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1、第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)、填空(每题 10 分,共 80 分)2 2 2 2(m -n) = ( -5) m n - -6,( m n)=(-6)/ 44、/ 22、22 2(m n )二(m n ) -2m n代入数据,原式=975、用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体, 如图 2,则这个立体的表面积最多是481、计算:_17.85 . 2一_8更解析:i35717 I 13丿 3丿1302017 罟 4!_竺8 竺1301302、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为2解析:二口或 1I 2 丿 Ib + a丫V3、
2、则规定符号“”为选择两数中较大者,规定符号为选择两数中较小者,例如:3 5=5, 305=3,4、0.7407 Q + 丄 0.1。丿灯丿已知400.7 -解析:726001 16 7m _ n - _5,m2n22112 =1213=13,那么m4 n4= 97 。解析:图 2 (从正面看)图 1 (从上向下看)解析:从两个视图可知,该立体的排布最多如图所示,则表面积最多为486、满足不等式3|n-1| -2 n 2|3 n 1|的整数 n 的个数是_5_。解析:n-仁 0 贝 U n=1, 3n+1=0 贝 U n=-1/3当 n-1=0 时,n=1, 3(n-1)-2n2(3n+1),
3、5n-5 , nv-1,则 n 无解当-1/3n2(3n+1) , 3-5n6n+2, n1/11 ,则-1/3n1/11 ( 1) 当n2(-3n-1),n-5,则-5n=-1/3 ( 2)由( 1)、(2)得 :-5n1/11,则整数 n 的个数是:n=-4.-3.-2.-1.07、某年级原有学生 280 人,被分为人数相同的若干个班。新学年时,分为人数相同的若干个班,但是多了6 个班,则这个年级原有_解析:设原有 x 个班,原来每个班有 a 人,现在每个班有 b 人,根据题意得: 奇数,因此对任意偶数 x, x+6 都不可能整除 585,这样 x 只能取 1, 5, 7 为唯一解.&am
4、p;如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数,并且最大角是最小角的 角的度数是85共 5 个该年级人数增加到585 人,仍被7_ 个班。匸280ax绥=bx 6由于 585 为其中满足条件的只有 7,7, 35,5 倍, 那么这个三角形的最大解析:设最小角是 x,则最大角是 5x,中间一个是 180-x-5x=180-6x ,16 A 180 -6x 5xv90,A11xv18,二 x=17,A5x=85 .故答案为:85该三角形是锐角三角形,二 x如图1,从正面看这个立体,、简答下列各题(每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程)9、 已知 a, b, c 都是整数,当代数式7a 2b
5、3c的值能被 13 整除时,那么代数式5a 7 22c的值是否一定能被 13 整除,为什么?解析:设 x,y,z,t 是整数,并且假设5a+7b22c = x(7a+2b+3c)+13(ya+ zb+tc)(门,比较上式 a, b,c 的系数,应当有7x+13y=5,2X+13Z=7,3x+13t=-22( 2),取x = d,可以得到y=2,z= 1,t =_1,则有13(2a+b c) 3(7a +2b+3c) =5a +7b22C(3),既然3(7a +2b +3c)和13(2a + b c)都能被 13 整除,5a 722c就能被 13 整除。【说明】5a 722c表式为均能被 13
6、整除的两个代数式的代数和, 表达方式不唯一,例如:取x =10, 则有 八5,z = -1,t=V,则有5a7b-22c=10(7a- 2b - 3c) -13(5a b 4c)实际上,(2)是一组二元 整系数不定方程,我们先解第一个,得到-3 13k,y=2-7k,这里 k 是任意整数,将-3 13k代 入其余方程,解得z =1 -2k,t二-1 -3k,这里 k 是任意整数,则可以有5a 7b -22C=(-3 13k)(7a 2b 3c) 13(2 -7k)a (1 -2k)b (-1 -3k)c10、如图 3 所示,在四边形 ABCD 中,AM =MN =ND,BE=EF =FC,四边
7、形 ABEM MEFN NFCD 勺面 解析:填数的方法是排除法,用(m n)表示位于第 m 行和第 n 列的方格。第七行、第八行和第 3 列有 9,所以,原题图 4 左下角的“小九宫”格中的 9 应当填在(9, 2)格子中;第 1 列、第 2 列和第七行 有数字 5,所以,在图 4 右下角的“小九宫”格中的数字 5 只能填在(9,3)中;第七行、第八行有数 字 6,图 4 中下部的“小九宫”格的数字 6 应当填在(9, 6);此时,在第九行尚缺数字 7 和 3,由于第 9 列有数字 7,所以,7 应当填在(9, 8); 3 自然就填在(9, 9)了,填法如图。九位数是 495186273。S
8、2积分别记为SS和S,求S1S3=?(提示:连接 AE EN NC 和 AC)图3b解析:如图 3a,连接 AE、EN 和 NC,易知由SAEM =S MEN,SCNF =S EFN,两个式子相加得S.AEM S.CNF= S2(1)并且四边形 AECN 的面积=2S2。连接 AC,如图 3b,由三角形面积公式,易知SABE冷 ,11SCDNSNA”SABE S.CDN四边形AECN =S2”2,两个式子相加得:2(2),将(1)式和(2)相加,得到S AEMS CNFS ABE+S 比DN=2S2既然S虫EM十S虫BE=3S.CNF S.:ABE=S3S21因此S1S3=2S2S1S32答:
9、S2JS1S3一211、图 4 是一个 9X9 的方格图,由粗线隔为 9 个横竖各有 3 个格的“小九宫”格,其中,有一些方格 填有1 至 9 的数字,小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于 9 的正整数,使每行、每列和每个“小 九宫”格内的数字都不重复,然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9 位数。请写出这个 9 位数,简单说明理由。1554627 113495g46I-*9&一图312、平面上有 6 个点,其中任何 3 个点都不在同一条直线上,以这 6 个点为顶点可以构造多少个不同的 三角形?从这些三角形中选出一些, 如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点, 最多可以选出多少个
10、三角形?如果要求其中任何两个三角形没有公共边, 最多可以选出多少个三角形?(前两问不要求说明 理由)解析:(1)先从 6 个点中选取 1 个做三角形的一个顶点,有 6 种取法;再从余下的 5 个点中选取 1 个做 三角形的第二个顶点,有 5 种取法;再从余下的 4 个点中选取 1 个做三角形的第三个顶点,有 4 种取法。 因为任何3 个点不在同一条直线上,所以,这样选出的三个点可以做出1 个三角形。但是,如果选出的三个点相同的话,则做出的三角形相同,三个点相同的取法有3X2X1=6 种,所以,以这 6 个点为顶点(2)每个三角形有 3 个顶点,所以,6 个点最多只能构造 2 个没有公共顶点的三
11、角形。(3) 用英文大写字母 A、B、C、D E、F 记这 6 个点,假设可以选出两两没有公共边的 5 个三角形,它 们共有 15 个顶点,需要 15 个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有 6 个。因此,这 5 个三角形 中至少有 3 个三角形有同一个顶点,无妨设为 A。根据假设,这 3 个三角形两两没有公共边,即除去公 共顶点 A 之外,其余 6 个顶点互不相同,即表示这 6 个顶点的字母不相同。但是,除 A 之外,我们仅有 5 个不同的字母。所以,不可能存在 5 个三角形,它们两两没有公共边。又显然ABC,ADE,BDF和CEF这 4 个三角形两两没有公共边。所以, 最多可以选出 4
12、 个三角形, 其中任何两个三角形都没有公共边。三、详答下列各题(每题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程)13、壮壮、菲菲、路路出生时,他们的妈妈都是27 岁,某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时,王雪说:“菲菲比刘芳小 29 岁”;李薇说:“路路和刘芳的年龄的和是 36 岁”,刘芳说:“路路和王雪的年龄 的和是 35 岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈 6 个人年龄的总和是 105 岁。请回答:谁是路路的 妈妈?壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁? 解析:设刘芳的年龄为 x 岁。1刘芳和路路的年龄和是 36 岁,是个偶数,他们的年龄差也是一个偶数,而路路和妈妈的年龄的差 是奇数,因此路
13、路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29 岁,菲菲的妈妈不是刘芳,所以,壮壮的妈妈是刘芳。2壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(2x - 27)路路(36-x)岁,他的妈妈应当是(36-x27)岁,和为(99-2x)菲菲(x -29)岁,她的妈妈应当是(x - 29 27)岁,和为(2x - 3。由于 6 个人共 105 岁,所以,(2x-27)(99 -2x)-31)=15。3解出 x=32,菲菲比刘芳小 29 岁,所以菲菲 3 岁;路路和刘芳的年龄的和是 36,路路 4 岁;路路和王可以构造=20个不同的三角形雪的年龄的和是 35 岁,所以王雪 31 岁。答:王雪是路路的妈妈;壮壮 5 岁、菲菲 3 岁和路路 4 岁。1 114、请回答:8能否表示为 3 个互异的正整数的倒数的和? 8 能否表示为 3 个互异的完全平方数的倒数 的和?如果能,请给出一个例子;如果不能,请说明理由。数的和(表示法不唯一)。1综上所述,8不能表示为 3 个互异的完全平方数的倒数之和1 1 1解析:(1)由于2 36=1,故有- - -T8 823 -6一1624所以,8能表示为 3 个互异的正整数的倒(2)不妨设a:b“,现在的问题就是寻找整a,b,c,满足8
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