北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷

1、北京邮电大学2010 2011学年第2学期3学时概率论与随机过程期末考试(A)一.填空题1. 设随机事件A, B满足P(AB)二P(A B),且P(A)二p ,则P(B) =凹2. 设每次实验中事件 A出现的概率为 p,在三次独立重复试验中，A至少出现一次的概19 率为 ,贝y p =1/3272 1 13. 随机变量X服从参数为1的泊松分布二(1),则P(X二E(X)=e24.设随机变量X服从正态分布N(10, 0.02 )记：:(x)1-,2:_u2e 2 du，且已知-4 - / 67.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则y 7时，Y =-21 n( F(X)的概率密度：(2.5)

2、 =0.9938，贝U P(x (9.95,10.05) =0.9 8 7 6i2005. 已知随机变量 X服从均匀分布U(1,6)，则矩阵A=0 -X 1的特征值全为实根I。T 0的概率为4/56. 已知随机变量X的密度函数为f(x) = e4, -二：x ： :,则P(0 ： X ： 1)=20,xzO,1 e 二 0 : x ： 2,1,x_2.9. 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布(1,2,12,22,0.5)，则Z =2X +Y+1的概率密1 (X5)度函数f (z) =12庙2ex 甩y), xAO,ynO,10. 设X,Y的联合概率密度为f(x,y) =4/，则概率、0,其

3、它，P( X 1 ,Y2e(1_e4)11.设随机过程 X(t)=X Yt Zt2,其中X,Y,Z是相互独立的随机变量，且均值都为零，方差都为1,则相关函数RX(s,t)=1 - st s2t2212.设W(t),0 _t ： -是参数为 二2 的维纳过程,则 E(W(3) -W(1)(W- W(1) =2113.设平稳高斯过程X(t).t_0的均值为零，相关函数为Rx( ) e，则对任意固4定的t。，X(t。)的概率密度函数f (x)= 14.设离散时间离散状态齐次 马尔可夫链Xn的状态空间是0,1, 2,平稳分布为11 1 1 1 1A，计,若 P(X0=0r，P(X01，P(X0=2)S

4、，则方差D(X100)=11/16215.设X(t),= : t ： :-为平稳随机过程，功率谱密度为Sx()厂则其平均1+(0功率为1(1 5 分)设某餐厅每天接待 300名顾客，并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布U (40,100),且顾客的消费相互独立求：(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差；(2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元；(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率.解 设Xi,i =1,2,.,300是第i位顾客的消费额，则由题意，Xi L f(x)二 60【0,40 ： x ： 100,其它，300设X 表示该餐厅的日消费额，贝y X = Xj.

5、因为 E(XJ = 70 ,则i TDY =300 DX1 =300(602 /12) =90000. EX =21000(5 (2 )设Y是消费额超过50元的顾客数则yL B(300,P(X1 .50) = B(300,5/ 6),所以EY =300 (5/6)=250.(3)由中心极限定理得P(X1 X2 . X30021750)_ P |乂 +X2 +. + X300 -21000 ,21750-21000、v Jd(X1 +X2 + +X300) Jd(X1 +X2+.+X300)丿(5=1 -门(2.5)= 0.0062.(1 5 分)设二维随机变量(X,Y)具有概率密度k x(1

6、y)e, x 0,y 0,f(x,y)二 3l0,- 3其他.求系数k ；边缘概率密度fx(x), fY(y)，并问X,Y是否独立，为什么？求条件概率密度 fY|x (y | x), fxiY(x|y).解.(1) 1 = f(x, y)dxdy 二 k =3x 0,Y 0(3 boI J fx(X)f(X,y)dyxe(1y)dy = e，x 0,0,fY(y)=fxydx 二：xe(1y0d(TT30,y-0,(6 0,由于f (x,y) = fx(x)fY(y)，所以不独立.当x 0时，fY|X(y|x)二罟xeM y)xyL = xee当 y 0时，fxY(x|y) J(x, y)fY

7、(y)e_a(Hy)1(1 y)* 2xe(1y)2丄(1 -y)(6 -10 - / 6四.(1 5 分)设齐次马氏链Xn,n 0的状态空间为E二0,1,2，一步转移概率矩阵为1212初始分布为PX。=0 =PX =1 =PX(1)求 PXi =1,X2 7X4 =2;求Xo,X2的相关系数 ：Xo X2 ；141214口41412 证明马氏链Xn,n _0具有遍历性，并求其极限分布.12& 2 1 解(1) p(2) = P =42P X1 =1,X2 =1,X4 =2=二 P(Xo = i ) Pi1 p11 p12 (2) =0(5 i =0 X2 的分布率 p(2)二 p(0)P (

8、2) =(1/3,1/3,1/3)Xo, X2的联合分布率X。X201201/61/121/1211/121/61/1221/121/121/6EXo 二 EX2 =1,DX 二 DX2 =2/3EX0X2 =7/6、EXX2-EXEX24/1/ 4 DX0DX2(3)由P(2)知马氏链遍历，二-二 p由二。 ？得平稳分布为(1/3,1/3,1/3).(5二0,1,2,五. (10分)设某线性系统的脉冲响应函数为h(t)=鳥，将平稳过程X(t),t (：，：)，输入到该系统后,输出平稳过程y(t),t二”的谱密度为SyC 0=2，求：输入平稳过程的X (t) ,t (-：的谱密度蛍+13灼+36Sx ( ) ； (2)自相关函数Rx( ) ；(3)输入与输出的互谱密度Sxy( ).解:h(t)二 2汽