全国各地中考数学压轴题汇编之

1、2017全国各地中考数学压轴题汇编之一1（2017江苏淮安，28，14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒连接PQ（1）填空：_，_；（2）在点P、Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

2、若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由；（4）如图，点N的坐标为（，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q的坐标【分析】（1）将A（3，0）、B（4，0）代入即可求解；（2）若APQ为直角三角形，则APQ90°（PAQ与PQA不可能为直角）连接QC，则AQ2AP2QC2PC2PQ2，据此列出关于的方程求解，若的值满足04，则APQ可能是直角三角形，否则不可能；（3）过点P作DE轴，分别过点M、Q作MDDE，QEDE，垂足分别为D、E，构成“一线三直角”全等模型，用含的式子表示点M的坐标；将点M的坐标代入二次函数的表达

3、式求解；（4）分别求直线BC、直线NQ的函数表达式；解直线BC、NQ的函数达式组成的方程组【解析】（1），4（2）在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形理由如下：若APQ是直角三角形，因为在点P、Q运动过程中，PAQ、PQA始终为锐角，所以APQ90°AQ2AP2QC2PC2PQ2连接QC由（1）知抛物线的函数表达式为，当0时，4C（0，4）OC4A（3，0），OA3由题意，得APOQAQOAOQ在RtAOC中，由勾股定理得AC5PC在RtOCQ中，QC2OQ2OC2APQ90°，AQ2AP2QC2PC2PQ2解得4.5由题意知044.5不符合题意，舍去在点P、Q运

4、动过程中，APQ不可能是直角三角形（3）如图，过点P作DE轴，分别过点M、Q作MDDE、QEDE，垂足分别为点D、E，MD交轴于点F，过点P作PG轴，垂足为点G，则PG轴，DE90°APGACO，即PG，AGPEGQGOOQAOAGOQ，DFEQMPQ90°，D90°，DMPDPMEPQDPM90°DMPEPQ又DE，PMPQ，MDPPEQPDEQ，MDPEAMMDDF，OFFGGOPDOAAGM（，）点M在轴下方的抛物线上，解得04，（4）Q（，）提示：连接OP，取OP中点R，连接RH、NR，延长NR交线段BC于点Q点H为PQ的中点，点R为OP的中点，

5、RHOQ，RHOQA（3，0）、N（，0），点N为OA的中点又点R为OP的中点，NRAP，RNACRHNRRNHRHNRHOQ，RHNHNORNHHNO，即NH是QNQ的平分线设直线AC的函数表达式为，把A（3，0）、C（0，4）代入，得解得，4直线AC的函数表达式为同理可求，直线BC的函数表达式为设直线NR的函数表达式为，把N（，0）代入，得0解得2直线NR的函数表达式为解方程组得Q（，）2(2017江苏南京，27，11分)折纸的思考【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步，对折矩形纸片ABCD（ABBC）（图），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图）第二步，如图，再一次折叠纸

6、片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到PBC（1）说明PBC是等边三角形【数学思考】（2）如图小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC他发现，在矩形ABCD中把PBC经过图形变化，可以得到图中的更大的等边三角形请描述图形变化的过程（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm【分析】（1）由折叠的性质，线段垂直平分线的性质可判

7、断；（2）根据旋转的性质和位似变换直接作图，写出过程即可；（3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；（4）由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解【解析】（1）由折叠，PBPC，EF是BC的垂直平分线，PBPC，PBPCBC ，PBC是等边三角形（2）本题答案不惟一例如，如图，以点B为中心，在矩形ABCD中把PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到P1B1C1；再以点B为位似中心，将P1B1C1放大，使C1的对应点C2落在CD上，得到P2BC2（3）当等边三角形的边长为3cm，acm为高时，则a332，当等边三角形的边长为acm，3cm为高时，则a23，然后分0a332，332a23，a23

8、画出示意图 （4）165当以4cm的直角边与正方形的边重合时，边长为4cm，正方形的面积为16cm2；当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，两外两个顶点在边上时，如图，四边形ABCD是正方形，BCCD，CD90°BFE90°，BFCEFD90°，BFCCBF90°，EFDCBF，BCFFDE，BCDFBFEF设BCa，由BF4，得CF16-a2，则DFa16-a2，可知a( a16-a2)41解得a165正方形得面积为25625因为2562516，所以a1653（2017江苏连云港，27，14分）问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的

9、边AB、BC、CD、DA上，AEDG，求证：2S四边形EFGHS矩形ABCD（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1如图2，当AHBF时，若将点G向点C靠近（DGAE），经过探索，发现：2S四边形EFGHS矩形ABCD如图3，当AHBF时，若将点G向点D靠近（DGAE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）

10、如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AHBF，AEDG，S四边形EFGH11，HF，求EG的长（2）如图5，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E、H分别在边AB、AD上，BE1，DH2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值【分析】问题呈现：根据矩形的性质，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；实验探究：由题意得当将点G向点D靠近()时，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；迁移应用：(1)由上面的结论，结合图形，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；（2）直接根

11、据规律写出结果即可.【解析】问题呈现：证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，A90°，AEDG，四边形AEGD是矩形，SHGES矩形AEGD，同理SEGFS矩形BEGC，S四边形EFGHSHGESEFGS矩形BEGC实验探究：结论：2S四边形EFGHS矩形ABCD理由：，S四边形EFGH，2S四边形EFGH22222，2S四边形EFGHS矩形ABCD迁移应用：解：（1）如图4中，2S四边形EFGHS矩形ABCD252×113A1B1·A1D1，正方形的面积为25，边长为5，A1D12HF25229254，A1D12，A1B1，EG2A1B1252，EG（

12、2）2S四边形EFGHS矩形ABCD四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大如图51中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积1·(2)如图52中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积2·12，22，矩形EFGH的面积最大值4（2017江苏南通，28，13分）已知直线ykxb与抛物线yax2（a0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作ADx轴，垂足为D（1）若AOB60°，ABx轴，AB2，

13、求a的值；（2）若AOB90°，点A的横坐标为4，AC4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DECO【分析】（1）如图1，由条件可知AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在RtAOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CFBG，由A的横坐标为4，得B的横坐标为1，所以A（4，16a），B（1，a），证明ADOOEB，则，得a的值及B的坐标；（3）如图3，设ACnBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（mn，am2n2），分别根据两三角形相似

14、计算DE和CO的长即可得出结论【解析】解：（1）如图1，抛物线yax2的对称轴是y轴，且ABx轴，A与B是对称点，O是抛物线的顶点，OAOB，AOB60°，AOB是等边三角形，AB2，ABOC，ACBC1，BOC30°，OC，A（1，），把A（1，）代入抛物线yax2（a0）中得：a；（2）如图2，过B作BEx轴于E，过A作AGBE，交BE延长线于点G，交y轴于F，CFBG，AC4BC，4，AF4FG，A的横坐标为4，B的横坐标为1，A（4，16a），B（1，a），AOB90°，AODBOE90°，AODDAO90°，BOEDAO，ADOOEB

15、90°，ADOOEB，16a24，a±，a0，a；B（1，）；（3）如图3，设ACnBC，由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（mn，am2n2），ADam2n2，过B作BFx轴于F，DEBF，BOFEOD，DEam2n，OCAE，BCOBAE，COam2n，DECO5(2017江苏苏州，28，10分)如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OBOC点D在函数图象上，CDx轴，且CD2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点(1)求b、c的值；(2)如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F&

16、#39;恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OBOC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；(2)可设F(0，m)，则可表示出F的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；(3)设点P坐标为(n，0)，可表示出PA、PB、PN的长，作QRPN，垂足为R，

17、则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在RtQRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，【解析】解：(1)CDx轴，CD2，抛物线对称轴为x1-2，b-2OBOC，C(0，c)，B点的坐标为(c，0)，0c22cc，解得c3或c0(舍去)，c3；(2)设点F的坐标为(0，m)对称轴为直线x1，点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)由(1)可知抛物线解析式为yx22x3(x1)24，E(1，4)，直线BE经过点B(3，0)，E(1，4)，利用待定系数法可得直线BE的表达式为y2x6点F在BE上，m2×262，

18、即点F的坐标为(0，2)；(3)存在点Q满足题意设点P坐标为(n，0)，则PAn1，PBPM3n，PNn22n3作QRPN，垂足为R，SPQNSAPM，(n1)(3-n)(-n22n3) ·QR，QR1点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n1，n24n)，R点的坐标为(n，n24n)，N点的坐标为(n，n22n3)在RtQRN中，NQ21(2n3)2，n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为(，-)； 点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n11，n24)同理，NQ21(2n1)2，n时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为(，-)综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为(，-)或(，-)6（2

19、017江苏泰州，26，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=x2+（m2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2am=d（d为常数）（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点当a=1、d=1时，求k的值；若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=4且a2、a4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由【分析】（1）当a=1、d=1时，m=2ad=3，于是得到抛物线的解析式，

20、然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到（am）（a+2）（a+2m）（a+4），结合已知条件2am=d，可求得d的取值范围；（2）由d=4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m8）

21、，于是可得到CD与m的关系式【解析】解：（1）当a=1、d=1时，m=2ad=3，所以二次函数的表达式是y=x2+x+6a=1，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，A（1，6），B（3，0）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：，解得：，所以k的值为3y=x2+（m2）x+2m=（xm）（x+2），当x=a时，y=（am）（a+2）；当x=a+2时，y=（a+24）（a+4），y1随着x的增大而减小，且aa+2，（am）（a+2）（a+2m）（a+4），解得：2am4，又2am=d，d的取值范围为d4（2）d=4且a2

22、、a4，2am=d，m=2a+4二次函数的关系式为y=x2+（2a+2）x+4a+8把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）点A、点B的纵坐标相同，ABx轴（3）线段CD的长随m的值的变化而变化y=x2+（m2）x+2m过点A、点B，当x=a时，y=a2+（m2）a+2m，当x=a+2时，y=（a+2）2+（m2）（a+2）+2m，A（a，a2+（m2）a+2m）、B（a+2，（a+2）2+（m2）（a+2）+2m）点A运动的路线是的函数关系式为y1=a2+（m2）a+2m，点B运

23、动的路线的函数关系式为y2=（a+2）2+（m2）（a+2）+2m点C（0，2m），D（0，4m8）DC=|2m（4m8）|=|82m|线段CD的长随m的值的变化而变化当82m=0时，m=4时，CD=|82m|=0，即点C与点D重合；当m4时，CD=2m8；当m4时，CD=82m7（2017江苏无锡，28，8分）如图，已知矩形ABCD中，AB4，ADm，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）（1）若m6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且

24、只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围【分析】（1）如图1中，设PDx则PA6x首先证明BPBC6，在RtABP中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；【解析】解：（1）如图1中，设PDx则PA6xP、B、E共线，BPCDPC，ADBC，DPCPCB，BPCPCB，BPBC6，在RtABP中，AB2AP2PB2，42（6x）262，x62或62（舍弃），PD62，t（62）s时，B、E、P共线（2）如

25、图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3作EQBC于Q，EMDC于M则EQ3，CEDC4易证四边形EMCQ是矩形，CMEQ3，M90°，EM，DACEDM，ADCM，ADCDME，AD4，如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3作EQBC于Q，延长QE交AD于M则EQ3，CEDC4在RtECQ中，QCDM，由DMECDA，AD，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围m48(2017江苏宿迁，26，10分)如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB1，BC，点E在边

26、CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形ABCE，点B、C的对应点分别为点B、C(1)当BC恰好经过点D时(如图1)，求线段CE的长；(2)若BC分别交边AD，CD于点F，G，且DAE22.5°(如图2)，求DFG的面积；(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C运动的路径长【分析】(1)如图1中，设CEECx，则DE1x，由ADBDEC，可得，列出方程即可解决问题；(2)如图2中，首先证明ADB，DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；(3)如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题【解析】解：(1)如图1中，设CEECx，则

27、DE1x，ADBEDC90°，BADADB90°，BADEDC，BC90°，ABAB1，AD，DB，ADBDEC，x2CE2(2)如图2中，BADBD90°，DAE22.5°，EABEAB67.5°，BAFBFA45°，DFGAFBDGF45°，DFFG，在RtABF中，ABFB1，AFAB，DFDG，SDFG()2(3)如图3中，点C的运动路径的长为的长，在RtADC中，tanDAC，DAC30°，AC2CD2，CADDAC30°，CAC60°，的长9(2017江苏徐州，28，10分

28、)如图，已知二次函数yx24的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，C的半径为，P为C上一动点(1)点B，C的坐标分别为B( )，C( )；(2)是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值 【分析】(1)在抛物线解析式中令y0可求得B点坐标，令x0可求得C点坐标；(2)当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC5，BP22，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，根据相似三角形的性质得到2，设OCP2E2x，CP2OEx，得到BE3x，CF2x4，于是得到FP

29、2，EP2，求得P2(，)，过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1(1，2)，当BCPC时，PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；(3)如图3中，连接AP，OBOA，BEEP，推出OEAP，可知当AP最大时，OE的值最大，【解析】解：(1)在yx24中，令y0，则x±3，令x0，则y4，B(3，0)，C(0，4)；故答案为：3，0；0，4；(2)存在点P，使得PBC为直角三角形，当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图(2)a，连接BC，OB3OC4，BC5，CP2BP2，CP2，BP22，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，则CP2FBP2E

30、，四边形OCP2B是矩形，2，设OCP2E2x，CP2OEx，BE3x，CF2x4，2，x，2x，FP2，EP2，P2(，)，过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1(1，2)，当BCPC时，PBC为直角三角形，如图(2)b过P4作P4Hy轴于H，则BOCCHP4，CH，P4H，P4(，4)；同理P3(，4)；综上所述：点P的坐标为：(1，2)或(，)或(，4)或(，4)；(3)如图(3)，连接AP，OBOA，BEEP，OEAP，当AP最大时，OE的值最大，当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值5，OE的最大值为故答案为：10(2017江苏盐城，27，14分)如图，在平面直角

31、坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)根据题意得到A(4，0)，C(0，2)代入yx2bxc，于是得到结论；(2)如图，令y0，解方程得到x14，x21，求得B(1，0)，过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于A

32、C于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P(，0)，得到PAPCPB，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，DCF2BACDGCCDG，情况二，FDC2BAC，解直角三角形即可得到结论【解析】解：(1)根据题意得A(4，0)，C(0，2)，抛物线yx2bxc经过A、C两点，yx2x2；(2)如图，令y0，x2x20，x14，x21，B(1，0)，过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于AC于N，DMBN，DMEBNE，设D(a，a2a2)，M(a，a2)，B(1.0)，N(1，)，-(a2)2

33、；当a2时，的最大值是；A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P(，0)，PAPCPB，CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC)，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，DCF2BACDGCCDG，CDGBAC，tanCDGtanBAC，即令D(a，a2a2)，DRa，RCa2a，a10(舍去)，a22，xD2，情况二，FDC2BAC，tanFDC，设FC4k，DF3k，DC5k，tanDGC，FG6k，CG2k，DG3k，RCk，RGk，DR3kkk，a10(舍去)

34、，a2，点D的横坐标为2或11(2017江苏扬州，28，12分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O(1)若AP=1，则AE=；(2)求证：点O一定在APE的外接圆上；当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值【分析】(1)由正方形的性质得出A=B=EPG=90°，PFEG，AB=BC=4，OEP=45°，由角的互

35、余关系证出AEP=PBC，得出APEBCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；(2)A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；连接OA、AC，由光杆司令求出AC=4，由圆周角定理得出OAP=OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；(3)设APE的外接圆的圆心为M，作MNAB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4x，由相似三角形的对应边成比例求出AE=xx 2= (x2)2+1，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可【解析】(1)解：四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，A=B=EPG=90

36、6;，PFEG，AB=BC=4，OEP=45°，AEP+APE=90°，BPC+APE=90°，AEP=PBC，APEBCP，即，解得：AE=；故答案为：；(2)证明：PFEG，EOF=90°，EOF+A=180°，A、P、O、E四点共圆，点O一定在APE的外接圆上；解：连接OA、AC，如图1所示：四边形ABCD是正方形，B=90°，BAC=45°，AC=4，A、P、O、E四点共圆，OAP=OEP=45°，点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，即点O经过的路径长为2；(3)解：设APE的外

37、接圆的圆心为M，作MNAB于N，如图2所示：则MNAE，ME=MP，AN=PN，MN=AE，设AP= x，则BP=4x，由(1)得：APEBCP，即，解得：AE= xx 2= (x2)2+1，x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即APE的圆心到AB边的距离的最大值为12（2017江苏镇江，28，11分）【回顾】如图1，ABC中，B=30°，AB=3，BC=4，则ABC的面积等于3【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75&