圆幂定理——老师用

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而 “切线”是一条直线，它不可以度 量长度。2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2） 若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条 切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切 线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点 向圆引的两条切线所夹的角

2、。3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角直线ABB。O于P，PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦O O中，AB CD为弦，PA- PB二连结 AC、BD,证：定理交于P.PC- PD. AP3A DPB.相交弦O O中，AB为直径，PC= PA- PB.用相交弦定理.定理的CDLAB于 P.推论切割线O O中，PT切O O于T，PA-

3、PB连结TA、TB，证：定理割线PB交OO于A PTBA PAT切割线PB PD为OO的两条割PA- PB= PC-PD过P作PT切OO于T，定理推线，交OO于A、C用两次切割线定理论圆幕疋O O中，割线 PB交 O OP'C - P'D = r2 延长P'O交OO于M理于A，CD为弦OP'2延长OP'交O O于N,PA- P吐OP r2用相交弦定理证；过P r为。O的半径 作切线用切割线定理 勾股定理证8.圆幕定理：过一定点P向。O作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的| （R为圆半径），因为两条线段之积为常数I叫做点对于OO的幕，所以将上述定

4、理统称 为圆幕定理。【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 0,过A作半 圆切线，切点为F,交CD于E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知：AF= A吐1, EF= CE 设CE为x,在Rt ADE中，由勾股定理例2. O O中的两条弦 AB与CD相交于E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,那么CE=cm图2解：由相交弦定理，得AE BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,即二 CE= 3cm或 CE= 4cm。故应填3或 4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍 例3.

5、已知 PA 是圆的切线，PCB是圆的解：vZ P=Z P/ PAC= Z B, PA3A PBA 0又 PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得即，故应填PC点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论例4.如图3，P是。O外一点，PC切于点C, PAB是O0的割线，交于A、B两 点，如果PA PB= 1: 4，PO 12cm O0的半径为10cm则圆心O到AB的距离是cm图3解：t PC是 O O的切线，PAB是O O的割线，且PA P吐1: 4 P吐 4PA又 PO 12cm由切割线定理，得p吐 4X 6= 24 (cm) 二AB= 24 6= 18 (cm) 设圆心0

6、到AB距离为d cm, 由勾股定理，得故应填例5.如图4, AB为。O的直径，过B点作。O的切线BC OC交O O于点E, AE的延长线交BC于点D, (1)求证：;(2)若A吐BC= 2厘米，求CE CD的长。,即要证 CEEA CBE点悟：要证证明：（1）连结BE(2)又厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，AB为O0的直径，弦CD/ AB, AE切OO于A,交CD的延长线于E求证：证明：连结BD AE切O 0于 A,/ EAB / ABD AE1AB,又 AB/ CD AE1 CD AB为。0的直径/ ADB= 90°/ E=

7、Z ADB= 90° AD0A BADV CD/ ABi AD= BC例7.如图 6, PA PC切 OO于 A C, PDB为割线。求证：AD- BO CD- AB,显然点悟：由结论ADBO CD- AB得 要证 PADA PBA和 PCSA PBC证明：t PA切O O于A,/ PAD= / PBA又/ APB / BPA PADA PBA同理可证 PCDA PBC PA PC分别切OO于A、C P心 PC AD- BO DC- AB例8.如图7,在直角三角形ABC中，/ A= 90°，以AB边为直径作。O,交斜边BC于 点D,过D点作OO的切线交AC于 E。图7求证：

8、BO 2OE点悟：由要证结论易想到应证。丘是厶ABC的中位线。而OA OB只须证AE= CE 证明：连结0D ACL AB, AB为直径 AC为O0的切线，又DE切OO于D E心 ED ODL DE94 0D / B=Z 0DB在 Rt ABC中 , / C= 90° -Z B / 0D昌 90° Z C= Z EDC ED= EC AE= EC。丘是厶ABC的中位线 BO 20E例9.如图8,在正方形 ABCD中，A吐1,以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点 E是边AD上的任意一点（点E与点所在圆的切线，交边DCD不重合），过E作 于点F，G为切点。当/ DEP 4

9、5°时，求证点G为线段EF的中点;图8解：由/ DEQ 45°，得/ DFE= / DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因为AB是圆B的半径，ADLAB,所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点G又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EdFQ即点G为线段EF的中点。【模拟试题】(答题时间：40分钟)、选择题1.已知：PA PB切OO于点A、B,连结AB,若A吐8,弦AB的弦心距3,贝U P心 ()B.A.C. 5D. 82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与。0相切于C,AB为直径

10、，/ CAB= 40°，则/ MCA勺度数()图1A.50°B. 40°D. 55 °4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 为（）A. 8cmB. 10cm C. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC边上的点，ADC. 60°4,则另一弦长,BDDE长等于（）=3cm DC= 4cm如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么A.B.C.D.6. PT 切。O于T, CT为直径，D为0C上一点，直线PD交。O于B和A, B在线段 PD上，若 CD= 2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于

11、（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7. AB CD是O 0切线，AB/ CD EF是OO的切线，它和 AB CD分别交于E、F,则/ EOF= o8. 已知：O O和不在OO上的一点P,过P的直线交O 0于A、B两点，若PA- P吐24, O吐5,则O O的半径长为o9. 若PA为O O的切线，A为切点，PBC割线交OO于B、C,若 BC= 20 ,，贝y PC的长为。10. 正厶ABC内接于。O, M N分别为AB AC中点，延长 MN交。0于点D,连结BD交AC于 P,则三、解答题11. 如图2, ABC中, AO2cm 周长为8cm F、K、“是厶ABC与内切圆的切点，DE 切O 0于点M且DE/ AC,求DE的长。图212. 如图3,已知P为O0的直径AB延长线上一点，PC切OO于C, CDL AB于D,求 证：CB平分/ DCP13. 如图4,已知AD为O0的直径，AB是。0的切线，过B的割线BMN交 AD的延长 线于C,且BW MN NC若AB 径。【试题答案】、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题7. 908. 19. 3010.三、解答题：DE= 1cm11. 由切线长定理得 BDE周长为4,由厶BD0A BAC12. 证明：连结AC,贝U AC丄CBv CDL AB AC