第二章4.1导数的加法与减法法则

1、§导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则長 预习导学挑战自我点点落实学习目标1 理解导数的加法与减法法则的推导方法.2 掌握导数的加法与减法法则.3 会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算.知识链接利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？答 应用的前提条件是：必须是有限个函数和(差)的形式；其中每个函数的 导数都存在且利用公式能容易求出.预习导引1 导数的加法与减法法则(1) 符号语言 f(x)+g(x)丰'(X)+g '(X). f(x)- g(x)'丰'(x) g '(x).(2) 文字语言两个函数和(差)的导数等于这

2、两个函数导数的和(差).2 .两个函数和差的求导法则的推广(1)af(x)土bg(x)'言f'(x)土bg(x)(a, b 为常数).(2)f1(x) ±f2(x) ±f3(x) ± ±n(X) ' f 1 (x) ± 2(X)±f 3(X)± ±'n(X).要点一 直接利用法则求导数例1求下列函数的导数：X X(2)y 41 + sin cos ；1 1(3) y 4 xx2 + X+ :;(4) y 4 ©+ 1)土 14-2x1 + X.解 观察式子的特点，可以先化简

3、再求导.2(1) Vy = x+ 2 +_,Ay 'Xx x vy 41 + sin2cos241y'4cos x.y 21 1 V 4 x X2 + + x X3X31X3 + 1 +二,X22y'4x2-；.x3 Vy 4 ( x + 1)12规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数 公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对 函数进行化简，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程.跟踪演练1求下列函数的导数：y7xx（2）y 二 sin； + cos；.14=一 x5 x3 + 3x +531x55氓4 4

4、x2 + 3.xxx x vy =曲4+ cos2；2-2曲严241 x 11 COS x 31=12Sin22=y sin x.4要点二求导法则的逆向应用例2 已知f'(x)是一次函数，x2f'(x) (2x 1)f(x)= 1对一切x R恒成立，求f(x)的解析式.解 由f'(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x) = ax2 + bx + c(a0)，则f'(x) = 2ax + b，把 f(x)，f'(x)代入关于 x 的方程得 x2(2ax + b) (2x 1) (ax2 + bx+ c)= 1，即(a b)x2+ (b 2c)x

5、 + c 1 = 0，又该方程对一切 x R恒成立，所 2=4+产 x，a b = 0 ,a = 2,以 b 2c = 0 , 解得 b = 2,c1 = 0,c=1,所以 f(x)= 2x-f(x)的表达式为 f(x)= x2 + x +_. 4要点三导数的应用例3 已知函数f(x) = x3 + x，求函数在点(2,10)处的切线方程.解 f'(x)= (x3 + x) ' =x3)'+x)'=x2+ 1.f(2) = 3 X22 + 1 = 13.所求切线的斜率是13.+ 2x+ 1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题， 然后利用已

6、 知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式， 特 别是已知具有某些特征的函数.跟踪演练2 设y = f(x)是二次函数，方程f(x)= 0有两个相等的实根，且f'(x) =2x + 1.求y= f(x)的函数表达式.解 if (x) = 2x + 1，'f(x)=x2 + x + c(c 为常数)，又方程f(x)= 0有两个相等的实根，即x2 + x + c= 0有两个相等的实根，= 1 214c = 0，即 c =4即 13x y 16 0.所求切线的方程是13x y - 16 0.规律方法 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利

7、用导数公式和运算法则.n跟踪演练3已知函数f(x) sin x+ cos x，求曲线y f(x)在x 处的切线方程.4解f(x) (sin x + cos x)'(sin x)(-(cos x)'os x sin x,nnn cos si n 0.4 44n曲线y f(x)在 x一处的切线斜率为0.4所求切线方程为y 一 ；2.解析 ty '3x1.导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具. .利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点.尹分层训练 全解疑割偏，训聲橙滴一、基础达标1 .下列结论不正确的是()A .若y = 3，贝U y '召B. 若

8、f(x) = 3x + 1，则 f(1) = 3 6x,曲线在点(1 , 1)处的切线斜率为一3.二切线方程为y =-3x + 2.3 .已知f'(1) = 13，则函数g(x) = f(x) + x在x= 1处的导数为,答案 14解析 g '(x) = f '(x) + 1 , (1) = f'(1) + 1 = 14.4 .过原点作曲线y= ex的切线，则切点坐标为 .答案(1, e)解析©)'毛x.设切点坐标为(xo, exo),则过该切点的切线斜率为ex0，令二exo 0e x0.即 xo exo = e x00 xo 00'x

9、o= 1. 切点坐标为(1, e).C. 若 y = Jx + x,则 y '= / P 12jxD .若 y = sin x + cos x，贝U y '=os x + sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D项，ty = sin x + cos x,'y '=sin x)'+cos x) '=os x sin x.2 .函数y = x (2x 1)2的导数是()A. 3 4x B. 3 + 4xC. 5+ 8x D . 5 8x答案 D解析 y = x (4x2 4x+ 1) = 4x2+ 5x 1 ,y '

10、=-8x + 5.3.曲线f(x)=x3 + x 2在Po点处的切线平行于直线y= 4x 1，则Po点的坐标为()A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(一1 , 4)D . (2,8)和(一1 , 4)答案 C解析f(X0)= 3x0+ 1 = 4 ,；X0 =±1.4 .曲线f(x) = x2 + bx + c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx + y + c= 0间的距离是()答案 C解析因为曲线过点(1,2), 所以b + c = 1,又 f'(1) 2 + b，由题意得 2 + b = b ,'b 1, c 2.所以所求的切线方程为y 2 x

11、1 ,即 x y + 1 0 ,故两平行直线x y + 1 0和x y 2 0的距离为5 过点P( 1,2)且与曲线f(x) 3x2 4x+ 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是答案 2x y + 4 0解析 易求 f'(x) 6x 4, f(1) 2.所求直线的斜率k 2.则直线方程为y 2 2(x+ 1),即 2x y+ 4 0.6 某物体做直线运动，其运动规律是3s t2 + ；(t的单位是s, s的单位是 m),则它在第4s末的瞬时速度应该为13答案7材毗3解析st-石,3 13v 二 s 二8 -材二 7石(m/s)7 .已知函数 f(x) = 2x+ x2-x，求 f

12、'(1), f'(4).解f'(x)= (2x+ x2 - x)'x)' +x2)'-=2xln 2 + 2x 1 ,f =2ln 2 + 1 ,f(4) = 24 In 2 + 2 X4 1 = 16ln 2 + 7.、能力提升8 .函数y =2x2-x x+ 3 . x 2；1的导数为(B.1A. 3 + 二 + 1 x2Cjx3 -二 +1x2答案D解析yx + 3=9' <3 1T-39-1-212丄1 一寿)*工乂9 .设函数f(x) = g(x) + x2，曲线y = g(x)在点(1 , g(1)处的切线方程为y =

13、2x+1，则曲线y= f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为()1 1A. 4 B.一 C. 2 D .-一答案 A 解析 依题意得f '(X)= g '(x) + 2x, f (1) = g(1) + 2 二 4.10 .(2013 江西设函数 f(x)在(0,+x)内可导，且 f(ex) = x+ ex，则 f(1) =答案2解析 令t = ex，则x= In t，所以函数为f(t) = In t +1，即f(x) = In x + x，所以11f'(x) = + 1，即 f (1) = + 1 = 2.x111.已知抛物线y = ax2 + bx + c过点(

14、1,1)，且在点(2，- 1)处与直线y = x 3 相切，求a、b、c的值.解因为 y = ax2 + bx + c 过点(1,1)，所以 a + b + c = 1.y( =2ax + b，曲线在点(2， 1)处的切线的斜率为4a + b = 1.又曲线过点(2， 1)，所以 4a + 2b + c = 1.a+ b + c= 1，由 4a + b = 1，4a + 2b + c = 1，a = 3，解得b二11，所以a、b、c的值分别为3、一 11、9.ax 612 已知函数f(x)= 的图像在点M(1 , f(- 1)处的切线方程为x + 2y +xZ_2=_ _ + b 22 由得a

15、 = 2 , b = 3 ,2x 6 函数f(x)的解析式为f(x)=二 .x + 3三、探究与创新b13 .设函数f(x) = ax 一，曲线y= f(x)在点(2 , f(2)处的切线方程为 7x 4y x12 = 0.(1)求f(x)的解析式；证明：曲线y = f(x)上任一点处的切线与直线x = 0和直线y= x所围成的三角 形的面积为定值，并求此定值.7(1)解 由 7x 4y 12 = 0 得 y = _x 3. + b5 = 0.求函数y= f(x)的解析式.解由 M ( 1, f( 1)在 x + 2y + 5 = 0 上得1 + 2f( 1) + 5 = 0，即 f( 1)

16、= 2.2，a又f'Wx2 + b 2x ax 6x2 + b 21由 f V 1) = -2 得a 1 + b + 2 a 611f（2）=2，b又 f'(x)= a + 爲,2'由，得a+4=a = 1解之得b = 33故 f(x) = x _.x证明 设P（xo，yo）为曲线上任一点,3由y （羊+一2知x2曲线在点P（xo，yo）处的切线方程为3yyo = 1 + 疥(xxo)，33即 y xo = 1 + (x xo). xox66 6令x = 0得y=,从而得切线与直线x = 0的交点坐标为0，.XOX0令y = x得y= x= 2X0，从而得切线与直线 y= x的交点坐标为(2xo,2xo).1 6所以点P(xo ,yo)处的切线与直线x二0,y二x所围成的三角形面积为；一一2X0=6.故曲线y = f(x)上任一