圆锥曲线地光学性质

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探圆锥曲线的光学性质1 1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另个焦点上；（见图1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在Fi处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得 切线I的斜率k y xx0b2Xo2a yo，而PF,的斜率ki0, PF2的斜率k2xo cxo cyo b2xo1到PF1所成的角满足ta nk11kkk112Xoc a yoa2y2b2x： b2cxo2b X)yoa2 b2 Xoyo2 a cyo2X

2、ocay。b2k k2b2Q P xo,yo在椭圆上, tan,同理，PF2到1所成的角满足tancyo1 kk2cyota ntan ，而， o, ，二21 2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图1.2） 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用.1 3抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜

3、面反射后能成为平行光束，使照射距离加大， 并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在 焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样 保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.图1.1图1.2要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题

4、转化及证明2 1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线I与曲线C交于P , Q两点，当直线I连续变动时，P , Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P , Q重合为一点 M此时直线I称为曲线c在点M处的切线，过M与直线I垂直的直线称为曲线 c 在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：22圆锥曲线光学性质的证明2 2预备定理1.若点P(xo,y°)是椭圆令2 1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：a bXoX2ayoy1。证明:22 Xb (12)，a1°当Xa时，过点P的切线斜率b2k一定存在，且k y'|x x0，对式求导：2yy'

5、 x ,aky'|xb XoXoa yo,切线方程为y。壘(x Xo)a yo,2X.点 P (Xo, yo)在椭圆 2a2XqaXgX2誥1，代入得a2而当x a时，yo切线方程为XqXy°ya，也满足式，故弓 將1是椭圆过点P(Xo,yo)的a b切线方程.预备定理 2.若点P(Xq, yo)是双曲线2X2a2笃 1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:bXoXa证明:2由b-b2X2a2 ,2y b1),a时，过点p的切线斜率k，定存在，且k2b2对式求导：2yy'2x , k y'|xXoa222点P(xq, yo)在双曲线X每 1上，故Xq2aba而

6、当xa时，y°0切线方程为Xb2X)a2y°'切线方程为yyo2(X Xq),a yo2仏1 b2 1XqX代入得2ayoyb21，y lx Xq ,a，也满足式，故笙逬 1是双曲线过点a bP(xo,yo)的切线方程预备定理3.若点P(Xo,yo)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是yoy p(x xq)证明：由y22px，对x求导得：2yy' 2p k y'|x X0py。，当y。0时，切线方程为y y卫(x2xJ，即 y°yy0pxPX0 ,y。而yo2px0y°yp(x X0)-，而当y0,X00时，切线

7、方程为X00也满足式,故抛物线在该点的切线方程是y°y p（x X。）.定理1.椭圆上一个点 P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）2 2l是过椭圆上一点 P（x0, y0）已知：如图，椭圆 C的方程为 笃 笃 1，Fi,F2分别是其左、右焦点, a b的切线，I'为垂直于I且过点P的椭圆的法线，交 X轴于D，设 F?PD , FiPD求证:2X证法一一 :在C : -2a1上,p(xo, yo) C，则过点P的切线方程为:XoX-2a缨 1, I'是通过点bP且与切线I垂直的法线，Xoy。（書厶b ac 2D（） Xo,0）,a则 I':(

8、x (笃)a法线I'与X轴交于2c| RD |2 XoC,| F2D |aIPF1I a exo,| PF21 a22_X画a2 0，冋| ex 匡刃吐2acx02acx0，又由焦半径公式得:|F2D| |PF21，- PD 是 F1PF2 的平分线，90，故可得证法二：由证法一得切线I的斜率k y'|X Xb2X02a y。，而PF1的斜率k,PF2的斜率X0 c.y。cl*亠“么八牡,-'k1ky°b2x)a2y°X c2，1 士9厂厂1所成的角满足:Ldl 1.2X0c1kk.1 bx°y°(X0c)a2y°2 2

9、x yb2t P(x°,y0)在椭圆 C : 一221上，tanIa bcy°同理，PF2到I所成的角'满足tankk2b2 ta n'tan1kk2cy°2 2 2 2 2a y° b X0 b CX0(a2 b2)X0y° a2cy°而，（。，2）,证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线I对称，连结Fl , F3交椭圆C于点P'下面只需证明点 P与P'重合即可。一方面，点P是切线I与椭圆C的唯一交点，贝U |PFi| IPF2I 2a，是I上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为I上的其它点

10、均在椭圆外）。另一方面，在直线 I 上任取另一点 P'', v|P'Fi | |P'F2| |P'Fi| |P'F3| IF1F3I |P”Fi|P''F2|而得证即P'也是直线 AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P'重合，即定理2 双曲线上一个点 P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图 2.2 ）;已知：如图，双曲线2Xc的方程为aF2分别是其左、右焦点，I是过双曲线C上的一点P（xo, yo）的切线,x轴于点D ,设FfD,F2PD求证:证明:(c2b2),XoX 2_ayoy 1眉1，

11、由双曲线的焦半径公式得:cc|PFi| |-Xo a|,|PF2| |-Xo aa|，双曲线的两焦点坐标为 F(c,O) , F ( c,0),故|DFi|ac|XoXoaca|,|DF2| | |X。Xo a1 c 1 |x。a| a|-Xo a| a|DFi|DF2|定理3，二切线I为 FPF之角分线。抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P处法线平分（图2.3 ）。文案大全图2.31 ,.Q(丄，丄)8648已知：如图，抛物线C的方程为为 寸 4CX ,直线I是过抛物线上一点 P(x0, y0)的切线，交x轴于D ,DPF , PDF ，反射线PQ与I所成角

12、记为，求证：证明： 如图，抛物线 C的方程为C : y2 4cx，点P(xo,yo)在该抛物线上，则过点P的切线为y°y p(x Xo)，切线I与x轴交于D( x°,0)，焦点为F (c ,0)，(同位角)，|PF | -认 C)2 y |xo c|,|DF | |xo c|, A|PF| |DF |通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用3 . 1解决入射与反射问题例1.设抛物线C :y2 x，一光线从点 A (5, 2)射出，平行C的对称轴，射在 C上的P点，经过反射后，又射

13、到 C上的Q点，贝U P点的坐标为 , Q点的坐标为 。解：如图，直线 AP平行于对称轴且A(5 , 2) ,则P点的坐标为(4, 2),1 2反射线PQ过点F(-,0)，设Q(t2,t),42 8-，解得：t4 1 1542 2例2.已知椭圆方程为25碁1，若有光束自焦点A(3，。)射出，经二次反射回到 A点，设二次反射点为B,C，如图3.1.2所示,2x解：椭圆方程为一252y 21中，c1625169 ,则厶ABC的周长 A (3 , 0)为该椭圆的一个焦点，.自A(3,0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点 A (-3 , 0)故厶ABC的周长为:AB BA' A

14、'CCA4a 4 520。图 3.1.3X21,又A C，已知A(4 , 2.2),例3.双曲线C : 一8F (4, 0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8,k)，则 k= 解：入射线FA反射后得到的光线 AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点 F '( 4,0) ,乙2k 3、212 83 . 2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的

15、关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用 圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。P是C上的动点，求x2 y2例4 .已知椭圆C:1 , F1、F2为分别是其左右焦点，点 Q(21),259mf|mq的取值范围。（一）分析猜想：（1 ）经计算，Q（2,2）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此MR |MQ应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从Fi射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一

16、是被上半椭圆反射（如图，光线从Fi R Q），二是被下半椭圆反射（如图 ，光线从FiP2F2 Q），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图中的RFi RQ 2a （2a为椭圆长轴长），而图中的F2F1 RQ 2a，可见图所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图所示的光线又有什么特点呢？将图和图中的光线反射路线合并图 ，由于RQ R2F1 RQRR是定值4a（a为椭圆长半轴长），而|rq| |rr由前面知最小，由此猜测 RQ| RF1可能就是最大值。（二）证明RFj RQ是最小值。如图，连接Q F2，延长交椭圆于F2，在椭圆上另取一点 R2，由椭圆定义知：F2QQF2RF1

17、IP2F1F2 F2 |（ *），因为IP2F2IIRQQF2I，代入（*）式得：RQ|QF2IIRF1IIBF|RQIQF2I，所以，|RQ|IRF1|IRF| RQ |。猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出IF2QI,（42）2422.10，可得最小值为2aI F2QI102.10，最大值为 2a I F2QI 10 2.10.2 y29例5.已知双曲线C： x21 , F1、F2为分别是其左右焦点，点 Q（4,） , M是C上的动3 2点，求MF2 MQ的取值范围。分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然| MF2 |MQ可以无限大，故要求 MF2 M

18、Q的取值范围，关键是求出MF2 MQ的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从 F1射出经双曲线反射后经过点 Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结 合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点 Q的光线：连接F1Q，与双曲线的交点即为使得 MF2 MQ 最小的点，设为 P点，光线从F2P Q。（见图2）（二）证明：如图2 :按猜想作出点 P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离 之和不会最小），故在右支上另取一点 P，由双曲线定义知：PFj PF2 I P F1P F2 I，即PF1 IP

19、F2 |pf1pf2 I，因为 |pfJ |pq IPQ|PF1 I，两边同加 |PF2 得：所以 PF1 PQ |PF2 |PQ IPF1PF2|PQ| |PFi 門|,故 PQ| |PF2 |PQ| |PF2|，猜想得证。(三) 计算：由题意知9- Fi( 2,0), Q(4,),2|PQ| IPF2I |FQ | |FiP| IPF2I11=|FiQ | (| FiP| |PF2|)=|FiQ| 2A=-2例6.已知抛物线C: y2 4x , F是其焦点，点Q(2,1),M是C上的动点，求MFMQ的取值范围。图 3.2.5分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。

20、根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且PF PQ 33 . 3 .圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也 不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题 有着密切联系。图 3.3.2以椭圆为例：如图,1是过椭圆周上一点 P的椭圆的切线，m是P点处的法线，光线从F（F2） 射出

21、被椭圆反射经过 F2（ FJ ,满足/仁Z2，且/3= Z4。2x 例7 已知I是过椭圆C： 162 1上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点F1作l的垂线,12求垂足Q的轨迹方程。分析：如图332 ,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于I是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：I是 F1PF2的外角平分线，Fi关于直线I的对称点F2在F2P的延长线上。这样，由于PFi IPF2 |，故 |Fi F2 |PFi| |PF2| 2a 8，而 Q、O 分别是 F1 F|、F 2 F2 的中点，所以 QO 4。从而Q点轨 迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点 Q的方程为x2 y2 163 . 4在生产生活中的作用例8 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图 ,其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如图为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少?Ox解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为X轴，开口方向为X轴的正向，建立坐标系如图,则内壁抛物线方2程为y 2px 据所示尺寸，抛物线过坐标为（40,85）的点，所以852 2p 40 80p , p 90.3 加热点F应置于抛物线的焦点.焦点坐标为（卫,0） （45.2,0）.所以F应距碟底约245.2c