统计学的总复习地的题目解答

1、实用标准文档习题 1.1 解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A, B, C 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A, B,C 中的样本点。解：(正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反）A(正，正 )，（正，反）； B（正，正），（反，反）C (正，正 )，（正，反），（反，正）2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A, B, C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 AB, AB,AC,BC,ABCD 中的样本点。解：(1,1), (1,2), , (

2、1,6),( 2,1), ( 2,2), (2,6), (6,1), ( 6,2),(6,6) ；AB(1,1),(1,3), ( 2,2), (3,1)；AB(1,1), (1,3),(1,5), (6,2), (6,4), (6,6), (1,2), (2,1) ；AC； BC(1,1),( 2,2) ；ABCD(1,5), (2,4), ( 2,6), ( 4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)3. 以 A, B,C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C 表示以下事件：（ 1）只订阅日报；（ 2）只订日报和晚报；（ 3）只订一种报；（ 4）正

3、好订两种报；（ 5）至少订阅一种报；（ 6）不订阅任何报；（ 7）至多订阅一种报；（ 8）三种报纸都订阅；（ 9）三种报纸不全订阅。）ABC；） ABCABCABC ；解：（ ）ABC ；（2（31（4） ABC ABC ABC ;（5）A B C；（6） ABC ； （7） ABCABC ABC ABC 或 AB AC BC（8） ABC ； （9） ABC4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2 ,A2A3 ,A1 A2, A1 A2,A1A2 A3 ,A1 A2A2 A3A1A3 .解：甲未击中；乙和丙至少一人

4、击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件A, B,C 满足 ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：ABC，ABC，BAC.解： 如图：精彩文案实用标准文档ACAB CABCA BCABCABCA BCA B CABCBABCAB CABCABCABCA BCABCAB C;ABCABCC;B AC ABC A BC ABC BA ABCBC ABC6.若事件 A,B,C 满足 ACB C ，试问 A B 是否成立？举例说明。解： 不一定成立。例如：A3,4,5 ， B3 ， C4,5 ，那么

5、，A CBC，但 AB 。7. 对于事件 A, B, C ，试问 A(B C) (AB)C 是否成立？举例说明。解： 不一定成立。例如： A3,4,5 ， B4,5,6 ， C6,7 ，那么A (BC )3 ，但是 (A B)C3,6,7 。8. 设 P(A)1 ， P(B)1 ，试就以下三种情况分别求P(BA)：321 .（1） AB，（2） A B，（ 3） P( AB)8解：（ 1） P(BA)P( BAB)P(B) P( AB)1 ；12；（2） P(BA) P(B A) P(B) P(A)6113（3） P( BA)P( BAB)P( B) P( AB)28。89. 已知 P(A)P

6、(B)P(C)1 ， P(AC)P( BC)1 ， P(AB)0 求事件416A, B,C 全不发生的概率。精彩文案实用标准文档解：P(ABC) PA B C 1 P(A B C)=1 P(A)P(B)P(C)P(AB)P( AC) P(BC) P( ABC)1111131440084161610. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”； B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”； G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。解：P( A)P( B)P(C )1111P( E)

7、2228333； P(D)333；2727P(F )1111； P(G)3!2272727933；39P(H )1P(F )118.9911 . 设一批产品共100 件，其中98 件正品， 2 件次品，从中任意抽取3 件（分三种情况：一次拿3 件；每次拿1 件，取后放回拿3 次；每次拿1 件，取后不放回拿 3次），试求：（ 1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；（ 2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。解：一次拿3 件：（C982C210.0588C21 C982C22C9810.0594；1） P；（2）PC1003C1003每次拿一件，取后放回，拿3 次：（298 2

8、30.0576 ；（2） P19830.0588 ；1） P10033 次：1003每次拿一件，取后不放回，拿（2989730.0588；1） P9998100（ ）9897960.05942 P 1100999812 . 从 0,1,2,9 中任意选出3 个不同的数字，试求下列事件的概率：A三个数字中不含与5，A三个数字中不含0或5。120精彩文案实用标准文档解：P( A1)C837C103；15P(A2)2C93C8314C8114C103或 P( A2)11515C10313 . 从 0,1,2,9 中任意选出4 个不同的数字，计算它们能组成一个4 位偶数的概率。解：5P934P8241

9、PP1049014 . 一个宿舍中住有6 位同学，计算下列事件的概率：（ 1） 6 人中至少有 1 人生日在 10 月份；（ 2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份；（ 3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；解：1160.41；（2） PC 641120.00061 ；（1）P 1612612C121C 64 112（ 3） P0.007312 615. 从一副扑克牌（52 张）任取3 张（不重复），计算取出的3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。解：C41C133C41 C132C391C43 C131C131C1310.602PC5230.602 或 P 1C523精彩文案实用标准文

10、档习题 1.2 解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30% 、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令 Ai“取到的是 i等品”， i1,2,3P( A1P( A1A3) P( A1) 0.6 2。A3 )P( A3) 0.9 3P(A3)2. 设 10 件产品中有4 件不合格品，从中任取2 件，已知所取 2 件产品中有1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令 A“两件中至少有一件不合格”， B“两件都不合格”C 42P( AB)P( B)C1021P(B | A)1 C62P( A)1 P(A)25C103. 为了防止意外，在矿内同时

11、装有两种报警系统I 和 II 。两种报警系统单独使用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93 ，在系统 I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85 ，求（ 1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率；（ 2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率；（ 3） 在系统 II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令 A“系统（）有效” ， B“系统（）有效”则 P(A)0.92, P( B)0.93, P( B | A)0.85（ 1） P( AB)P( BAB)P( B)P(AB)P( B)P( A )P(B | A)0.93(10.92) 0.85 0.862

12、（2） P(BA)P( AAB)P( A)P( AB)0.920.862 0.058P( AB)0.0580.8286（3） P(A|B)P(B )1 0.934.设0P( A)1 ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是P(B | A)P(B | A)证：A与 B 独立，A 与 B也独立。P(B | A)P(B), P(B | A)P( B)P(B | A)P(B | A)： 0P(A)10 P(A) 1又 P(B|A)P( AB),P(B |A)P(AB)P( A)P( A)精彩文案实用标准文档而由题设 P(B | A)P( AB)P(A B)P(B | A)P(A)P( A)即 1 P(

13、 A) P( AB)P( A) P(B) P( AB)P( AB)P( A)P( B) ，故 A 与 B 独立。5. 设事件A 与 B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是 1 ，求 P(A) 和 P(B) .4解： P(AB) P( AB)1A与 B独立，又41P( AB)P( A) P(B)1 P( A) P(B)4P(AB)P(A)P(B)P( A)11P( B)4P( A)P( B), P( A)P2(A)114即 P(A)P(B)。26. 证明 若 P( A) >0， P(B) >0，则有（ 1）当 A与 B独立时， A与 B相容；（ 2）当 A与

14、 B 不相容时， A与 B 不独立。证明： P( A) 0,P( B)0（ 1）因为 A 与 B 独立，所以0， A与 B相容。P( AB) P( A)P( B)（ 2）因为 P( AB)0 ，而 P(A)P(B) 0 ，P( AB)P( A) P(B) ， A 与 B 不独立。7. 已知事件 A, B, C 相互独立，求证 A B 与 C 也独立。证明：因为 A、 B、C相互独立，P( AB) CP( ACBC)P( AC)P(BC)P( ABC)P( A)P(C) P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(AB)P(C) P(A B)P(C)A B与C独立。8. 甲、乙

15、、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令 A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 P( A1 )0.7, P( A2 )0.8, P( A3 )0.9令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾，精彩文案实用标准文档那么 P(B)P( A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3 )P(A1 A2 A3) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3)0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80

16、.10.9029. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p1) ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统 I12nn+1n+22n系统 II12nn+1n+22n解： 令 A “系统（）正常工作” B “系统（）正常工作” Ai “第 i 个元件正常工作”， i 1,2, ,2nP( Ai )P, A1 , A2 , A2n 相互独立。那么P( A)P ( A1 A2An )( An 1 An 2A2n )P( A1 A2An )P( An 1 An 2A2n )P( A1 A2A2n )n2n2nP( Ai )P( Ai )P( Ai

17、 )i 1in 1i12PnP 2nP n (2P n )P( B)P( A1An 1 )( A2An 2 )(AnA2n )nP( AiAn i )i 1n P( Ai )P( An i )P( Ai )P( An i )i 1 n注：利用第7 题的方法可以证2nn明 (Ain i ) 与 ( Aj An j )2P PP (2P)Ai 1ij时独立。10 . 10 张奖券中含有4 张中奖的奖券，每人购买1 张，求（ 1）前三人中恰有一人中奖的概率；（ 2）第二人中奖的概率。精彩文案实用标准文档解： 令 Ai“第 i 个人中奖”， i1,2,3(1) P( A1 A2 A3A1A2 A3A1

18、 A2 A3)P(A1 A2A3 ) P(A1 A2A3 ) P(A1 A2A3 )P( A1)P( A2 | A1)P(A3 | A1 A2 ) P( A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P( A1 )P( A2 | A1) P(A3 | A1A2 )46565464511098109810982或 PC41 C621C1032（2） P(A2)P( A1 )P( A2 | A1)P(A1)P(A2 | A1 )43642109109511 . 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000 人中

19、有4 人患有肝癌，试求：（ 1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（ 2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令 B “被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么， P(A | B) 0.95,P( A | B)0.10, P(B) 0.0004（1） P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B )0.00040.950.99960.10.10034P( B)P( A | B)（2） P(B | A)P(B)P(A | B)P(B)P( A | B)0.00040.950.00380.00040.950.99960.112 .

20、一大批产品的优质品率为 30% ，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事件的概率：（ 1）取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品；（ 2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这5 件中恰有 2 件是优质品。解： 令 Bi“5 件中有 i 件优质品”， i 0,1,2,3,4,5（1） P(B2 )C52( 0.3) 2 (0.7)30.3087精彩文案实用标准文档5P(B2B0 )（ 2） P( B2 | Bi ) P( B2 | B0 )P(B0 )i 1P(B2 )0.30870.3711 P(B0) 1(0.7)513 . 每箱产品有10 件，其次品数从0 到 2

21、 是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1 件正品被误检是次品的概率是2% ， 1 件次品被误判是正品的概率是5% ，试计算：（ 1）抽取的 1 件产品为正品的概率；（ 2）该箱产品通过验收的概率。解：令AAiB（ 1） P( A)（ 2） P( B)“抽取一件产品为正品”“箱中有 i 件次品”， i0,1,2“该箱产品通过验收”110 i22P( Ai ) P( A | Ai )30.9i 0i 010P( A)P(B | A)P(A)P(B | A)0.90.980.1 0.050.88714 . 假设一厂家生产的仪器，以概率0

22、.70 可以直接出厂，以概率0.30 需进一步调试，经调试后以概率0.80 可以出厂，并以概率0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 n(n2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（ 1）全部能出厂的概率；（ 2）其中恰有 2 件不能出厂的概率；（ 3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。解： 令 A“仪器需进一步调试”； B“仪器能出厂”A “仪器能直接出厂” ； AB “仪器经调试后能出厂”显然B A AB，那么 P( A)0.3, P(B | A) 0.8P( AB)PA) P(B | A)0.30.80.24所以 P(B)P( A) P( AB)0.70.240.94

23、令 Bi “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”，i0,1, , n（ 1） P( Bn )( 0.94)n（ 2） P( Bn2 )C nn 2 (0.94) n2 (0.06) 2C n2 (0.94) n 2 (0.06)2n2Cn1 0.06(0.94) n 1( 0.94) n（3） P(Bk ) 1 P( Bn 1 )P(Bn )1k0p ，试求以下事件15 . 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为的概率：精彩文案实用标准文档（ 1）直到第 r 次才成功；（ 2）第 r 次成功之前恰失败 k 次；（ 3）在 n 次中取得 r (1 rn) 次成功；（ 4）直到第 n 次才取得

24、r (1r n) 次成功。解：（ 1） P p(1p) r 1（ 2） P Crrk11 p r (1 p) k（ 3） P Cnr pr (1 p) n r（ 4） P Cnr11 p r (1 p) n r16 . 对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为0.4 ，第二次为0.5 ，第三次为 0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解： 令 Ai“恰有 i 次击中飞机”，i0,1,2,3B “飞机被击落”显然：P(A0)(10.4)(1 0.5)(10.7)0.09P(

25、A1)0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(1 0.7) (10.4) (1 0.5) 0.70.36P(A2)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(1 0.4) 0.50.70.41P(A3)0.40.50.70.14而 P(B| A0)0， P(B | A1)0.2， P(B | A2)0.6， P(B | A3 ) 1所以3P( B)P( Ai )P(B | Ai )0.458 ； P(B ) 1P( B) 1 0.458 0.542i 0精彩文案实用标准文档习题 1.3 解答1. 设 X 为随机变量，且P( Xk )1 (k1,2,), 则2k（ 1）判断上面的

26、式子是否为X 的概率分布；（ 2）若是，试求P( X为偶数 ）和 P( X5).解：令 P(Xk)pk1k , k1,2,01，且2（ 1）显然pk11pk21k 1 2k11k 12所以 P(Xk)1k, k1,2,为一概率分布。2111（2） P( X 为偶数 )p2k422k13k1k 11 4111P( X5)pk25k 5 2k1 2116k 52. 设随机变量X 的概率分布为P( Xk)Cke ( k1,2, ), 且0 ，求常k!数 C .kk解：ce1 ，而e1k 1k!k 0 k!01，即 c (1 e ) 1c 1e0!3.设一次试验成功的概率为p(0p1) ，不断进行重复

27、试验，直到首次成功为止。用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。解： P(Xk)p(1 p) k 1 , k 1,2,4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1 ，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（ 1） X 的概率分布；（2） P( X5)。解：（1） P( Xk )(1p)k p(0.9) k0.1, k0,1,2,（2） P( X5)P( Xk )(0.9) k0.1 (0.9) 5k 5k 5精彩文案实用标准文档5. 一张考卷上有5 道选择题，每道题列出4 个可能答案，其中有1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4

28、道题的概率是多少？解： 因为学生靠猜测答对每道题的概率为的独立重复试验。1，所以这是一个 n 51p, p44P( X 4) C54 (1)43C55(1)5( 3)014444646. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为 0.01 ，各台设备工作情况相互独立。（ 1）若由 1 人负责维修 20 台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（ 2）设有设备 100 台， 1 台发生故障由 1 人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：（ 1） 1 (0.99)20200.01(0.99)190.

29、0175 （按 Poisson(泊松 )分布近似）（ 2） n100, np1000.011（按 Poisson(泊松 )分布近似）P( XN1)100k(0.01)k(0.99)100 k1001ke 1C1000.01kN1k N1k!查表得 N41 ，求7.设随机变量X 服从参数为的 Poisson( 泊松 )分布，且 P(X 0)（2） P(X 1) .2（1） ；01,ln 2解：P( X0)e0!2P( X1)1P( X1)1P(X0)P( X1)1 11 ln 21 (1 ln 2)2228. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从 Poisson(泊松 )分布。经统计发现在某本书

30、上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4 页，每页上都没有印刷错误的概率。12解：P(X 1)P( X 2) ，即 ee ,21!2!P（ X0） e 2P(e 2 ) 4e 89. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；（ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率；9. 在长度为t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为2t 的Poisson( 泊松 )分布，而与时间间隔的起点

31、无关（时间以小时计）. 求（ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；（ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率；精彩文案实用标准文档解：33（ 1） t 3 ,P(X 0) e 2255（ 2） t 5 ,P( X 1) 1 P( X 0) 1 e 2210. 已知 X 的概率分布为：X- 2- 10123P2a13aaa2a10试求（ 1） a ；（2） YX 21的概率分布。解：（ 1）2a13a a a2a110a1。（ 2）10Y1038P313110510511.设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8 所示 .f (x)

32、0.5to123x图 1.3.8试求 :（ 1） t 的值；（ 2） X 的概率密度；（3） P( 2X 2).解：（ 1）1 ( t ) 0.510.53122t1精彩文案实用标准文档1 x1 ,x 1,0)22（ 2） f ( x)1 x1, x0,3)620 ， 其它（3）P（ 2 X 2)0 ( 1 x1 )dx2 ( 1 x1 )dx12206212. 设连续型随机变量 X 的概率密度为f ( x)sin x, 0x a0,其他试确定常数a 并求 P( X) .6a解： 令f (x)dx1，即sin xdx10cosxa，即cos a0, a01223P( X)sin xdxcos x |2662613.乘以什么常数将使e x2 x 变成概率密度函数 ?解： 令ce x2xdx 1(x121c e)e4 dx1即2111即ce41ce414.随机变量 XN( ,2 ) ，其概率密度函数为1x 24x4f ( x)e6(x6C试求 ,2f ( x) dxf ( x) dx ，求 C .；若已知C解：1x 24x41( x2) 2f ( x)6e2(3) 2e26232,31112)精彩文案实用标准文档c若f ( x)dxf (x)dx ，由正态分布的对称性c可知c2