极限承载力的计算

1、第三节极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标 c,表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影 响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而

2、提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。一普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P作用下的极限荷载Pu值。普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：(1) 地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的=0,而只具有c, 的材料。(2) 基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。(3) 当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I,径向剪切区II或过渡区和朗肯被动区 III所组成。其中滑动区I边界BC或AC为直线，并 与水平面成(45+ ：/2)角；即三角形 ABC是主动应力状态区；滑动区 I

3、I的边界CE或 CD为对数螺旋曲线，其曲线方程为r二roe1071, ro为起始矢径；B为射线r与r。夹角，滑动区III的边界E G , DF为直线并与水平面成(45 $ /2)角。(4) 当基础有埋置深度 d时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载q二d来代替。根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：Pu 二 rdNq cNc式中：r：基础两侧土的容重d：基础的埋置深度Nq, Nc :承载力系数，它们是土的内摩擦角的函数，可查下表:其中 Nq 二 e电 tg2(45-)Nc = (Nq 1)ctg :pNrNqNc9NrNqNc001.005.14246

4、.909.6119.320.011.205.69269.5311.922.340.051.436.172813.114.725.860.141.726.823018.118.430.280.272.067.523225.023.235.5100.472.478.353434.529.542.2120.762.979.293648.137.850.6141.163.5810.43867.448.961.4161.724.3311.64095.564.275.4182.495.2513.14213785.493.7203.546.4014.844199115118224.967.8216.9452

5、41134133二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿(1952年)给出的地基极限承载力公式为:Pu =5c(1 51)(1 5b)odc地基土粘聚力 ；b、丨一一分别为基础的宽度和长度；o基础埋置深度 d范围内土的重度。三太沙基极限承载力公式等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：1 基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在当地基达到破坏并出现连续的滑动面时，其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图8-9中ABC所示。弹性核的边界 AC或BC为滑动面的一部分， 它与水平面的夹角为,而它的具体数值 又与基底的粗糙程度有关

6、。2当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区II和朗肯被动区III所组成。其中滑动区域II的边界CE和D C为对数螺旋曲线，其曲线方程为(ro为起始矢径)。 朗肯区域III的边界DFA为直线，它与水平面成(45 $ /2)角。3当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载q = d来代替。根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力Pu1= 2bN r qNq eNc式中：Nr, Nq , Nc称为承载力系数，都是土的内摩擦角的函数。(3 -)tg :其中：Nqe2cos2(45)2Nc = ( Nq -1)ctg但对Nr,太沙基并未给出公式。太沙基将Nr, Nq, Nc

7、可以查表8 4得。几点说明：(1) 当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区I 了,而AC面与水平面的夹角“ =(45 + $ /2)而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似， 因此，由C,q所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：Nq 心 tg2(45-)肌=(Nq -1)ctg ：而由土容重 所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达:Nr =1.8Nctg2 ：将 N q = e 加卑g 2 (45 + ；)Nc =(N q -1)ctg :2Nr =1.8Nctg :1代入：Pu rbN r qNq cNcNq, Nc , Nr可直接查表即可得

8、基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或 取得。(2) 太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。2c c3- 2 tg二 |tg ,再用修正后的C，二，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力1Pu jrbNr qNq CNc式中：Nc, Nq, N；:修正后的承载力系数。(3) 对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力:圆形基础:Pur=0.6rRN r rdN q 1.2cNc整体破坏方形基础:Pur-0.6rRNr rdNq 1.2cNC局部破坏Pus-0.4rbN r rdNq 1.3cNc整体破坏Pus=

9、 0.4rbNr rdNq 1.3cNC局部破坏4 地基的容许承载力将上述各公式算出的极限承载力Pu，除以安全系数K ,即得到地基的容许承载力pl在设计时，基底压力 p应满足pW p的要求。例题1 :某办公楼采用砖混结构基础。土，Y =18.0kN/m3, = 30 度,设计基础宽度b=1.50m ,基础埋深d=1.4m，地基为粉c= 10kPa,地下水位深 7.8m，计算此地基的极限荷载和地基承载。1解：（1）条形，由太沙基公式：p尹NqNqcNc因为=30，查得，Nr= 19, Nc= 35, Nq= 18代入公式 pu = 18.0X 1.5X 19-2 + 10X 35 + 18.0X

10、 1.4X 18= 1060.1 kPa(2)地基承载力：P = Pu = 1060.1/3.0 = 353.4 kPaK例题2:在例题1中，若地基的为20度，其余条件不变，求pu和p解：(1 )当 =20。，查曲线：Nr = 4, Nc=17.5 , Nq =乙1Pu HjbN r qNq CNcpu = 18.0X 1.5X 4- 2 + 10X 17.5 + 18.0X 1.4X 7= 405.4kPapu(2) p - = 405.4/3.0= 135 kPaK评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的，c不变，只是由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低

11、为原来的38%，可知：的大小，对Pu和p影响很大。四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式1、汉森极限承载力公式对于均质地基基础底面完全光滑，在中心倾斜荷载作用下，汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。1PubNrSrdrirdrdN qSqdqiq CcScdJcNc式中：(1)s , sq, s；为基础的形状系数,bNqbsr =1 -0.4 ir _0.62 -rl rNcl取：Sq =1 yiqSi n或 Sq =1 -p tg :sc -1 0.2yicSr =1 -0.4了(2) ir ,iq, ic为何载倾斜系数ir0-0p + cActg(1(0.7- 0/45O0)Ph)5

12、 _0p 十 cActg0.5Ph 5ciq =(1)0p + cActgic = (iq -iq)Nq -1)(3) ddq,dc深度修正系数dr =12 Ddq -1 2tg (1 sin )Bdc =10.40 ,dc =10.35BB(4) gr, gq, gc地面倾斜系数gr = gq = (1 -0.5tg ：)5gc=1P14.7(5) br, bq, bc基底倾斜系数br = exp(-2.7 tg bq 二 exp(-2 tg )bc =1 - /14.7(6) Nr, Nc, Nq承载力系数，由下式表示:Nq =etg2(45 +Nc = (Nq - 1)ctg 上式中3

13、n分别为地面和基底的倾角。Nr =1.8Nctg2 :几点说明：(1)应用公式时，应满足 Ph _CaA - ptg、：，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。Ph :作用在基底上的水平分力P：作用在基底上的垂直分力Ca :为基底与土之间的粘滞力S :为基底与土之间的摩擦力A=L X B(2)当基底受到偏心荷载作用时，先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。若条形基础，其荷载的偏心距为e,则用有效宽度 B =B- 2e,来代替原来的宽度 B。若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积A =BX L来代替原来的面积A。其中 B =- 2eB,L =-2e

14、L(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。Z max=入 B式中：入：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角3从下表查出：B :为基础的原宽度。入值表：单位为(度)tg 3、 2021 3536 45 0.20.61.202.000.21 - 0.300.40.901.600.31 0.400.20.601.20持力层范围内土的容重和强度指标按层厚求其平均值:_ 工 rihir 二Z hi cihiZ hi、 ihi式中ri,Ci, p i分别为第i 土层的容重，凝聚力和内摩擦角，hi为第i层的厚度。例题：有一宽4m的条形基础，埋置在

15、中砂层下2米深处，其上作用中心倾斜荷载（竖直分量P= 900Kn/m ,水平方向 Ph= 150Kn/m ）中砂层的内摩擦角 p = 32度，湿容重r=18.5Kn/m 、浮容重r =9.5Kn/m,距基底2米处有一粘土层，其固结不排水剪的强度指标为C= 18Kn/ m2,3p =22度，浮容重r =9.7Kn/m设地下水位与基底齐平，试按汉森公式确定地基的极限承载力。解：荷载的倾斜率：tgB = Ph/P=150/900=0.17该地基属层状地基，应先确定持力层的最大深度Zmax值，为此固结tg3 = 0.17并假设土层的平均内摩擦角=21 35之间，从表查得 入=1.2，于是公式Zmax

16、=入B可得Zmax = 1.2 X 4= 4.8m ,求持力层内土层的平均指标:陆讣2hi h29.5 2 9.7 2.82 2.8-9.6K n/m3Gd c?h2h1h20 2 18 2.82 2.8= 10.5K n/m34,2 _ 32 2 22 2.826o-0 +h2一 2+2.8可见求得的*在假设范围内，查表可得:Nr = 9.53, Nq = 11.90, Nc = 22.3求荷载倾斜系数：ir 小； .)5 =0.57p + cBctg iq=(1ic= (iq0.5 Ph 5h)5 =0.67p cBctg1 -iq1 - 0 67-0.670.64Nq -111.90-1求深度修正系数:dr = 1dq2 D=1 2tg(1 sin :)1.158Ddc =10.4=1.2B地