知识点总结高等代数

1、一行列式定义ai na21a2n1、n级行列式（1）等于所有取自不同行不同列的Man2数和，这里jjzLn是一个级排列。当jJ L面带负号，即:2、等价定义a|j n112L In(1)如ahia2需223、由n级排列的性质可知，上_、I/克誉见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式n个元素的乘积av,a2,2L anjn（2）的代jn是偶排列时，该项前面带正号；当jlj2L jn是奇排列时，该项前an012L3ln321Ma22MLa2napilan2Lnnna|jn级行列式共有()JPai pa2j2Lanjn0jd2LjnhbL In和川除,L其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身

2、所带的负号）各叭1322Lan322L0盯1322L03nnapinapinan322L3nnn04nna2n 1a2,n 1吃,n 1LLL3n10n1咁12）副对角方向的行列式(1)n(n 1)1 Lapi11L1Hi32Lan222Hl32LanLLLLn 1n 1nai32Lan3）范德蒙行列式:(aiaj)4、1）(n2)二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。2、互换行列式的两行（列），行列式变号。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、 若行列式中有两行成比例，则此行列式

3、等于零。5、 若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来 行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。三、行列式的按行（列）展开子式1)余子式：在n级行列式D a中，去掉元素a所在的第i行和第j列后，余下的n-i级行列式称为的余子 式，记作M卜2)代数余子式：f （ 1） N M ij称为aij的代数余子式。3)k级子式：在n级行列式Daij中，任意选定k行和k列（1k n）,位于这些行列交叉处的k个元素，按原来 顺序构成一个k级行列式M称为D的一个k级子式。当（k

4、 n）时，在D中划去这k行和k列后余下的元素按照原来 的次序组成的n k级行列式M称为k级子式M的余子式。2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即按第i行展开D aiiAii ai2A2 L HinAn (i 1,2丄，n);按第j列展开D的知a2jA2i L &可州仃1,2丄，n） ;2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即叩Ajiaj2Aj2計Ajnj或li Al jaziTjniAnj4、1）3、按k行（k歹IJ）展开拉普拉斯定理：在n级行列式中，任意取定k个行（k列）（1k n 1）

5、,由这k行（k列）元素组成的所有的k级 子式与它们的代数余子式的乘 积之和等于行列式的值。其他性质设A为n阶方阵，则A A；设A, B为n阶方阵，则AB AgB,但AB AB；2)设A为n阶方阵，则|kA klA；3)定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。用直接递推法的关键是找出一个关于Dn，的代数式来表示Dn,依次从D2 D3D4 L Dn.逐级递推便可以求出Dn的值。方法二：数学归纳法。第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到Dn关于Dn 1和Dn 2的递推关系式。2、行列式计

6、算中常用的类型4）设A为m阶方阵，设B为n阶方阵，则AgB,但AB An级行列式乘积等于n级行列式LbnLbinMlainLLL?LLL切1Lani巾1LMl5）行列式的乘法定理：两个=n1=11LGnL其中Cj aS a2djLanbnjJjCni四、行列式的计算方法三：加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列（或 级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或级行列式较易计算。m行m列）得到一个新的n+1（或时1其一般做法如下：3ii L3iLL13n13n3iian1an13inLbiLn1thanL apilani特殊情况取a 32 L an1或bi b2 L b

7、n方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是变数X（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f（X）,然后对行列式f（X）实行某些变换，求出f（X）的互素的一次因式,使得f（X）与这些因式的乘积g（X）只相个常数因子C,根据多项式相等的定义，比较f （X）与的g（X）某一项系数，求出C值，便可求得D eg（X）Olx计算行列式常用方法

8、:方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如ONNO00等0注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。 类型二：三条线”行列式（非零元分布在三条线上）O00N N（1）“三对角”行列式（000N N N00N N注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。-先计算D,D2,D3等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。-间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于得Dn。（2）“爪型”行列式（首先得到一个一般的递推公式DnpDniqDn

9、2,然后可以用以下两种方法之一求出Dn的表达式:主：“爪型”行列式可以按行（列提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。(3) Hessenerg型行列式M)o类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法则&1812X2 LInnbiV VailL3in*21*21 X|X|L*22 X22nXnb2r LLLO,L2的系数行列式不等于零，即DardL3nin1Xi302X2 Lnnnbn则方程组有唯一解：1、克莱姆法则:如果含有-个未知量的n个方程的线性方程组DnD1为必DD2其中Dj （j 1,2丄n）是把系数行列式D中第j列的元素用方