抛物线及标准方程典型例题

1、典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2（1）x = 4y（2）x二ay （a = 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.（2） 先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程.解：（1）；p=2,焦点坐标是（0,1）,准线方程是：y- -1（2）原抛物线方程为： y21当a 0时，卫21焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x二4a4a2当a：0时，卫1，抛物线开口向左，2 4a11焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x二-丄4a4a，抛物线开口向右,4a21综合上述，当a = 0时，抛物

2、线x二ay2的焦点坐标为（丄,0）,准线方程是:4a14a典型例题二例 2 若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k.解法y = kx_2设A（x1，yj、B（x2,y2），则由：彳可得:ly =8xk2x2-(4k 8)x 4 = 0.直线与抛物线相交，.k = 0且:0，则k -1. AB中点横坐标为：.也二色/工？,2 k2解得：k = 2或k = -1（舍去）.故所求直线方程为：y=2x-2.解法2设AWy）、B

3、（X2, y2），则有 丫1=8为2小y =8x2.两式作差解： 心-y2)(% y2)= 8(捲-x2)，即丄 -：& X2%+y-x1x2=4 .y1y2= kxi-2kx2-2二k(x1x2) -4 = 4k4,8k故k =2或k = -1(舍去).4k -4则所求直线方程为：y =2x一2.典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y =2px(p 0).如图所示，只须证明AB =MMi，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.2证明：作AA _1于A1,BB1_丨于B. M 为 AB 中点，作MM1_丨于Mi，则由抛物线

4、的定义可知：AA| |AF , BBj |BF在直角梯形BB1AiA中：111MM1=2(AA +0)=2/ +BF)=?|AB1、MM1=AB，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切.2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例 4 (1)设抛物线y2=4x被直线y =2x k截得的弦长为3 5，求 k 值.(2)以(1)中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求 P 点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求 k, (2)题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标.v2= 4 x解：

5、(1)由丫得：4x2+(4k4)x + k2= 0y = 2x + k设直线与抛物线交于k2A(x1, y1)与B(x2, y2)两点.则有：捲x?=1 - k,X1x?:4AB =+22)(洛一x2)2=、亍人+x2)24x2】= k)2 k2】=J5(1-2k)二AB =3屁J5(1 2k) = 3/5，即k = 4-X。- -1 或 X。=5，即所求 P 点坐标是（1 , 0）或（5, 0）.典型例题五例 5 已知定直线 I 及定点 A（A 不在 I 上），n 为过 A 且垂直于 I 的直线，设 N 为 I 上任 一点，AN 的垂直平分线交 n 于 B,点 B 关于 AN 的对称点为 P

6、,求证 P 的轨迹为抛物线.分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，I 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA = PN且PN _ I即可.证明：如图所示，连结 PA、PN、NB.由已知条件可知：PB 垂直平分 NA，且 B 关于 AN 的对称点为 P. AN 也垂直平分 PB.则四边形 PABN 为菱形.即有PA=PN.AB _ I. PN _ I.则 P 点符合抛物线上点的条件：至 U 定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.RF| |BF|

7、p(2)-S,：.=9，底边长为 3.5 ,三角形高h二3*55P 在 x 轴上，.设 P 点坐标是（x0,0）则点 P 到直线y=2x-4的距离就等于 h，即2xo-0-46/5,22125例C:y2分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识, 把结论证明出来.2为X2二卫4根据抛物线定义有：P1F=X1中2P2F =X1*2jP1P2=X1 *X2+ P则丄+丄_RF| + |RF| _ X1+X2+ p、呐朋响阿|(X1垮)(X2诗)1 1 2- +- =PF|F2F|P证法二

8、：如图所示，设P、P2、F 点在 C 的准线 I 上的射影分别是 R、P2、F,且不妨设F2R/|=n cm = |P1R，又设P2点在FF RP/上的射影分别是 A、B 点，由抛物线定义知，iy1P2F =n. PF =m. FL=PAF|RF0Y又、F2AFsb P2BR1=.BR1P2p|即P_n=n&m_nm +n证法F(p,0)，若过F的直线即线段P F2所在直线斜率不存在时,则有RF = F2F1RF1F2F若线段RP2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为:y = k(x - p)(k = 0)，且设P(X1, yd P2(x2, y2)y =k(x)由*2得:y =k(

9、x-吕)L.2I 22k2x2- p(k22)x P04x-iX2二2P(k 2)XrX2p2Xg卫(xx2) 224请将代入并化简得:典型例题七例 7 设抛物线方程为y2=2px(p 0),过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为:,求证: 弦长为AB = 二.sin 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2=2px(p 0)的焦点为 丐,0)，过焦点的弦 AB 所在的直线方程为：y = tan-，(x-P)2y =ta na(x -P)由方程组 I 2 消去 y 得：y2=2 px2 2 2 2 24x tan :- -4 p(tan：) p tan :

10、 =0- 2p(ta n a +2)从小2、捲+x2=-2- = p(1 +2cot a)tan 2pX1x2 :4又y1y tan二(为-x2)” AB =；(1+ta门2口)(捲x2)2=.(1tan2：)(捲x2)2-4为x2丨=.(1tan2：) p2(1 cot2：) - 4p42222-.sec : 4 p cot : (1 cot :)2psin2:.p(m n) =2mn1 1 2+=m n p故原命题成立.焦占八设A(Xi, yj, B(X2, y2)，则1sin4：即AB = -2p-sin a证法二：如图所示，分别作AAI、BBi垂直于准线 I .由抛物线定义有:AF |

11、 = AA= AF cosa + pBF = BBr = p BF cosot于是可得出：AFpBFp1 -cosa1 +cosa二AB = AF + BFP匚1 - cos：1 cos：_ 2p1 - cos2:_ 2p.2sin :-故原命题成立.典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点P(3,2j3)，它的一个焦点为 F (1, 0),对应于该焦点 的准线为X二-1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB，若弦 AB 的长度不超过 8,且直线 AB2 2与椭圆3X2y = 2相交于不同的两点，求(1) AB 的倾斜角二的取值范围.(2) 设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点，求

12、CD 中点 M 的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出 k 的取值范围，从而可得 二的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即可.解：(1)由已知得PF =4.故 P 到x =-1的距离d = 4，从而PF =d曲线 C 是抛物线，其方程为y2=4x.设直线 AB 的斜率为 k,若 k 不存在，则直线 AB 与3X22y2无交点. k 存在.设 AB 的方程为y=k(x-1)y2=4x由可得：ky2-4y-4k=0厂k(x1)x3一4设 A、B 坐标分别为

13、(捲，)、(x2,y2)，则：y1y2y1y2-4k二AB|=*(1+舟)(y2)2Y1 k22=,y2)-4y2k4(1 k2)k22弦 AB 的长度不超过 8,.4(12k儿8即k2_1k2y=k(X1)22223x2+2y2=2得：(2k +3)x一42。 AB与椭圆相交于不同的两点，.k2: 322/J-由k _1和k：3可得：1 k . 3或.3：k _ -1故1 _tan二乞、3或 一.3 : tan v :-1JT又0 v:：，所求二的取值范围是：或-4334(2)设 CD 中点M(x,y)、C(x3,y3)、D(x4, y4)y=k(x1)222222得：(2k2+3)x24k

14、2x+2(k21)=03x2+2y2=24k2X3X42, X3X1二2k +3-X3+X42k2x厂2 2k2+33x = 1 22k2+321k：3.5空2k 3：92 1 2 2则2空1一 一 :-即22p.因9，所以这里不能取“=”sin2日2综合(2)，当石时，AB最小值=2p.说明：小小兀兀(1)此题须对二分和两种情况进行讨论；2 2从解题过程可知，抛物线点弦长公式为I二寺;sin日八n当日=-时，AB叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦.二-(x2- Xi)4p2tan2r4 p2= 4 p2csc2丁 ,厲-yJ2tan2-= 4p2普典型例题十例 11 过抛物线y2=2px(p

15、 . 0)的焦点F作弦AB,1为准线，过A、B作I的垂线,垂足分别为A、B,则N A FB为()，NAF B为( ).A 大于等于90B.小于等于90C.等于90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、 直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则又AA/x轴二.1Z3. 2=3，同理.4二.6,而2364 =180，二36 =90,AFB-90选C.过AB中点M作MM_ I，垂中为M,111则MM =寸(AA +|BB)专(AF|+|BF) =AB.以AB为直径的圆与直线I相切，切点为M.又F在圆的外部， AFB : 90.特别地，当AB_x轴时，M与F重合，.AFB=90.即AFB -90，选 B.典型例题十二例 12 已知点M(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛