余弦定理练习题及答案解析

1、1. 在 ABC 中，已知 a= 4, b= 6, C= 120则边 c 的值是()A. 8B. 2 何C. 6 走D . 219解析：选 D.根据余弦定理，c2= a2+ b2 2abcos C= 16+ 36 2X 4X 6cos 120=76，c= 2719.2. 在 ABC 中，已知 a= 2，b= 3，C= 120 贝 U sin A 的值为()A 姮B回A. 19B.C 心C.38解析：选 A. c2= a2+ b2 2abcos C=22+ 32 2 X 2 X 3X cos 120 =19.c =低.由 sinA=得sin A=曙3 .如果等腰三角形的周长是底边长的解析：设底边

2、边长为 a,则由题意知等腰三角形的腰长为2a,故顶角的余弦值4a2+ 4a2 a27为-=_为 2 2a 2a 8.答案：74.在 ABC 中，若 B = 60 2b= a+c,试判断 ABC 的形状.解：法一：根据余弦定理得b2= a2+ c2 2accos B.B= 60 2b=a+c,a + c()2= a2+ c2 2accos 60 ,整理得(a c)2= 0,/a = c.BC 是正三角形.法二：根据正弦定理，2b=a + c 可转化为 2sin B= sin A+sin C.又VB= 60/A+ C= 120.C= 120 A,2si n 60 =si n A+sin (120

3、A),7姮195 倍，那么它的顶角的余弦值为整理得 sin（A+ 30 = 1,：A=60 C= 60BC 是正三角形.课时训练 *福时训细 C=a2+ b2 2abcos CC = a2 b2 2bccos A2 2 2b = a c 2bccos A a2+ b2+ c2cosc=2ab解析：选 A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.2. （2011 年合肥检测）在ABC 中，若 a= 10, b = 24, c = 26,则最大角的余弦 值是（）12A.nC. 0解析：选 C. cba,.-c 所对的角 C 为最大角，由余弦定理得 cos C =a=0.3已知 ABC 的三边分别为 2

4、,3,4，则此三角形是（）A .锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D .不能确定解析：选 B. .42= 16 22+ 32= 13，边长为 4 的边所对的角是钝角，二 ABC 是 钝角三角形.4.在 ABC 中，已知 a2= b2+bc+c2,则角 A 为（）八nr n込B.62 nn 、 2 nC.yD.3或 3一、选择题1.在 ABC 中，符合余弦定理的是（）A.B.C.B4D2解析：选 C.由已知得 b2+ c2 a2= bc,b2+ c2 a21cosA =2bc=-2，又Ov Av n, A = ，故选 C.5 .在 ABC 中，下列关系式1asi n B= bsi n A2a

5、= bcos C + ccos B3a2+ b2 c2_ 2abcos C4b_ cs in A+ as in C一定成立的有（）A . 1 个B. 2 个C. 3 个D . 4 个解析：选 C.由正、余弦定理知一定成立.对于由正弦定理知sin A_sinBcos C+sin Ccos B_ sin(B + C)，显然成立.对于由正弦定理sin B_sin Csin A+sin Asin C_ 2sin Asin C,贝 U 不一定成立.6.在ABC 中， 已知 b2_ac 且 c_ 2a,则 cosB 等于()A1AVC亚C. 4解析：选 B. .b2_ ac, c_ 2a,b2_ 2a2,

6、a2+ c2 b2a2+ 4a2 2a2cos B_ 2ac2a 2a_ 3=4.二、填空题7 .在 ABC 中，若 A_ 120 AB_ 5, BC_ 7,贝 U AC_ 解析：由余弦定理，得 BC2_ AB2+ AC2 2AB C cosA，21即 49_ 25+ AC2 2X 5X AC X ( ?)，AC2+ 5AC 24 _ 0.AC _ 3 或 AC _ 8（舍去）.答案：38.已知三角形的两边分别为 4 和 5,它们的夹角的余弦值是方程 2x2+ 3x 2_ 0 的根，则第三边长旦解析：解方程可得该夹角的余弦值为 1，由余弦定理得：42+ 52 2 X 4 X 5X 殳_ 21,

7、二第三边长是呵.答案：佰9. 在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8,贝 U B 的大小是 解析：由正弦定理，B.3D普得 a :b ：c= sin A sin B sin C = 5 7 8.不妨设 a= 5k, b = 7k, c= 8k,?5k? + ?8k?2 ?7k?2则 cos B =B=n答案：n 三、解答题310.已知在 ABC 中，cos A= 5，a= 4，b= 3,求角 C.解：A 为 b, c 的夹角，由余弦定理得 a2= b2+ c2 2bccos A,23 16 = 9 + c 6XTc,5整理得 5c2 18c 35

8、= 0. 解得c= 5 或 c= 5(舍).a2+ b2 c216 + 9 25由余弦定理得csC= 2ab = 2X4X 3 =0,0vC 180 .9= 9011.在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长，若(a+b+ c)(sin A + sin B sin C) = 3asin B,求 C 的大小.解：由题意可知，(a + b + c)(a + b c) = 3ab,于是有 a2+ 2ab + b2 c2= 3ab,a2+ b2 c21即2ab = 2，所以 cos C = 2，所以 C = 60.12.在 ABC 中，b = asin C, c = acos B,试判断 ABC 的形状.2,2 .2a + c b解：由余弦定理知 cos B=2ac ，代入 c= a