四种命题四种命题间相互关系

1、四种命题四种命题间的相互关系1. 了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)2. 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)3. 利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)教材整理1四种命题阅读教材P4P6，完成下列问题1. 四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结_ 论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的 否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题

2、的逆命题、否命题、逆否命题.2. 四种命题的形式原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若p，则q.逆否命题：若4，则p.判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 有的命题没有逆命题.()(2) 四种命题中，原命题是固定的.()(3) “对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.()解：(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故 (1)错.(2) 四种命题中原命题具有相对性，故(2)错.(3) “对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”， 故错.答案:x x x教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6P8，完成下列问题1. 四种命题之间的相互关系2. 四

3、种命题的真假关系四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题直直直直/、/、/、/、直/、假假直/、假直/、直/、假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.()(2) 两个互逆命题的真假性相同.()命题“若a > 3，贝U a> 6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真 命题的个数有3个.()解：(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命 题，故对

4、(2)两个互逆命题的真假性无关，故 (2)错.(3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故 (3)错 .答案:V (2) xX小组合作探究四种命题的概念例1 、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； 如果x > 10 ,那么x >0 ;(3) 当 x = 2 时，x2 + x 6 = 0.根据四种命题的结构写出所求命题 .自主解答： (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相 交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那

5、么直线不垂直于平面内的两条相交直线逆命题：如果x > 0，那么x > 10 ;否命题：如果xw 10,那么xw0；逆否命题：如果x w 0，那么x w 10.逆命题：如果x2 + x 6 = 0，那么x = 2 ;否命题：如果x工2，那么x2 + x 6工0 ; 逆否命题：如果x2 + x 6工0，那么x工2.1. 写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；将命题写成“若p，则q ”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 必须注意各命题中的大前提不变 .2. 常

6、见词语的否定词语是都是>至少有n个至多有n个否定不是不都是至多有n 1 个至少有n + 1 个再练一题1. (1)命题“若m > n,则m 1 > n 2 ”的逆否命题为 .(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题： 正数的平方根不等于0 ; 若 x2 + y2 = 0(x , y R)，则 x , y 全为 0.解：(1)若 m 1 < n 2，贝U m < n.(2)逆命题：若一个数的平方根不等于 0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0 ;逆否命题：若一个数的平方根等于 0，则这个数不是正数.逆命题：若x，y全为0，则x2

7、+ y2 = 0(x，y R);否命题：若x2 + y2工0(x，y R)，则x，y不全为0 ;逆否命题：若x，y不全为0，则x2 + y2工0(x，y R).四种命题真假的判断例2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、 逆否命题，然后判断它们的真假:(1) 正偶数不是素数；(2) 平行于同一条直线的两条直线平行把命题改写成“若 p，则q ”的形式依据定义写出另外三种命题判断真假自主解答：(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题;逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题;否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题;逆否命题：若

8、一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题.(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题.逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题.逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论， 直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系 进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假 再练一题2. 下列命题: “若xy = 1，则x、y互为倒数”的逆命题； “四边相

9、等的四边形是正方形”的否命题； “梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是.解：“若xy = 1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy 二1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相 等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题， 所以其逆否命题也是真命题所以真命题是 答案：探究共同研讨等价命题的应用 探究1我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困 难时，该怎么办？【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题探究2根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理

10、论基础？【提示】是反证法的理论基础.例3判断命题“已知a ,x为实数，若关于x的不等式x2 + (2a + 1)x + a2+ 2< 0 的解集不是空集，则a > 1 ”的逆否命题的真假.法一:分析已知命题 写出逆否命题利用A求a的范围判断命题真假法二：判断原命题真假 判断逆否命题真假【自主解答】法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2+ (2a + 1)x + a2+ 2 < 0的解 集为空集.真假判断如下：抛物线 y = x2+ (2a+ 1)x + a2 + 2 开口向上，判别式二(2a + 1)2 4(a2 + 2) = 4a 7

11、，若 a<1，贝U 4a 7<0.即抛物线y = x2+ (2a+ 1)x + a2 + 2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2 + (2a + 1)x + a2 + 2 < 0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二：先判断原命题的真假.因为a，x为实数，且关于x的不等式x2 + (2a+ 1)x + a2 + 2 < 0的解集不是空所以= (2a+ 1) 4( a + 2) A 0 ,7即 4 a 7 A 0，解得 a A .47因为a a所以a a 1，所以原命题为真.4又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写

12、出逆否命题，后判断，如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假， 如法二再练一题3. 证明：已知函数f(x)是(x，+x)上的增函数，a、b R，若f(a) + f(b)Af(a)+ f( b)，则 a + b a 0.解：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(x，+x )上的增函数，a，b R，若 a + b v 0，则 f(a) + f(b)v f( a) + f( b).”当 a + b v 0 时，a v b， b v a，又 f(x)在( x，+x )上是增函数， f(a)vf( b)，f(b)vf( a).f(a) + f(b)vf( a)+ f( b

13、)，即逆否命题为真命题.原命题为真命题.1. 命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A. “若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B. “若一个数的相反数是正数，则它是负数”C. “若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D. “若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”解:若原命题记作“若p，则q ”，则A为“若p，则q ”； B为“若q，则p ”；C为“若p，则q”； D为“若4,则p ”.故B正确.答案：B2. 命题“如果x2v 1，则1 vxv 1 ”的逆否命题是（）A. 如果 x2 > 1，则 x > 1，或 x < 1B. 如果 1 v xv 1

14、，则 x2v 1C. 如果 x > 1 或 x v 1，则 x2 > 1D. 如果 x > 1 或 x < 1，则 x2 > 1解：“1 vxv 1 ”的含义是“ x> 1且xv 1 ”，故“1 vxv 1”的否定是 “x > 1 或 x < 1 ”，故选 D.答案： D3. 已知命题：“若x > 0， y > 0，则xy > 0 ”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 （）A.1B.2C.3D.4解：由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy > 0，则x > 0，y > 0 ”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中， 真命题的个数为 2.答案： B4. 有下列四个命题： 命题“若x + y = 0，则x，y互为相反数”的逆命题； 命题“面积相等的三角形全等”的否命题； 命题“若m < 1，则x2 2x + m = 0有实根”的逆否命题； 命题“若A n B = B，则A? B ”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题