中，若 tan A ，C =150， BC = 1，则 AB 二 31 1解析：在 ABC中，若tan A ，C 150，二A为锐角，sin A， BC 1 ，则根据正弦定理 AB34v0BC sinC 10sin A 222、（07湖南理12）在厶ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，若a = 1，b=

37、. 7【答案】521 / 23【解析】1 +3 _7由正弦定理得 cosB =2 1 j3週，所以B2，a、b、c，23、（07湖南文12）在二ABC中，角A、B、C所对的边分别为若 a =1, = .3, C ，则3A=a【解析】由正弦定理得 -sin Ac asin Csin A =-si nC1，所以a=-3 2 624、(07 重庆文 13)在厶 ABC 中，AB=1,BC=2,B=60，贝U AC =【答案】：.3【分析】：由余弦定理得： AC2 =12 22 - 2 1 2 cos60 =3. AC =专3.24、（07北京文理13） 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是

38、我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为 25，直角三角形中较小 的锐角为二，那么COS2V的值等于 解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25,每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则a2 b2 二 252ab两条直角边的长分别为 3，4,设直角三角形中较小的锐角为cos 9= 4，cos2 8=2cos2 9-1 =7253 tanB 二5125、（ 07福建理17）在厶ABC中，tanA =4（i）求角C的大小;（且）若 ABC最大边的边长为

39、 17 ，求最小边的边长.12 分.本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分解：（i）C = n (A B)，tanC 二-tan(A B)二1-13又；0 ： C ：: n，. C n.4（u） ； c=3 二，.AB边最大，即.42 2sin A cos得 sin A仃17由竺二竺得:sin C sin ABCsin C又/ tan A tan B A B e ( 0，| 角A最小，BC边为最小边. ， I 2丿|- sin A 1tan A,ncosA 4 且 0,-A = 1,所以，最小边BC =2 .26、(07广东理16)已知 A

40、BC顶点的直角坐标分别为 A(3,4) , B(0,0) , C(c,0).(1) 若 c = 5，求 sin Z A 的值；(2) 若Z A是钝角，求c的取值范围.解析：(1) AB =(；,/) , AC=(c_3,4)，若 c=5,则 AC=(2,),61612.5cos._A =cos ：: AC, AB，sin/ A =5疋2药 J55-3c 9 16 ：: 0 ”口25252)若Z A为钝角，则解得c 25，二c的取值范围是(，；);c 03328、( 07湖北理16)已知 ABC的面积为3，且满足0 ABAC乞6，设AB和AC的夹角为v(I)求二的取值范围；(II)求函数f(v)

41、 =2sin2 7 -、3cos2v的最大值与最小值.14丿本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解: (I)设 ABC中角A B, C的对边分别为a, b, c,1 n n I则由一 bcsin v - 3 , 0 bc cos二 6，可得 0 cot 二 1，二，一.2 _4 2(u) f(J=2sin2 n J -、3cos2J- 1cos 2)-3cos2r14丿12丿=(1 sin2 )i、!3cos2 v -sin2J-、3cos2J 1=2sin i 2： - n 1 .I 3丿. 卫，卫,2,二 2 2sin 2二

42、-1 3 ._4 2363.3即当时，fmax =3 ； 当时，fmin =2 12429、(07全国卷1理17)设锐角三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c , a=2bsin A .(i)求B的大小；(u)求cosA sin C的取值范围.1解：(i)由 a = 2bsin A,根据正弦定理得 sin A = 2sin Bsin A,所以 sin B 二一,223 / 236n由 ABC为锐角三角形得B二(n) cos A sin C = cos A sin(n、1 31 -_A=cos A + sin+AI6)(6丿1 3=cos Acos A -22sinA-3si

43、n A 3.由厶ABC为锐角三角形知,-B ,Bji jiji jiA，所以3361 sin A2JT,32由此有訂臥A上所以，cos A si nC的取值范围为一3,3I 230、(07全国卷2理17)在 ABC中，已知内角jiA =-3边BC=23 .设内角B = x，周长为y .(1)求函数y = f(X)的解析式和定义域;(2)求y的最大值.解：(1) ABC的内角和A B C =二，由A 二一,3B 0,2 ttC 0 得 0 :： B 3应用正弦定理，知 AC BCsin B =in xsin Ajisin 3二 4sinBCiz2 兀ABsin C = 4sinxsi nAV 3

44、因为y = AB BC AC ,所以y = 4sin x 4sin I - x P 2、一 3 i 0 ： xI d丿 J(2)( 因为 y =4 jsin xcosx si sin x2siJI 31所以，当x -jix 二一时,y取得最大值6、3 .32、(07山东文17)在 ABC中，角A,B, C的对边分别为a, b, c,tanC = 3 7 .325 / 23(1)求 cosC ；5(2)若 CB CA ，且 a b = 9，求 c 2sin C 解：(1) tanC =3 .7,3、7cosC2 2 1又 sin C cos C =1 解得 cosC =81 tan C、0 ,

45、. C 是锐角.cosC -.85 5(2) ； CB CA ,. abcosC , - ab = 20 .2 22 2 2 2又 a b =9. a 2ab b =81 . a b -41.2 2 2.c a b 2abcosC = 36 .33、（07上海理17）在厶ABC中，a, b, c分别是三个内角 A,B,C的对边.若 a =2, CcoSB =竺9，求 ABC的面积2527 / 2334解:由题意，得cosB , B为锐角，sinB55sin A = sin( n B -C)二 sin由正弦定理得 c工10711S ac sin B 2 ：2234、（07天津文17）在厶ABC中

46、，已知AC =2 , BC87 =3 , cosA = _4510 47 5(i)求sin B的值;(ji、的值.(u)求 sin i2B -I6丿12 分.sin A = -1 - cos2 A =35本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分cos2B =2cos2B -1=2.21十17丄宀BCACAC23由正弦定理，所以sin Bsin Asin Asin B_ BC35H）解：因为cos A =-4，所以角A为钝角，5从而角B为锐角，于是（i）解：在 ABC中25cosB 二.1 -sin2 B =525sin 2B =2sin

47、BcosB =2 -4,2115JIJI. I d J 1. c f. Jsin 2Bsin2Bcoscos2BsinI 6 丿66耳 317 125225212.7175035 / 2335、（07 浙江理 18）已知 ABC 的周长为、2 1，且 sin A sin B - 2sin C .（I）求边AB的长；1（ii）若 ABC的面积为一sin C ,求角C的度数.6解：（i）由题意及正弦定理，得 AB BC AC= ,2 1, BC AC = .2aB ,两式相减，得AB =1.111(ii )由 ABC 的面积一bc AC sinCsinC，得 BC、AC 二一2 632 2 2AC BC - AB 由余弦疋理，得cosC =-AC BC(AC BC)2 -2AC、BC - AB212AC BC- 22 2 2AB AC - BC cosB2 汉 AB x AC2 AB BD又AD,BC夹角大小为/ADB，cosADB二BD2 AD2 - AB22 BD AD3298 94,137 一 91所以C = 6036、（07 天津文理 15）如图，在二ABC 中，一 BAC =120 ,AB =2,AC =1,D 是边 BC 上一点，DC =2BD,则【答案】_83【分析】法一：由余弦定理得可得 BC 二 7 , AD 二3，3Q所以 ADB