不定方程在解题中的应用

1、个人收集整理仅供参考学习不定方程在解题中的应用不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容所谓不定方程是指解得范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数.古希腊数学家丢番图于三世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果.研究不定方程要解决三个问题：判断何时 有解.有解时决定解的个数.求出所有的解.中国是研究不定方程最早的国家，公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.百鸡问题说："鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一.百钱买百鸡，问鸡翁

2、、母、雏各几何？".设x，y，z，分别表鸡翁、母、雏的个数 则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，乙这是一个三元不定方程组问题.下面我们主要讨论二元一次不定方程有整数解的条件与解法.关于二元一次不定方程 axby二c，有三个定理，彻底解决了它的解得存在性、通解 结构以及求解方法.定理1若(a，b) d，a =ad，b =bd，c ：=Z，则不定方程ax +by =c有整数解的充要条件是d | c.定理2若(a，b)|c，则不定方程ax+by=c有特解Xo=ctc/d，yo=比/d.其中a，P由带余除法给出，满足a a +Pb =d.定理3若不定方程ax by c有特解x =x)，

3、y =y0，则其通解为x 丸 bt，=y° a't，t =0，±，±2,.证明定理 2 因为ax0 +by0 =aac/d +bBc/d =(aa +bB)c/d= dc /d c,所以 x0, y0 是 ax，by=c 的解.解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数 偶数的特性、因数分解、不定式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识.本文就几类常见的不定方程做如下浅析.2.1非负数的巧用在初中数学中，经常用的非负数有： a2 _0；a _0;_0若干个非负数的和 为0,那么

4、每个非负数均为0.例11已知x2亠y2 x亠2y亠5 4 0,求x、y的值.分析：方程左边配方可变为非负数之和解：由 x2 y2 -x 2y 5 4=0得(x 1 2)2 (y 1)2 =0因为(x -1 2)2亠0,(y 1)-0.一般地,几个非负数之和为0,则每个非负数均为0.1所以x =, y =122.2利用放缩法解不定方程在解一下涉及到多个变元的问题，如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序，在不影响命题的成立的前提下，给它们假定一个大小顺序，那么就可将问题转化为解不等式(组),通过缩小范围而求解.1117例12求方程-二的正整数解.x y z 8分析：这个方程是关于 x、y、z的轮换

5、对称式，易知x、y、z都大于1,不妨取1 ： x _ y _ z,111则丄_丄_丄.将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值x y z作出估计,缩小x、y、z的取值范围,求出其结果.解：不妨设 1 ： x My 三z,贝U 1 ： 1 1 1 三 3 ,即 1 ： 8 三 3,所以x = 2,3. xxyzx x 7 x113 111132 当x =2时,丄1仝,丄：丄,即丄：-<-,所以y =3,4,5.yz8yyzy 8y此时(x, y,z)共有(2,3,24)、(2,4,8)两组.111311121132 当x =3时,，且，所以，yz24y y z

6、yy24y所以y =2,3.此时(x, y, z)的值为(3,2,24).由于x、y、z在方程中的地位平等，将上述结果作排列，共有下面12组解(x, y, z)的值分别是:(2,3,24),(2,24,3),(3,2,24),(3,24,2),(24,2,3),(24,3,2),(2,4,8) (2,8,4),(4,2,8),( 4,8,2),(8,2,4),(8,4,2).2.3二元一次方程的整数解一个二元一次方程得分解有无数多个，但我们常常只求整数解，甚至只求正整数解， 加上这一限制后，解可能唯一确定或只有有限个或无解.求它的整数解时，在这里我们介绍三种方法：例13求321x 111y =

7、75的通解.解一辗转相除法由于(321,111) =3,3| 75,故原方程有整数解，并等价于107 x 37y =25(1)为了求(1的一组整数解，对107,37作辗转相除：107=372+33,37=331+4,33=48+1,4=14.从余数是零的前一个等式开始，由下向上依次代入,得1=33-48 =338 (37 -33)=33 937 8=(107 -37 2) 9 -37 8 =107 9-37 26.这就找出(1)的一组解xo=9X25 y0=2625.于是原方程的通解为x =225 37u,y =-650 -107u,u=0,±1,±2,?.由于x =3 -

8、 37(6 u),y - -8 -107(6u),所以原方程的通解也可以写成,=3 +37t,y Y -107t,t =0, _1,_2,?.解二逐渐减小系数选择系数的绝对值较小的未知数y来解用37除(1)的两边，得-2x25 - 33x37如果x, y都是整数，则(25 _33x)/37必是整数,设它为u.这就有33x +37u =25.上式两边除以33,得± 25 4ux - -u33同理,(25 -4u)/33必是整数，设它为v,于是4u +33v = 25.上式两边除以4,得1 vu =6 8v4令(1 _v)/4 =t,得v=1 -4t,而u = -2 - 33t,从而可得

9、原方程的通解jx 二 3 - 37t,y = -8 107t,t =0, _1,_2,.解三37 2-107=-33(2)由于37去除107所得的商的整数部分为2,做两个等式37x(2 +1)-107 =4(3)将(3)式乘 2 加(4)式就得到 37 8 -107 3 = -25，即为：37 (£厂 107 (-3)=25.I x0 =3,于是得到原不定方程的一组特解：卜0 =，fx =337t,从而得原方程的整数解：y =+107t,t =0,±1,址？.在这里，我们重点讲解第三种方法设二元一次不定方程 ax by c(4)(a,b,c都是整数，ab工0,(a,b) =

10、1 这里规定a 0,且a .；：Jb )用a去除b得商q,余数为r1,(q,n为整数，且0 ： n : a), 即 b = aq r1aq _ b = -r1(5)列二等式：0(q+1)b=r2(6)由初等数论知，(a,b) =(")=1进而存在二整数s,t.使sr, +tr2 =c成立于是可从 、(6)两式作线性迭加求得(4)的一组特解(x0,y°),进而得到(4)的整数解的 通式：工x = x0 - bt$(t为整数).y 二y。+at为了证明(5)、(6)公式中r1,r2均为互素的正整数需要引入初等数论中的下述定理定理1：假设a,b都是正整数，且b>a,b=aq

11、+r 0 cr va,其中q和r都是正整数，则a 和b的最大公因数等于a和r的最大公因数，即(a,b)=(a,r).(此定理的证明在一般数 论教材中都有，可参阅.)由此定理可得到一下推论.推论：如果a,b是互素的两个正整数，且ba,b二aq r 0 :r : a,其中q和r都是正 整数，则a和r也- 互素的.现在来证明公式(5)、(6)中r1,r2是互素的正整数.从公式 中得到b二aq几，因为 a,b是互素的两个正整数，口和r1又是正整数,且0<n：a,由以上推论可知a和n是互素的. 将等式 减去等式 得到 r1 r2,由于a和*是互素的因此根据推论可知 几和r2是互 素的因此，对于不定

12、方程 中的任何c值，总可以从 和 两式线性迭加出一组 特解 来.因为从初等数论中可知，若几和r2是互素的正整数，而c是一个整数，则一定存在有两 个整数',使得：工 r2 c成立.说明：利用这种方法解二元一次不定方程的关键是作两个等式，但这两个等式并非一定要取上述的（5）、6）两式的形状不可,如任取四个非零整数x1, x2,x3,x4,作成以 下两个等式的形式ax bx2 = y1,+bx4 =y2只要yi,y2为两个互素的整数',将这两个式子线性迭加也可以得出方程（4）的一组特解来，但这种随意取得 捲必,対,&,不能保证和y2定互素，而本文所述的方法能确保前面（5）、（

13、6）两式中几和r2为互素的正整数，因此,可以得出二元一次不定方程（4）在任意变形情况下的特解来综上所述,可以看出此方法简单易行，避免了辗转相除法解不定方程的繁复转化 过程,不失为二元一次不定方程的又一种行之有效地解题方法版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This articlein eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. Copyright is pers onal own ership.b5E2RGbCAP用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非

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