高三数学 6作辅助平面试题

1、6 作辅助平面6.1 作辅助平面【例3】正三棱柱中，点分别是侧棱上的点且，过作一截面，求截面将三棱柱分成两部分的体积之比【解析】连接，则，故，所以 ，所以截面将三棱柱分成两部分的体积之比【评注】本题连接得辅助平面，则辅助平面将四棱锥分成两个三棱锥和三棱锥，问题转化为求同底的三棱锥和三棱柱的体积比【变式1】利用辅助平面证明平行关系.已知平面平面，直线，求证：【解析】过直线分别作辅助平面和，与平面相交，交线分别为，因为，所以，所以又，所以又，所以由公理4得【变式2】利用辅助平面作二面角的平面角.已知为二面角内一点，且到其两个半平面的距离都等于到棱距离的一半，求这个二面角的大小【解析】如图，作于点，

2、于点，因为，故，所以设，连，则由得，故为二面角的平面角又在中，故，所以，即所求二面角为【变式3】利用辅助面分割棱柱成两个棱锥.已知斜三棱柱的每条棱长都是，侧棱与底面成角，侧面垂直于底面，求四棱锥的体积【解析】连接，截面将四棱锥分为两个三棱锥和， 因为为平行四边形，所以，故两个三棱锥和的体积相等，所以四棱锥的体积等于三棱锥体积的2倍又过作于，由侧面垂直于底面得，故， ，所以，故四棱锥的体积等于作两平面的交线【例4】正三棱柱中，点分别是侧棱上的点且，过作一截面，求截面与底面所成的角【解析】延长交于点，连接，则为平面与底面交线P由知又由知，所以，又，所以，故为所求二面角的平面角中，所以，即截面与底面

3、所成的角等于【评注】对于题目中没有棱的二面角，常常可以先作两个平面的交线，再分别在两个半平面中作棱的垂线得到二面角的平面角，再解三角形求解【变式1】线段的垂直平分面的用法如图，在四棱锥中，为底面内的一个动点，且满足，则动点的轨迹为（ ）A椭圆 B抛物线 C双曲线 D线段【解析】因为，故动点必在线段的垂直平分面上（过中点且与垂直的平面），又在底面内，故为底面与线段的垂直平分面的交线上选D【变式2】作两平面的交线证明线面平行。已知有公共边的两个全等正方形不在同一平面内，分别是对角线上的点且，求证：.【解析】如图所示，连接并延长交(或其延长线)于，连结，又，线面平行中作平行线【例5】如图所示，在正方

4、体中，分别是棱的中点，求证：【解析】如图，取的中点，连接， 四边形是平行四边形， 【评注】研究平行问题时，三角形的中位线，平行四边形的对边平行、面面平行的性质定理等常用来做为辅助线；本例通过作平行四边形的方法，证明其对边，从而证明直线与平面平行【变式1】连三角形证明平行。如图所示，是平行四边形所在平面外一点，分别在上，且，求证：【证明】如图，连接延长交于，连接在平行四边形中，所以 ，而，【变式2】作平面的交线证明平行.已知是异面直线，且，求证：【证明】如图，过作平面与相交于，因为，所以，又因为是异面直线，所以一定相交因为，所以又相交且，故【变式3】做三角形的中位线证线面平行.如图，四边形是矩形

5、，分别是的中点，求证：【证明】取中点，连为的中位线，故，故有，所以四边形是平行四边形， ，所以面垂直作交线的垂线【例6】两个相交平面a、b 都垂直于第三个平面g ，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直【证明】在g 内取一点P，过P作PA垂直a 与g 的交线；过P作PB垂直b 与g 的交线 ag 且bg，PAa且PBb PAa且PBa， ag【评注】当已知两个平面互相垂直时，常常要应用到平面与平面垂直的性质定理，此时常常要在一个平面内作两个平面的交线的垂线，这条垂线就垂直于另一个平面【变式1】作平面的垂线寻找线面所成的角.E四棱锥的底面是矩形，,为等边三角形，侧面,求侧棱与底面所成的角 【解析】

6、取中点E，连PE，CE，因为为等边三角形，故，又面，且面，故，所以为直线与底面所成的角中，故中，故在中， ，故，所以侧棱与底面所成的角为【变式2】作平面的垂线寻找点（线）面的距离.已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点(1) 求证AB1平面C1BD；(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离【解析】(1) 设B1CBC1=O连接DO，则O是B1C的中点在ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点 DOAB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， AB1平面C1BD (2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， BDAC，且BDCC1， BD平面ACC1，平面C1BD平面ACC1，C1D是交线在平面ACC1内作AHC1D，垂足是H， AH平面C1BD，又AB1平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在RtC1DC中，DC=4，CC1=6，在RtDAH中，ADH=C1DC， 即AB1到平面C1BD的距离是【变式3】作平面的交线寻找二面角.如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,.()在直线上是否存在一点,使得平面？请证明你的结论；()求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【解析】()当为中点时，平面证明如下：直角梯形中，由， ，可