有限元例子2-简支梁受均布荷载

1、1)二维承压地下水水流模型算例假设承压含水层区域是一边长为a的正方形，东西边界为定水头边界，水头为，南北边界为隔水边界，区域中心有一抽水井以流量Q抽水，承压含水层的导水系数为T。稳定流定解问题如下： (1) (2) (3)非稳定流定解问题如下： (4) (5) (6) (7)此两个定解问题的解析解由Chan，Mullineux和Reed(1976)给出稳定流解为： (8)非稳定流解为： (9)其中：抽水井的坐标；，整数变量；在计算时，正方形的边长为1200m，计算剖分图见图1，T的单位为，S为无量纲变量，H的单位为m，Q的单位为，确定性模型计算时m，。图1 地下水水流模型平面有限元剖分Fig.

2、1 FEM mesh of groundwater flow model in horizontal direction表1二维承压稳定流水头解析解和有限元解对比表(T=100.0)节点号152 56 57 58 59 60 127 61解析解有限元解绝对误差表2a二维承压非稳定流水头解析解和有限元解对比表(T=100.0,S=1.0E-4,Time=1.0)节点号 152 56 57 58 59 60 127 61解析解有限元解绝对误差表2b二维承压非稳定流58号节点水头随时间变化计算结果(T=100.0,S=1.0E-4)时间解析解有限元解绝对误差2)三维承压地下水水流模型算例所考虑的承压

3、含水系统有三个水平层，每层厚度为20m，上、下两层为导水性较强的含水层，中间一层导水性较弱，。从平面上来看，含水系统为一正方形，和前述二维承压地下水水流模型算例相同(见图2.6-1)，边长为1200m，东、西部边界BC和AD为两条水头均为的河流，切割三个含水层，南，北部边界AB和CD为不透水边界，在含水层的中心有一抽水井，并且只从上层抽水。含水层剖面结构如图2，含水系统的上、下均为不透水层。定解问题描述如下: (49) (50) (51) (52)其中：为地下水水头L；为贮水系数无量纲；K为渗透系数L/T；(x,y,z)为笛卡尔坐标系的坐标；t为时间；G为不含边界的研究区域；为第一类边界；为第

4、二类边界；为边界；为包括边界的研究区域；为边界单位外法向量；为初始水头和第一类边界上的水头。 (53)其中为抽水井数目,此例中=1；为分层数，此例中=1；为j号井中层的出水量。因为此问题无解析解，和为确定性变量，。图2 三维水流模型剖面示意图Fig.2 Profile sketch map of 3-D groundwater flow model表3三维承压地下水水流问题有限元计算结果第一水平层位对应部分节点节点号天水头天水头10.天水头稳定水头152 56 57 58 59 60 127 61第二水平层位对应部分节点天水头天水头10.天水头稳定水头第三水平层位对应部分节点天水头天水头10.

5、天水头稳定水头第四水平层位对应部分节点天水头天水头10.天水头稳定水头例 简支梁受均布荷载 计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。 图1 计算简图图2 计算剖分图计算结果文件 NODE NO WX WY 86 -0.747848E-07 0.000000E+00 ELEMENT NO FXX FYY FXY应力成果：用二单元平均法整理x=0. 375 m的截面上的弯

6、应力，（考察点在图上用圆点表示），整理结果如表1所示，的单位为Pa。之所以选取这个截面，是因为其上的接近最大。表中y=1.50 m（梁顶）及Y=-1. 50 m（梁底）处的有限单元法解，是由三个考察点处的用插值公式推算得来的。表中的函数解，是指按弹性力学平面问题计算的结果，但和材料力学中按浅梁计算的结果很相近，基本上是随着y按直线变化的。表1 计算结果表考察点的y/m有限单元解-235-196-119-4138117201245函数解-272-225-134-4444134225272误差3729153-6-17-24-27相对误差/% 对于切应力,弹性力学函数解给出的数值和材料力学中关于浅梁

7、的解答相同，在横截面上是按抛物线变化的。用两相邻单元平均法整理x=7. 125 m的截面上的（考察点在图上用圆点表示），得出来该截面上y0处的最大切应力为35.3Pa，与函数解35.6Pa相比，误差只有-0.3Pa。用绕结点平均法整理x=6.75 m的截面上的切应力（考察结点在图上用圆圈表示），得出该截面上y=0处的最大切应力为31.9Pa,与函数解33.8Pa相比，误差也只有-Pa。但是，对于靠近梁顶及梁底处，用两种方法整理出来的切应力却都具有较大的误差。因此，如果要使边界附近的切应力，具有与弯应力相同的精度，就要把这里的网格画得密一些。但一般不必这样做，因为边界附近的切应力是次要的。 整理挤压应力时，不论用两相邻单元平均法或是用绕结点平均法，所得的结果都和函数解相差很大。这是符合下述的一般规律：如果弹性体在某一方向具有特别小的尺寸，则这一方向的正应力的有限单元法解将具有特别大的误差。但是，这个正应力一般都是最次要的应力，因而完