平面与空间直线练习题

1、高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第i、n卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入题后括号内，第n卷可在各题后直接作答.第I卷（选择题）一、选择题（本大题共 10小题,在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是（）A. 空间不同三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析：根据公理3（经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面）知不在同一直线上的三 点,才能确定一个平面，所以A错. 如图（1）,a,b,c三条直线两两相交，但a,b,c不共面,所以B错误.

2、如图（2）,显然四边形ABCD不能确定一个平面.2. 已知 AB / PQ,BC / QR, / ABC=30 ° ,则/ PQR 等于（）A.30 °B.30。或 150°C.150 °D.以上结论都不对答案:B解析：由等角定理可知/ PQR与/ ABC相等或互补，即/PQR=30 °或150° .3. 如右图，aQB =l,A ,B ,AB A l=D,C a，则平面 ABC和平面a的交线是（）B.直线BCD.直线CDA.直线ACC.直线AB 答案:D> =>> => CD C ctARcl =DD el

3、Cea朋片头畫面遊mDu平面近解析:CD为平面 ABC与平面a的交线.故选D.4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是（）ABCDC.60°D.45A、B、C三点相对位置，可知/ ABC在等边 ABC答案:C解析:A,B中的PQ与RS相互平行；D中的PQ与RS相交；由两条直线异面的判定定理可知C中的PQ与RS异面.5对“ a,b是异面直线”的叙述，正确的是（）a A b= 且a不平行于 b a 平面a ,b 平面B且aA3 =a 平面a ,b 平面a不存在平面a ，使a 平面a且b 平面a成立A.B.C.D.答案:C解析:

4、根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知，结论正确空间不相交的两条直线除平行外就是异面，故对于结论，既然两直线不平行，则必然异面分别在两个 平面内的两条直线可能平行 ，故不正确平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还 可能平行或相交，故不正确.综上所述，只有正确.6右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，/ ABC的值为（）A.180 °B.90 °答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准内.7.在空间四边形 ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点，设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系 是（）A.

5、MN>aB.MN=aC.MN<aD.不能确定C答案:C1 1解析：如图,取 AC 中点 P则 MP BC,NP AD,且 MP+NP= (BC+AD)=a>MN,故 C 正确.2 28如图，在棱长为 1的正方体 ABCD AiBiCiDi中，0是底面ABCD的中心，E、F分别是CCi、AD的中点，那么异面直线 0E和FDi所成的角的余弦值等于()D.-10i54A.B.C.-555答案:B解析一：如图(1),取面CCiDiD的中心为H,连结FH、DiH.易知0E/ FH，所以/ DiFH为所 求异面直线所成的角.在 FHDi中，DiCCBiOH=CCDi4FDi= - , F

6、H=3 , DiH=2由余弦定理，得/ DiFH的余弦值为2225解析二：如图(2),取BC中点为G.连结GCi、FDi,则GCi / FDi.再取GC中点为H,连结HE、 OH，则/ OEH为异面直线所成的角.J3J 5在厶 OEH 中，OE= ,HE= 24由余弦定理，可得cos/ OEH=9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是P,Q两点之间的最小距离为()A.12,动点P在线段AB 上,动点Q在线段CD 上,则2D.，3答案:C解析:PQ的最小值应是 AB,CD的公垂线段长易知P,Q分别是AB,CD中点时，PQ丄AB,PQ丄CD.在 Rt BQP 中, BQ= 3,BP=1,.

7、 PQ= 3 1=2.210右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM 与ED平行:CN与BE是异面直线；CN与BM 成60°角:DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.B.DC M/? ABC.D.答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体容易知道BM与ED异面,CN与BE平行，故不正确.因为BE / CN,所以CN与BM所成的角是/ EBM=60 °，延长CD至D '，使DD ' =DC, 则D ' N / DM, / BND '就是DM与BN所成的角设正方体的棱长为 1,因为 BN= 3a,ND'

8、= . 2 a,BD ' = . 5 a所以 BN2+d' N2=D ' B2，即 BN 丄 ND ' ,BN 丄DM.第n卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4小题，答案需填在题中横线上）11.以下四个命题： A l,A a，圧 l,B a l a; A a ,AE 3，圧 a，圧 3 aA3 =AB; I a ,A l A a; A,B,C a ,A,BC 3且A,B,C不共线 a与3重合.其中推理正确的序号是 .答案:解析：由公理1知正确；由公理2知正确；由公理3知正确；而中直线I可能与平面a 相交于A.故不正确.12空间四条直线，两两相交可确定平面的个数

9、最多有 个.答案：6.如图，平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.13.（2006全国重点中学一模,11）给出三个命题: 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.其中不正确的序号是 .答案:解析:在如图所示的正方体 ABCD A1BQ1D1中,AQ1丄D1DC1D1丄D1D,即A1D1与D1D,C1D1与D1D所成的角都是90。但A1D1与C1D1不平行，可知不正确，由公 理4可知正确.14.在正方体 ABCD A1B1C1D1中

10、，如果 E、F分别为 AB、CC1的中点，那么异面直线 AQ 与EF所成的角等于.答案:arccosJ1解析:延长AA1到P,使A1P=-AA1,2连结 PF,则 PF/ AQ,设 A1A=a.贝卩 PE2=( 3 a)2+( a)2=10 a2,2241 16EF2=( a)2+a2+( a)2= a2,PF2=A Q2=3a2.2 24/ cos/ PEF=J2直线Aq与EF所成的角等于arccos .3三、解答题(本大题共 5小题,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知正方体 ABCD AiBiCiDi 中，E、F 分别是 DiCi、B1C1 的中点， ACQ BD=P ,

11、A1C1Q EF=Q 求证：(i)D、B、F、E四点共面；若直线AiC交平面DBFE于点R，贝U P、Q、R三点共线.证法一 ：/ EF是厶DiBiCi的中位线, EF / BiDi.在正方体ACi中，BiDi / BD, EF / BD.由公理3知EF、BD确定一个平面 即D、B、F、E四点共面.证法二：延长BF,CCi交于点G延长DE,CCi交于点G'.G与G'重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.Q为a、B的公共点R PQ,即P、Q、R三点共线证明：正方体ABCD AiBiCiDi中，设AiACCi确定的平面为a ，设平面DBFE为B ,Q EF Q'又

12、 Q g Q同理,P亦为a、B的公共点R AiCR又R由公理2可知点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法i6.如图，E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD各边上的点，且有AE : EB=AH : HD=m,CF FB=CG : GD=n.C-(i)证明E、F、G、H四点共面.(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形？在(2)的条件下，若 AC丄BD，试证明EG=FH.(1)证明：/ AE : EB=AH : HD ,二 EH / BD./ CF : FB=CG :

13、 GD, FG / BD. EH / FG.A E、F、G、H 四点共面.解:当且仅当EH FG时，四边形EFGH为平行四边形.EH AE mm, EH=BD.BD AE EB m 1m 1同理,FG= BD.由 EH=FG 得 m=n.n 1故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.证明:当 m=n 时，AE : EB=CF : FB, EF / AC.又 AC 丄 BD，/ FEH 是 AC 与 BD 所成的角./ FEH=90 ° .从而EFGH为矩形， EG=FH.点评：空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当

14、两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时，该平行四边形为正方形.17.如图，a,b,c为不共面的三条直线，且相交于一点 0,点M,N,P分别在直线 a,b,c上，点Q是b证法一：(反证法)假设MN与PQ共面于B，则点M,N,P,Q 3 .又点N,Q b bOc O b P同理,a 3 . a,b,c共面，与已知a,b,c不共面矛盾.故MN与PQ为异面直线证法二二:MN,Q b点QMN,OP平面 MONP c点M ,N,Q共面于MON又Q b且异于N点P 平面MON.故平面MON内一点Q与平面外一点 P的连线PQ与平面内不过 Q点的直线MN是异面直 线.18.如图所示,

15、今有一正方体木料 ABCD A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点，要过Di,M,N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成 ？2解:作法如下：(1)连结MN并延长交DC的延长线于F连结DiF交CCi于Q,连结QN; 延长NM交DA的延长线于 E,连结DiE交AiA于P连结 MP;依次在正方体各个面上画线DiP,PM,MN,NQ,QD 1,即为木工师傅所要画的线19.如图，AB,CD 是 两条异 面直线，AB=CD=3a,E,F 分别 是线段 AD,BC 上的点，且ED=2AE,FC=2BF,EF= . 7 a,G BD,EG / AB.(1)求AB与CD所成的角 求 EFG的面积