从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式

1、I 维普资M 6中等数学从衬適数列递推it算到牛顿等耶和公贰王慧兴(河甫育实验申学*450000I 维普资M 7中等数学(本讲适替高中)1构造数列遽推计算如何用皿亍未定元叭丿，*%的革本 对称多项式(6上对勺，*%)=I S S 佃严 *-1S 气性形严冋巧"*)l«pij ci<a"-<y*5*A-表耶等轟和多项式= V； i；/cSN+ )?k = t约定So = rt,粮据眄J”T x,是方程(t - Xj)(t - xn) - 0t即 f-rfjf1 + (1沧厂+(-!> '_ + (-1)' =0的忆个根，得(-0&q

2、uot;%-炖 + ( - 1 )*1怙.故兀知疔'+ ( -1尸咕严严+对i = L2*t'>h累加得St =叭区“ +- + (1严碍&7 + (-l)S.e+J1 尸匕 S (km n).再根据初始条件(昂,8| ,S11*s5(t_l)=5，的屍 -2ff2.就可以进行递推计算*当4不太大时，初始条杵较少*用代数 方法能方便地算出;当律较大时，初始条件收料 H 期：2C0®-(M- It 魅回日期=2008-06-06校多，计算起来通常较繁需要指出的是，上 述递推关系式对kE Z都成立.2牛顿等需和公式用7J个未定元抽.衍*，的基本对称 多项式表

3、示等罄和多项戒£二£对的另 一种方法就是著名的牛顿公式* I牛損公式:令&二左*忆*NJ.则1*1当Xn时予& =- 6久_工卡+(-【)昵_1$| + k( - l)t + J(Ft；当心八时St =叭久沁一旳翼注+牛顿公式的证明见文lh前一部分要用 到一点导数和多项式知识，后一部分就是前 述数列方法.3例题选讲牛顿等無和公式从算法的角度给出关于 等無和问题的一个推证途径”关于等幕和的 问题在代数或求值、多项式、不等式、解方程 组、多元极值、初辱数论、三角函数以及复数 等专题中都有出现，已成为近年来各级数学 竞赛的一个亮点-例I已知於佃+伊城可以表示成以

4、队閱为变元的二元多项式求这于多项 式的系数之和，(2005,中国西部数学奥林匹克) 讲解:令,¥*叫"+),(at ta2) = (a +.衣则 S = 6 ,|维普资讯 2008年第B期|维普资讯 Sj = o | S (2 Sg + Sj=1 5(t2 + 5j3 + 52 5et2 a3.于是，原不等式等价于10 (1 ) 9( 1 5(2 + 5t/j +5卅 一 56)Ml (Tj + 3(?2 3 MO(d?StTj ) 0<=>(ab + be + ca abc) ( a2 + A2 + c2 ah be - ca) 30.由 0 + 6 + 卍=

5、1且(1、6、(：11*知ab + be ca - abc > 0.= ja(3at-a),«4 = 6 偽 _ CJ2 2 = 1 3 - '_°2 =*(1；(3如-aj) - -a2(a?-如)=y (2a?a2 - a* + al), 同理，对MJ计算得b、= * b】(32 - b) t 占* =寺(2比 fr2 11 + Aj), 从而,原方程组进一步转化为S3 = Ji 5 +2(-1 )3rfj = (T, - 2<73 由牛顿公式可得其中gj为常数."故乡”“呻+严入计.=1 <因此,所求多项式系数和为I”评注:这里应用

6、牛顿公式推证，思路清 晰，自然流畅,回答了原来参考答案“赋值法” 中的“为什么”.例2设正实数Q、b、c蒂足 + b + e = 1.证明；10( a3 + H + ?) -9( a5 + 6s + c?)M 1.(2005,中国西部数学奥林匹克)讲解:令 St = ai + + ?(JkN,).则(如6 ,眄)二(1* 血 + be ¥ ca, abc) S 厂 3,£ = l.再由牛顿公式计算得S2 -(?i Si +2( I )3cr2 = 1 - 2tr2、Sy = CT| Sa - S| +3( 1 )4<7j又由排序不等式知a2 + b，+ F air t

7、x ca 30*故原不等式得证*评注:结合持证不等式及其条件*应用牛 顿公式递推计算是-个水到渠成的选择，思 路自然，表达简洁.例3解方程组Fx-y + z- w=2,x2 y1 + z2 it?2 =6-1x3 - y1 + ;3 - tv3 = 20»x4 - y4 + z* w4 = 66.(200®全国高中数学联赛)讲解:定义数列t a J ； aA = x" + /*(nN+ ),"：亠=F + «n( nGN,).于是，原方程组即r Ai = /> + 2,a2 =打+6,Ia3 =63 + 20,4 = b4 +66.对有(

8、a, ,a2) = (x + xs) = a】,即？巾 由牛顿公式计算得|维普资讯 http:/www.cqwp.C0m8中等数学0?) = -6(32 - fr) + 20.*(2活0；-a* + £) = *(2斗 63 - 6* + 6；) + 6602 = 62 +6(6j 6j +2 = 0,26? +36；-场九-46 -5亦 + 16“ r a &! + 2ta2 = b2 + 6tb b i 6； 4- 2 = 0 T56：-场-5bi + 16 = 0j = b、+2, a2 = 62 +6t h = 2,<=><Qj =4, a2 = 1

9、0, 占 i = 2,l tj 4i If = 4, xz = 3t ofy + w = 2t故原方程组有4解;(xry,ztw) = (l,23>0)f(l>0,3t2,)t (3,2,1,0),(3,OJ,2).评注:此题设计独到，有鲜明的创新之 处作者把两个线性递推数列隐蔽在一个方 程组中，具有深刻的理论背景.例4已知H、y、zR.且斗+ y十z = 0 + 求证；6( %3 + / + 23)1(x2 + / + Z1)3；(2)求最佳的常数氛宀使得A(xa+/ + /)(za + / + ?)3W严(护+护+).讲解:若"：r之=0则不等式显然 成立*以下假设

10、巾辽不全为零，则至少存在 一个正数、一个负数,不妨设秽0.于是，不 等式6(/卡屮+ /)匕(/十於+ /尸,542/?( + / +?) 注意到54x2/? =216-1訓2 §3=8( I I + z2)3=(-2xy + 2z2 )3 = (x2 + y2 + z1)3. 因此，原不等式成立*当xy +2z3 =0,xy<. 0时，等号成立+ 令 Sn= + / + z"(n6Nj.则 (口, 6 ,巧)=(0, xy + 尹 + 京,刊) = (o,/ +£ +家小 应用牛顿公式计算得Sj = x + y + z = 0t52 = (71 ! + 2

11、( - I)'% = x2 + jf1 + z2 T53 = ffi S2 - o2S + 3( - 1)*旳=3xyzS« =5、02 丰 >S| ' -J-j jSj=y(a：2 + / + )Sy = a i2 S3 + 存、Sg = " oj Sy + ffj S?= xyz(x2 + 71 + z2),5百二 cf j S节+ dTj 5m5増.+ a、5$=- (xJ + i1 )3 + 3x2y2 z1 +故 X6 + y6 + z6 = Se 5s -j- ( X1 + y2 + z2 )3 *(/於 + 旳Y4(d+ / +)* 等号

12、成立的条件是xyz = 0Kx + y + z =0,得目罰=4 +又由(1)彳辱 x6 + y6 + z6 = S6+ r2 +，尸 + 吉2 +/ +，尸= g( + / + ?)3 故眉(d + y6 + z6)(x1 + y2 + z2)3,I 维普资M 2008年第8期I 维普资M So 二3, Sj = 0T 5Z = - 2a2, 5n+i =-"久“ + cr35n( n EN). 计算得=CQS - COS = 0,1 i 6n cos 可 4- cosI2it + CDS又(6，6，衍)=(0» - a2 a6 62,aA(a + A)t 故(a + b

13、V - a7 b7= 7a6(a + i)(a! + ab + b2 )2. 由(1)、知严1(/ +血+沪). 取<?十血+护=7J =343,得 (a + 6)ziA = 343.因为343=H血2ir 1 / 8k 6k t/l 弓十COS警+ COB夸-C0&寺)34'.2兀Sln 9-6 =2sin 可IOtt 14k5in -gT s,n V 1 一 c . 5tt 宀 7n * 8 a ZsLH 石 Zsin g) = (o,-3sin4*8/*故龙1、斗土*兀3是二次方程 X =0的根.-a2 ± ab + b*M3(ib,所以 * ai Wi

14、14*( a + 6)1 = ab + 343.St 343<(a + 6)2C343 + 114 = 457,即=cos* 丰 + cos* ¥ + co 普(zi N+ ). 由牛顿公式计算得$ tf | 二 0,令工i9Wq + X21.令a1 (d> + b2 = 343, a + 6 = 19»ab = 18, a + b = 19”S = <? 5)- 2(t2 = - 2a；=号，S3 = <T| S2 (72 Sj + 3cTj =寻 1解得(a,A) = (i8J)f(l J8).39S4 = a-, Sj - cr3 S2 十 6

15、$】=-2 = 'g-1当 x2 = /:=z3_S.x + y + z= O»E 卩 x - y -z- 0时”等号成立，得= j|-评注:本题式子恃征就屋等幕和,但次数 高,采用牛顿等無和公式能够歩歩为营，有效 合理地使用已知条件简化计算.例5求一对正整数'趴满足：(1) «6(a + ft)不能被7整除；(2) 77l(a +A)7 - a7 - 67.(第 25 届 EMO)讲解:换元(x,y,z) = (a +- a, - b)*则缶十了 + 2 = 0,且(6 o 心)二(0® + ” + 软，学)+令 + Z +则评産:应用牛顿公式得

16、出+ 6)7 -V 的分解式是解题的关键,它凝聚了已卸条件, 实现整除关系的顺利转化、化简例&求cos诗+ cos5夸+ cos5普的值.讲解;令(百巧)为r降次,先计算X)、靭、舸的基本对称 多项式(6 2s)=(J| + XlXy,XlX2 4衍巧+ 冷鈿 处衍) 注意到K - 6k7t6 = cos 可 + 2 cos 号 * cos1055 = (J I S4 - (Jj $3 + J $J = 一甬饶2 卡至1b9315"32 + 16 = 32-评注:作为一个5次等需三角和，直接应 用三角公式无从入手这就自然联想到应用 牛顿公式，计算起来毫不费工夫.练习题1 .设

17、求证：a3 + 尸卡 J M 3 abc ”(提示：不妬设 a + 6 + c = L Sn = a" + t" + 由牛顿等幕和公式算得昂二分- %厲+ 3巾.从而，旗不等式等价于屛- 叫 Mg* 3吐羽0* 此即(应-/>)2 + (6 - + (一 "却)Z解方程组Xj + x2 +* 耳=n»(提示：利用牛顿公式与初始条件S,= 52 = "、= $、=叭得比_巾卡+ * + ( _ 1)"“ 4“ + (1)匕=1 从而,X , x21 ,x4 中 必有个是1 ,由对称性，设如=1，使得原方 程组减元，再对减元后的前n

18、 - 1个方程重 复上述操作*即可得=1.继续简化方程 組,巫复这个过程，经过有限次操作,得到原 方程组有唯一解X| =牝二=热=I *)3+已知实数工寸“、协满足怎+ y + t + to -x1 + y1 + z7T = 0 .求f- u?(tv + x)(w + y)(MJ + z).(提示：令氏=护+才+家+ / 5 NJ由牛顿公式得屍=7(辰-叭)眄.再由 S7 = 0,得 tf4 = tf3 或眄=0*若旳-<?2 ,则 0W 5 = - 2乳転(X得 x = y = z- if = 0,故/= 0* 若£；3 = 0,则需、“ UT是方程+ (Tj i1 + 6 =0的4个实数根.从而宀必与珀八£之-中等数学互为相反数故/=0,)4求方程组Fx + y + z =Ot+ y3 + z1 = - 18的幣数解(mE*(提示:注意再用半顿公式推证， 得町-6.从面，方程组共有6组整数解: (*y.x) = (1.2, - 3),(2