直线与抛物线的位置关系(专题).

1、抛物线的简单几何性质叶双能一教学目标：1.掌握抛物线的简单几何性质2.能够熟练运用性质解题3.掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4.进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.二教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用 .易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三教学过程（一）复习回顾：（ 1）抛物线 y ax2 (a 0) 的焦点坐标是 _;准线方程 _.（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M (1,4) ，则抛物线的标准方程为_.(3) 过点 M2,0 作斜率为1的直线l，交抛物线y24x 于 A ，B

2、两点，求|AB|（二）典例分析：例 1.已知抛物线y24x, 直线l过定点P2,1，斜率为k . k 为何值时，直线l与抛物线y 24x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图：（ 1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系.(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式 1：已知抛物线方程2y 4x，当 b 为何值时，直线l : y x b与抛物线（1）只有一个交点；（ 2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时， b 的最大值是多少？例 2：过点 Q 4,1 作抛物线 y28

3、x 的弦 AB ，恰好被点 Q 所平分 .(1)求 AB 所在的直线方程；（2）求 | AB |的长.变式 1：斜率为 1的直线 l 经过抛物线 y 2 =4 x 的焦点 F，且与抛物线相交于A、 B 两点，求线段 AB 的长 .( 教材 69 页例 4)方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式方法（二）方程联立根据韦达定理求 x1 +x2运用弦长公式方法（三）（数形结合）方程联立根据韦达定理求x1 +x2运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式(1)焦点在 x轴上:AB|=|x1|+|x2 |+p：（2 焦点在 y轴上：)|AB|=|y1|+|y2 |+p（由焦半径公式推导而来）变

4、式 2：已知抛物线 y2x 与直线 yk ( x1) 相交于两点。（ 1）求证： OAOB ；（ 2）当 OAB 的面积等于 10时，求 k 的值（1）6（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法(1)分解成两个共底的三角形的面积之和）（2）利用底乘高的一半公式变式 3：已知抛物线C : y22x .(1). 若直线 ykxk 1 与曲线 C 只有一个交点，求实数k 的取值范围 .(2).求过点 P0,1且与抛物线 C 只有一个公共点的直线方程 .(3).过点 A 1,1 作抛物线 C 弦 AB ，恰好被点 A 所平分，求 AB 的直线方程和弦|AB|的长.1313;(2) x0 或 y11

5、);(3) y x , 2 2(1) 0,21或 yx22例 3.过抛物线 y22 px 的焦点 F的一条直线和抛物线相交于 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )(1).求证： y1 y2p2 , x1x2p24(2).求证： ABx1 x2p2 p( 为直线的倾斜角）sin 2(3).求证：112FAFBp(4).求证A 1 FB1900(5).求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(6).求证：以 AF（或 BF ）为直径的圆与 y轴相切(7).求证：点A 、 O、 B1 三点共线 .(8).若 AFa，BFb ， M 是 A1,B1 的中点，求证MFab变式练习：若抛物线的

6、方程为x22 py ，则能得到什么结论？:例已知抛物线 C ： y24x （）在抛物线C 上求一点 P，使得点 P 到直线 yx 3的距离最短 .（2）在抛物线 C 上求一点 P，使得点到点A 3,0的距离最近，并求最近的距离（） 若点 A 的坐标为1,1，在抛物线 C 上求一点 P 使得 | PF | PA |最小， 并求最小值 .（）若点 A 的坐标为1,4，在抛物线 C 上找一点使得|PF | PA |最小，并求最小值 .（）在抛物线 C 上求一点 P，使得点到点 A 0,2距离与 P 到准线的距离之和最小，并求最小的值 .（6 ）求下列函数的最值 .y1(2) zx y(1) z2x（

7、7）过抛物线 C 的焦点 F，做互相垂直的两条焦点弦AB 和 CD，求 |AB | |CD |的最小值 .变式 1：过抛物线 y24ax ( a 0) 的焦点 F，做互相垂直的两条焦点弦AB 和 CD，求|AB|CD | 的最小值 .变式 2：过定点M(4,0) 作直线L ，交抛物线y24x于A BF、 两点， 是抛物线的焦点， 求 AFB的面积的最小值。变式 3：已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 L 与 C 相交于 A 、B 两点。（ 1）若AB16，求直线 L 的方程。（ 2）求 AB 的最小值。3例 5.已知抛物线 y22 px( p0) 的动弦 AB 恒过定点

8、 M (2 p,0) ，求证： kOA .kOB1变式 1：若直线 L 与抛物线y2px p0) 交于 A 、B 两点，且 OA OB ， :求证：直线2 (L 过定点变式 2：如图所示， F 是抛物线 y22 px( p0) 的焦点，点 A4,2 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，且 | PA | | PB |的最小值为 8 .（）求抛物线的方程；（）若 O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点的动直线与抛物线交于，两点，且 OB.OC 0 ，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由三练习反馈：1.抛物线 y 212x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标为 _.2.过抛物线 y2

9、8x 的焦点作直线交抛物线于A( x , y ), B( x , y) 两点，如果 x1 x26 ，1122则 | AB |=_.3.已知抛物线y22 px( p0) 的焦点为 F，点 P x y,P, x y,P, x y,在抛物线111222333上，且 x1 , x2 , x3 成等差数列，则有（）A.|FP1|FP2 | |FP3|B.|FP1|2|FP2 |2 |FP3 |2C. 2| FP2| |FP3|FP1|D. |FP2 |2|FP3|.| FP1|4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线三角形的面积2y 4x 上，其中一个顶点为坐标原点，求这个5.yx 2与抛物线y22x相

10、交于A, B两点，求证：OAOB直线6.y22 px ( p 0)交于A, B两点，OAOB,且 ODAB 并交AB于已知直线与抛物线点，点的坐标为2,1, 求 p 的值第题图7.设直线 y2xb 与抛物线 y24x 交于 A, B 两点，已知弦 | AB | 3 5 ，点 P 为抛物线上一点， S PAB30,求点 P 的坐标 ( 16,8 , 9, 6 )8.过抛物线y22px( p0) 焦点F 的直线交抛物线于A, B两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.9 05北京） 如图，O为坐标原点，过点.P 2,0，且斜率为 k 的直线 l 交抛物线y22x于（Mx1, y1 , Nx2 , y2 两点 .(1) 写出直线 l 的方程；（2）求 x1 x2 与 y1y2 的值；（ 3）求证 OMON10. 已知直线 l : yx b 与抛物线 y2于2x 相交两点 A 、B ，求：(