高中新课程数学(苏教)二轮复习《必考问题1 函数的图象和性质

1、必考问题1函数的图象和性质【真题体验】1(2011·江苏函数f(xlog5(2x1的单调增区间是_解析因为函数u2x1，ylog5u在定义域上都是递增函数，所以函数f(xlog5(2x1的单调增区间即为该函数的定义域，即2x10，解得x，所以所求单调增区间是.答案2(2011·江苏，2改编已知函数ylog2(ax1在(1,2上单调递增，则a的取值范围为_解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解因为ylog2(ax1在(1,2上单调递增，所以uax1在(1,2单调递增，且恒大于0，即a1.答案1，3(2010·江苏设函数f(xx(exaex(xR是偶函数，则实

2、数a的值为_解析由题意可得g(xexaex为奇函数，由g(00，得a1.答案14(2012·南京、盐城模拟若函数f(xa是定义在(，11，上的奇函数，则f(x的值域为_解析由题意可得f(1f(1，解得a，所以f(x，当x1时，得f(x为增函数，2x2,2x11，01，f(x.由对称性知，当x1时，f(x.综上，所求值域为.答案5(2012·江苏已知函数f(xx2axb(a，bR的值域为0，若关于x的不等式f(xc的解集为(m，m6，则实数c的值为_解析由题意知f(xx2axb2b.f(x的值域为0，b0，即b.f(x2.又f(xc，2c，即x.，得26，c9.答案9【高考定

3、位】高考对本内容的考查主要有：(1函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查【应对策略】函数问题往往涉及许多重要的基础知识，不仅有常见的数学方法，还蕴含丰富的数学思想(如：等价转化、分类讨论、数形结合等，体现了数学能力的高层次要求在备考复习中，解答函数填空题，要注意小、巧、活，而函数综合题是江苏卷近几年每年必考的代数论证能力题的主要内容，充分体现了以导数为工具，以高中函数中的二次函

4、数、指数和对数函数为载体的指导思想要想在高考中得高分，必须对这一部分内容加以足够的重视必备知识1函数的单调性、奇偶性(1由f(x是增(减函数且f(x1f(x2x1x2(x1x2，另外定义的等价形式：设任意x1，x2a，b，且x1x2，那么0(0f(x在a，b上是增(减函数，(2奇偶函数的性质奇函数f(x若在原点有定义，则必过原点，即f(00；如果f(x是偶函数，那么f(xf(|x|，反之亦真；偶函数在对称于原点的两个区间上单调性相反，而奇函数则单调性相同2函数图象的变换(1平移变换(左“加”右“减”，上“加”下“减”(2对称变换yf(xyf(x，yf(xyf(x，yf(xyf(x，yf(xyf

5、(|x|，yf(xy|f(x|.3二次函数的图象与性质(1二次函数f(xax2bxc的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据(2求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴必备方法1定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必“定义域优先”2单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”判定函数的单调性常用定义法、图象

6、法及导数法对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减函数的和函数仍为增(减函数3函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半区间上，是简化问题的一种途径4对函数图象的研究应从其主要特征入手，如：定义域、值域、奇偶性、对称性、特征点、特征线、周期等5函数图象的对称性(1若函数yf(x满足f(axf(ax，即f(xf(2ax，则f(x的图象关于直线xa对称(2若f(x满足f(axf(bx，则函数f(x的图象关于直线x对称(3若函数yf(x满足f(x2bf(2ax，则该函数图象关于点(a，b成中心对称6二次函数、一元二次方程

7、和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中7指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可.命题角度一函数性质的应用命题要点 给定解析式，求函数定义域；对分段函数的理解和应用；函数奇偶性、单调性的应用【例1】 (2010·江苏已知函数f(x则满足不等式f(1x2f(2x的x的范围是_审题视点 听课记录审题视

8、点 分段函数的单调性，可以画出图象，利用图象直观地判断单调性解析作出函数f(x的图象，如图所示利用图象得f(1x2f(2x1x22x0或解得0x1或1x0，即x的范围是(1，1答案(1，1 分段函数是指在定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式的函数，它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系，所以分段函数是函数部分的一个重要考点，应引起我们的高度重视【突破训练1】 (2012·常州一中期中，5已知yf(x是R上的奇函数，且x0时，f(x1，则不等式f(x2xf(0的解集为_解析由条件yf(x为R上的奇函数，x0时，f(x1；则f(00，x0时，f(x

9、1，函数图象如图所示，由f(x2xf(0，得x2x0，从而x(0,1答案(0,1命题角度二函数图象的应用命题要点 应用函数图象研究函数性质；应用图象确定方程根的个数【例2】 (2012·苏州模拟已知函数f(xspan(x(1,1，有下列结论：x(1,1，等式f(xf(x0恒成立：m0，方程|f(x|m有两个不等实数根；x1，x2(1,1，若x1x2，则一定有f(x1f(x2；存在无数个实数k，使得函数九峰农民还建社区二期五区B5xf(xkx在(1,1上有三个零点，则其中正确结论的序号为_场审题视点 应听课记录预审题视点 可以作出函数图象，利用图象直观判断函数的奇偶性、单调性及交点个数

10、解析因为f(xf(x，函数f(x是奇函数，故正确；当m0时，|f(x|0只有一个解，故错误；作出函数f(x在(1,1上的图象如图所示，可知f(x在(1,1上是增函数，故正确；由图象可知yf(x，ykx在(1,1上有三个不同的交点时，k有无数个取值，故正确答案 由于根据函数解析式不太清楚该函数的有关性质，或者直接计算太麻烦，甚至解不出，故要学会利用数形结合的方法直观判断【突破训练2】 (2012·盐城调研，12若yf(x是定义在R上周期为2的周期函数，且f(x是偶函数，当x0,1时f(x2x1，则函数g(xf(xlog5|x|的零点个数为_解析f(x为偶函数，周期为2,0x1时，f(x

11、2x1，又log5|x|(x0亦为偶函数，只需分析g(xf(xlog5|x|在x0时零点个数，如图所示，交点有4个，即g(x在x0时有4个零点由对称性，g(x在x0时亦有4个零点综上可知，g(x的零点共有8个答案8命题角度三函数的综合应用命题要点 函数性质的综合应用；函数与不等式等其它知识的综合；复合函数的性质【例3】 (2012·无锡模拟设函数f(xlg，其中aR，对于任意的正整数n(n2，如果不等式f(x(x1lg n在区间1，上有解，则实数a的取值范围为_审题视点 听课记录审题视点 本题是指数函数的性质与不等式的综合应用，用分离参数的方法转化为函数最值问题求解，注意指数函数单调

12、性的应用解析由题意可得函数f(xlglg(x1lg nlg nx1，即为nx1在区间1，上有解，分离参数可得1amax，由指数函数的单调性可得函数yxxxx在区间1，递减，即x1时取得最大值，所以1aa在n2时恒成立，所以amax，而在2，上递减，所以当n2时取得最大值，故a.答案, 关于不等式恒成立、有解问题，通常利用分离参数的方法将所求字母的取值范围转化为函数最值，再利用相关函数的单调性等性质求函数最值，要熟练掌握并且能够灵活应用这一解法【突破训练3】 已知函数f(x22的定义域是a，b，其中0ab.(1求f(x的最小值；(2讨论f(x的单调性解(1f(x22222.设t，则由xa，b，0

13、ab，得t2 ，从而t，于是yt22t2(t121在上单调递增，所以当t2 ，即x时，f(xmin22.(2由t2 ，当且仅当，即x时等号成立，且t在a，上单调递减，在，b上单调递增，且yt22t22是上单调递增函数，所以f(x在区间a，上单调递减，区间，b上单调递增命题角度四二次函数命题要点 针对三个“二次”之间的关系进行命题；针对二次函数的相关性质进行命题【例4】 已知二次函数f(xax2bx(a、b为常数且a0满足条件f(x3f(5x，且方程f(xx有等根(1求f(x的解析式；(2是否存在实数m、n(mn，使f(x的定义域和值域分别为m，n和3m,3n？如果存在，求出m、n的值；如果不存

14、在，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 先由二次函数的对称轴及对应方程的解确定a，b，再由二次函数的性质进行解题解(1由f(x3f(5x可知，函数f(x图象的对称轴为x1，即1.又方程f(xx有等根，即ax2(b1x0有等根，b10，故b1，代入可得a.f(xx2x.(2f(xx2x(x12，3n.mn1.函数f(x在m，n上单调递增假设存在实数m、n(mn，使f(x的定义域和值域分别为m，n和3m,3n，则有即m、n是方程f(x3x的两根，且mn.由f(x3x得x14、x20，所以m4，n0.存在实数m、n., (1利用三个“二次”的相互转化解题二次方程 二次函数 二次不等式(2处理二次方

15、程根的分布问题，要注意数形结合、函数与方程等思想方法的运用，具体求解时一般考虑判别式、对称轴位置、函数在端点的符号、列出不等式(组求解即可，对于大小比较问题，一般用比较法或函数的单调性进行【突破训练4】 (2011·南通、无锡调研已知a1，若f(xax22x1在区间1,3上的最大值为M(a，最小值为N(a，令g(aM(aN(a(1求g(a的函数表达式；(2判断g(a的单调性，并求出g(a的最小值解(1函数f(xax22x1的对称轴为直线x，而a1，所以13.所以f(x在1,3上N(af1.当12时，即a1时，M(af(39a5.当23时，即a时，M(af(1a1.所以g(aM(aN(

16、a(2由题意知g(a在上单调递增，g(a在上单调递减，故g(aming.1函数图象和性质应注意的三个问题一、判断函数的奇偶性要严格按照定义和步骤【例1】 定义两种运算：ab，ab，则函数f(x的奇偶性为_解析根据所给的运算定义得函数f(x，求出函数的定义域为2,0(0,2，关于原点对称，且x20，所以函数f(x，易知f(xf(x，所以原函数为奇函数答案奇函数老师叮咛：函数奇偶性是函数的重要性质，对奇偶性部分的常见题型及其解法要理解并且掌握，不要跳步，这在平时训练中要养成好的解题习惯.如本题，若不按照定义法判断函数奇偶性的步骤进行、函数的解析式没有化简变形等，就会出现下面的错误解法：根据所给的运算定义得函数 二、正确应用函数性质和结论解题【例2】 已知偶函数f(x在区间0，上单调递增，则满足f(2x1f的x取值范围是_解析由于f(x是偶函数，故f(xf(|x|，所以得f(|2x1|f，再根据f(x的单调性得|2x1|，解得x.答案老师叮咛：函数奇偶性与单调性的综合是常见题型，一般解法是利用函数奇偶性的结论进行等价变形，如奇函数在x0处有意义时，要充分利用f(00的结论，偶函数有f(xf(|x|的结论简化运算，否则，会导致分类繁琐，很容易分类不全，造成漏解，如本题，如果不考虑2x1为负数的情况，就会造成解集中漏解的情况，出现下面的错误解法：由题意