二面角大小的几种求法(归类总结分析).

1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强， 方法的灵活性较大， 一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中， 主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是， 根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线， 两射线所成的角就是二面角的平面角， 这是一种最基

2、本的方法。 要注意用二面角的平面角定义的三个 “主要特征 ”来找出平面角。例 空间三条射线CA、CP、 CB， PCA=PCB=60o， ACB=90 o，求二面角 B-PC-A 的大小。PDE ACFB解：过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，连 EF. EDF 为二面角 B-PC-A的平面角，设 CD=a， PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF=3a，又 ACB=90 0， EF= 2 2a ， EDF= 3a 23a 28a212 3a231. 在三棱锥 P-ABC 中，APB= BPC= CPA=600，求二面角 A-PB-C 的余弦值。PQ

3、MNBAC2. 如图，已知二面角 -等于 120°，PA，A，PB，B，求 APB 的大小。PAOB3. 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 是正方形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a，求二面角 B-PC-D 的大小。PHAjDBC二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线， 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 是平行四边形， PA平面 ABCD ， PA=AB=a， ABC=30°，求二面角 P-BC-A 的大小。解：如图， PA平面 BD ，过 A 作 AH BC 于 H，连结 PH，则 PHBC又

4、AH BC，故 PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。在 RtABH 中， AH=ABsin ABC=aSin30°= a ；2在 RtPHA 中， tanPHA=PA/AH= a2 ，则 PHA=arctan2.a2LpADBHC5. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a，ABC=30°，求二面角 P-BC-A 的大小。LpABH6. 如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC ，PA=AB ，AC=BC=1 ， ACB=90 0，M 是 PB 的中点。 (1)求证：BCPC，(2)平面 MAC 与平面 A

5、BCPDCMBCKBAN所成的二面角的正切。7. ABC中，A=90°，AB=4 ，AC=3，平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是 AB 中点 M ，二面角 PACB 的大小为 45°。求（1）二面角 PBCA 的大小；（2）二面角 CPB A 的大小。PABMDC8. 如图，已知 ABC 中，AB BC，S 为平面 ABC 外的一点， SA平面 ABC ，AM SB 于 M ，AN SC 于 N,(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求证 ANM 是二面角 ASCB 的平面角 .SNMACB9. 第 8 题的变式：如上图，已知 ABC 中，AB BC，

6、S 为平面 ABC 外的一点，SA平面 ABC ， ACB 600，SAACa，(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求二面角 ASCBC 的正弦值 .10. 如图 ,ABCD-A 1B1C1D1 是长方体，侧棱 AA 1 长为 1，底面为正方体且边长为 2，E 是棱 BC 的中点，求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值。D1C111. 如图 4，平面 平面 ， =l ，A ，B ，点 A 在直线 l 上的射影为 A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2 ，AA 1=1，BB1= 2，求：二面角 A1AB B1 的大小。AEFB 1LA 1B图 4三、垂面法：已知二面

7、角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD ，PA=AB=a ，求 B-PC-D的大小。P解：（垂面法）如图， PA平面 BDBDACBDBC过 BD 作平面 BDH PC 于 HPCDH、BHBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。HAjDBC因 PB= 2 a,BC=a,PC=3a,1·PBC=1· 则BH=a=DH，又BD=2a在2PB BC=S2PC BH3BHD 中由余弦定理，得：226 a6 a22222a33c

8、osBHD BHDHBD12BH BD26 a26 a33 BHD= 2 ，二面角 B-PC-D 的大小是 2 。33，又 0 BHD ，则12. 空间的点 P 到二面角l的面 、 及棱 l 的距离分别为 4、3、239 ，求二面角l的3大小 .PABCl13如图，在三棱锥 SABC 中， SA底面 ABC ，AB BC，DE 垂直平分 SC 且分别交 AC、 SC 于 D、E，又 SAAB ，SBBC，求二面角 EBD C 的度数。SDCABII.寻找无棱二面角的平面角的方法( 射影面积法、平移或延长(展 )线(面)法 )四、射影面积法：利用面积射影公式S 射S 原 cos ,其中为平面角的

9、大小， 此方法不必在图形中画出平面角。例在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。PADPA解：（面积法）如图， ADABAD PBA于 A ，PAABAAD同时， BC平面 BPA 于 B ，故 PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影BlC设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 ，s PBA2°则 cos=S PCD2=4514. 如图，设 M 为正方体 ABCD-A 1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 BMD 1 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。C1D1B

10、 1A 1MHDCAB15. 如图， AC, BD，与 所成的角为 600， ACl 于 C， BDl 于 B，AC3，BD4，CD2，求 A、B 两点间的距离。AACCllDDB EB五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。例 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN ，PN则 PQPA、PD，于是

11、APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中， PA=AD ，则 APD=45°。QM即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为45°ADBBO16. 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。PC1PA1B1DCDCABAB六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法， 可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例（ 200

12、9 天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ，AB AD ， M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE= 1 AD 。2,(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；(III) 求二面角 A-CD-E 的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系， 以点A为坐标原点。 设依题意得 B 1，0，0，C 1，1，0，D 0，2，0，AB 1，11E 0，1，1， F 0，0，1，M，1 .22（I） 解：BF1，0，1，DE0， 1，1，BF DE00 11于是 cos BF，DE22.BF DE

13、2所以异面直线 BF 与 DE所成的角的大小为 60 0 .（II ）证明：AM11CE1，0，1， AD0，2，0 ，可得 CE AM0 ，由12， ，2CE AD0.因此， CEAM ，CEAD .又AMADA，故CE平面 AMD .而 CE平面 CDE ，所以平面 AMD平面 CDE .uCE，xz，（III ） 解：设平面 CDE的法向量为 u(x，y，z)，则0于是01，可得 u(1，1，1）.令 xuDE0.yz0.又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 v(0，0，1).18.（2008 湖北）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，平面 ABC侧面 A1ABB1 .(I) 求证

14、： AB BC ；(II) 若直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角为,二面角 A1 BCA 的大小为，试判断 与 的大小关系，并予以证明 .分析：由已知条件可知：平面 ABB 1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系， 并将相关线段写成用坐标表示的向量， 先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：arcsina，且aca, ）b a2a2a2c2c2c2由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：分析：所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱PB上任取一点 Q，在半平面 PBA

15、和半平面 PBC上作 QM PB，QN PB，则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在 RtPQM和 RtPQN中可求得 QM=QN=3 a；又由2PQNPQM得 PN=a,故在正三角形 PMN中 MN=a,在三角形 MQN中由余弦定理得 cos1MQN= ，即二3面角的余弦值为 1 。3PAABPBPD因为 AB=AD=a ， PAADPBPD，BCDCPBDPDC 。ABADaPCPC过 B 作 BHPC 于 H，连结 DHDH PC故 BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。因 PB= a,BC=a,PC=a,1·1· ，则a又2a 。在BH= =DH

16、BD=BHD23PB BC=SPBC= PC BH223中由余弦定理，得：26 a22a6 a2BHDBH2 DH2 BD2331 ，又0 BHD 则 BHD= 2，二面cos2BH BD6 a6 a23233角 B-PC-D 的大小是 2 。3基础练习 1二面角是指（）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2平面 与平面 、都相交，则这三个平面可能有（）A1条或 2条交线B2条或 3条交线C 仅 2条交线D1条或 2条或 3条交线在0的二面角的一个面

17、内有一个点， 若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是 ()330A5B 20C102D 5 224在直二面角 -l- 中，Rt ABC在平面 内，斜边 BC 在棱 l 上，若 AB 与面 所成的角为600，则 AC 与平面 所成的角为（）A300B 450C 600D 12005如图，射线 BD、BA 、BC 两两互相垂直， AB=BC=1 ，BD=6 ，2则弧度数为的二面角是（）3ADBCA.D-AC-BB.A-CD-BC.A-BC-DD.A-BD-C6 ABC 在平面 的射影是 A1B1C1，如果 ABC 所在平面和平面成 角，有 ()A.S A1B1C1 =S ABC ·

18、 sin B.SA1B1C1 = S ABC · cos C.SABC =SA1B1C1 · sin D.S ABC =SA1B1C1 · cos 7如图，若 P 为二面角 M-l-N 的面 N 内一点， PBl ，B 为垂足， A 为 l 上一点，且 PAB=，PA 与平面 M 所成角为 ，二面角 M-l-N 的大小为 ，则有（）PAsin =sin sin Bsin =sin sin Csin =sin sin D 以上都不对NBMl A在0 的二面角的棱上有两点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的860线段，已知： AB=6 ，AC=3 ，BD=4，则 CD=。已知ABC和平面 ，A=300， B=600，AB=2 ，AB，且平面 ABC 与 所成角为 300，9则点 C 到平面 的距离为。10正方体 ABCD A 1B1C1D1 中，平面AA 1C1C 和平