【精选】数理统计习题-精心整理

1、1.1 在数理统计中，我们把所研究的对象全体组成的集合称为 组成总体的每个元素称为个体。总体(或母体)，而把1. 2 设随机样本( X1,X2/- ,Xn)来自总体为正态分布2N (巴CT )，则样本(Xi,X2,，Xn )的联合分布函数为* 2 - 1F (X1,X2,，Xn) =(2g ) 2 exp(人卩)。 2b y1.3 若对一批N件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。分别以0, 1表示某件产品为次品和合格品，0(0 <9 <1)表示产品的合格率，贝y总体X服从参数为&的0 1分布，即P(X =x)=£x(1-£)1：x = 0,1

2、。所以样本(Xi,X2,，Xn )的联合分布律数为nP(Xr = Xy X2 = X2,，X n = Xn ) =2 0 Xi (1 -Q)1：，Xj = 0,1.i=1221.4 设随机样本X1, X2,X3来自总体为正态分布N(巴b )，其中巴b是未知参111数，贝y -(Xr +X2 +X3) +卩,-(Xr +X2)-卩和一(Xr +X2 +X3)都不是统计量，32CT因为它们都含有未知参数， 而1(X4 +X2 +x3)，丄(X； +X22 +X32)和Xj +X2 -x332都是统计量。221.5设随机样本X1,X2,X3来自总体为正态分布 N(4严)，其中4已知，b是未111知

3、参数，贝y -(X1 +X2+X3)+卩, -(X1 +X2)-4 -(x1 +X2 + X3)和3231 2 2 2 1-(X12 +X2 +X3 )都是统计量，而 丄(X1 +X2 + X3)不都是统计量。2b1 6设Xi,X2,，Xn是来自总体X的一个样本，则称统计量Sn21 n=-Z (Xi -X)2n i rn分别为样本的均值和样本方差；统计量努力1 n1 n_Ak =-送 Xik ,(Xi -X)kn i 4n i 4分别为样本k阶原点矩和k阶中心矩。显然，A =X， B2 =Sn 。21. 7设（X1,X2,，Xn）是来自正态总体 N（巴b ）的一个样本，统计量是样本的任意一个确

4、定线性函数U =a1X1 +42X2 + + anXn,则统计量U= a1X<Ha2X- +anXn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为nE(U) =4(a1 七2 中+an) =吃 ai ,+D(U) =cr2(a12n+ a22 +an2) =b22 ai2。7特别地，取a1 =a2二=an =1，则统计量nU是样本的均值 X，有下面的推论。1.8设（X1,X2 ,Xn）是来自正态总体2N （巴CT ）的一个样本，则样本的均值2_c(2XN（巴一）。n1.9设（Xi,X2,X25 ）是来自正态总体N（2,5）的一个样本，求统计量X的密度函数。解由推论知X N(2,25)=

5、N(2,1),则X的密度函数为1fXX2，X25)=荷 ex p-；(X-2)2。1. 10 设2(X1,X2/- ,Xn)是来自正态总体 N(巴b)的一个样本，且 卩是已知常数，求统计量的分布。解作变换Yi=1,2,n，c则丫1,丫2,，Yn相互独立，且同服从N(0,1)分布，所以 3)2*c i i ci2服从工分布。从而统计量T的密度函数为1.111如果 F F(m,n)，则一 F(n,m)。F2 2 2 2-/ (1), Y / (n), X与丫独立，则 F =T ,即 F(1,n)与t (n)相同。1.122设(X1,X2 " , Xn)是来自正态总体 N(A,b )的一个

6、样本,Xi，则 UN(0,1)。b/J n2证明因为X1,X2，Xn相互独立，与总体服从同一分布 N(4尸)，即Xi N(巴b2)，由正态分布的加性定理知X =丄£ Xi服从正态分布。又因为n irnE(X)1 n 1 n= E 2 Xi = S E(Xi) =4， n i#DwnXiD(Xi)旦n i#n所以2O'X N(A,)。n再由正态分布的性质知X 4UN (0,1)。b/J n21.13设（X1,X2，,Xn ）是来自正态总体N（巴CT ）的一个样本，则1 npS (Xi -P)匚二N (0,1),由定理2. 10知，"S /CT / J"CT(

7、n)。CT y2证明 因为X1,X2/- ,Xn相互独立，与总体服从同一分布N（巴b ），即2X _iXi N（A,b ），于是仝N（0,1）,（i =1,2，n）。再由72的定义，则 c1 n1 (Xi -卩)2 /2(n)。21 . 14设（Xi,X2，Xn）是来自正态总体 N（4,b ）的一个样本,T= X-4t( n-1)。证明由定理2.2知，小n-1),且Sn/J n 1X显与nSn22-相互独立。c2由t分布的定义，则1. 15nS：="" 2 t(n-1)。b/Vn V(nT)b22设（X1,X2，Xm ）是来自正态总体N（气尸1 ）的一个样本，2（丫1,丫2

8、,Yn ）是来自正态总体N（42尸2 ）的一个样本，且X1,X2，,Xm和2,Y1,丫2,，Yn相互独立，则（厂丫）"上）N（o,i）。2证明因为（Xi,X2,"，Xm）是来自正态总体N（卩1,6 ）的一个样本，2CT2（丫1,丫2,，丫n ）是来自正态总体N（42尸2 ）的一个样本，所以X N（4i,），m2,2W 2Y N（A2,）。又因为Xi，X2，Xm和丫，丫2,，Yn相互独立，再由正态分布的可加n性定理知X -Y N岸1 -巴，巴m从而(X Y)aP2)N(0,i)。1. 162设（Xi,X2 " ,Xm）是来自正态总体N（4i,b ）的一个样本，2（丫

9、1,丫2,，丫n）是来自正态总体N（卩2,b ）的一个样本，且Xi,X2，,Xm和Y1,丫2,，丫n相互独立，则T =(X :丫(Pi-ipng+n-2)t(m + n - 2)。JmSi2 +nS；2 1 m 2 1 m其中 Si =Z (Xi -X)，X =S Xi ；m iimy2 I21S2 =- (Yi Y)，丫 = £ 丫。 n i:i证明 由定理2. 10知，nS22/2(n-1),又的加法定理可得Xi,X2，Xm和丫1,丫2,，Yn相互独立，由"gfs； z2(m+ n_2)。C2在定理2.12中，我们已证得(X Y)(4i-»2)n(0,1)。由

10、于X与Si2相互独立，Y与S22相互独立，所以（X -丫）岸1 -巴）与mS12 +nS；2C相互独立，再由t分布的定义知JmS +nS；（X 一丫）-（岀一卩2）jmn（m + n 一2）1.仃(X-Y)岸i -巴)I c2 c2忻+肓I22J mS +nS2,VFt(m + n2)。设（Xi,X2,，Xm）2是来自正态总体N（气f i ）的一个样本，2（Yi,Y2,Yn）是来自正态总体N（42尸2 ）的一个样本，且Xi,X2，Xm和Y1,丫2,，丫n相互独立，则L mS2 (n-1)b；F =nS； (m-1)时 F(m T, n -1)，其中Si2 =-£ (Xim ii-X)

11、2，X1 m 1 n _ _ 1=Z Xi ； s；=送(Y -Y)特别地，若bl，Y =-Z Y o m yF(m-1, n-1)。2=m(n - 1)S n(mT)S；证明由定理2. 10知，g，又和丫1, 丫2,，Yn相互独立，故啤nS22£6。再由F分布的定义知mS2F = mS2 (n - 1血,偲2nS； (m 1)时 "(m -1)62 (n - 1)折 F(1, n "1)。22.1设Xi,X2，Xn是总体X的样本，求X的数学期望卩和方差CT的矩估计解 E(X)=P, E(Xj=D(X) +E(X)2 =2 + y2.令1 n卩=-Z Xi,n i

12、d 1 nXi2,CT2 + P2 =丄£n y解得4和CT 2的矩估计量分别为2.2设总体X服从参数为-X)2-s2.nA的指数分布，即X的概率密度、Jke必,xa0, f(X；儿)=0, x<0.Xi, X2,，Xn是X的样本,求参数A的矩估计量.4=0-be '解 E(X) = xf(X； Qdx =f Zxedx =-= . 011 n1令 丄二丄送Xi,得参数几的矩估计量2 =丄AnyX2.3设总体XF(a,P),即X的概率密度f(X； a, P)科 par (Ot) e10，亠 P x>0,X <0.Xi,X2,Xn是X的样本，求参数a, P的矩

13、估计量.解 由 Xr(a,P)得，E(X)"P, E(X2)=a(a +1)P2.令解得参数a, P的矩估计量分别为 1 n opXin i 4la(a +1)p2 一送 X；I n y(n -1)SnX2.4设总体X在区间a,b上服从均匀分布，Xi,X2,Xn是总体X的样本,求参数a,b的矩估计量.解因为总体X的概率密度1丄f (x;a,b) = lb -ai 0,a < X < b,其它.1 O1OO所以 E(X) = (a +b), E(X2)= (a2 +ab+ b2).令2 311 n-(a+b) = S Xi,2n i壬卩(a2 +ab + b2 A1Z Xi

14、2.解得参数a,b的估计量分别为? = 乂一件处,t?=X+聲心.若要估计该均匀分布的长度b -a，则可取 |?一0?=卫S.2.5设总体X的分布律为px “仝2，Px=2=29(1-0)，Px=3 = (1-日)2，其中日为未知参数.现抽得一个样本x1 =1,x2, x3 =1 ,求日的矩估计值.解 E(X)二仔护+2咒2打1-日)+ 3X(1-巧2 =3-2日,14X = (1+2+1)=,3 34 _5令E(X )= X，得3 -20 =,解得e的矩估计值为e =-.362.6设XN(4®2)，其中卩卫：0是未知参数，设Xi,X2，Xn是X的样本,求卩& 2的最大似然估

15、计量.解 设Xi,X2,，Xn是Xi,X2,，Xn的观测值，则似然函数n4_(X 屮)2nV &L=n=(2兀b2 戸e 2i壬v2花b取对数得解似然方程得lnL(2巧22一£(Xi-卩)222y2口2clnL 1 J ,1、 c=S (n -=0,I gln L n 1 +I 丙2 -1 n2 b222 (Xi-巴2 =0.1 n应2 =丄送(Xi -X)2 =n iT所以巴CT 2的最大似然估计量为T = X，B2 Ms2.n2.7求事件A的概率P的最大似然估计量.解 设P(A) = p.为了求p的矩估计量，必须把 P与表示总体的随机变量 X联系起来.设每次试验中事件出现

16、的次数为X，即J, A出现,10，A不出现.则 px =l = p , Px =0=1 - p ,这表明X b(1, P).设Xi,X2，Xn为X的样本，其观测值为Xi,X2，Xn,贝y P的似然函数为nnn1n臣xL =n pXi(i-p) - (1-p) ii 4对数似然函数为In L =仁 xi |lnli£丿n、p+inS Xi |ln(1 p).Iy 丿C I C I令=0,得似然方程0n ) 1 n -S Xi I=0,y丿1 P解得？ = !£ x .所以事件n yA发生的概率p的最大似然估计量为Xi =X 2.8设« =Xi,X2，Xn)是参数日估

17、计量,如果E(码存在,且E0)=日,则称？=Xi，X2,，Xn)为参数日的无偏估计量.女口果niE(心,则称§=(X1,X2 ,Xn)为参数日的渐近无偏估计量.2.9 设总体X的方差CT2 >0存在，X1,X2 "- ,Xn是总体X的样本，则样本方差s21 n=Z (Xi -X)2是b2的无偏估计量. n -1 ii证记，则 E (X1 n) = -Z E(Xi)= 4,于是 n i#E(Xi2 )-nE(X2 打送严22 卜n 卩2代2/n = c722.10 设Xi,X2,，Xn是总体XJI仏）的样本,证明对于任意常数X , S2, aX +（1 -a）S2都是参

18、数A的无偏估计量.证由于X 兀仏），因此由例1和例2可得E(X) = E(X) = A, E(S2) = D(X) = Z,E(aX +(1 -oQS2 )=aE(X) + (1-a)E(S2) =aA + (1-a)A = a2.11 设 e? =(X1,X2，Xn)与区= (X1,X2，Xn)都是参数Ct ,统计量日的无偏估D(闵)<D($),(3.10)2.12 设X1,X2，Xn是总体XN（卩，cr2）的样本（卩已知），记S2=n汕=(XY)2.n 1 i=i证明S2, s；都是b2的无偏估计量且 S2比s2有效.1 n证 由于总体XN（4,b2），因此 二送（Xi-A ） X&

19、quot; n）,从而b irn2 d 2E(S1TEJ.1 n122 (Xi -4)i#c2计量，如果2b4cr 42n =nnd4dn由专s；"（n1）,得E(S2)=厶 E (二" n -1) "2n12 丿 n-1D(S；)=±tD皆S；卜三n-1)=斗(n -1) b 丿(n -1)n-1所以S和S；都是b2的无偏估计量，由于，故S2比S；有效.2.13 设总体X的分布函数为F（x;T）, 0是未知参数，0忘0 , X1,X2,，Xn为的样本,如果给定的a（0 <a <1）,存在统计量0 = §（Xi,X2，川，Xn）和二

20、g(X1,X2,|,Xn),满足(3.14)e和e分别称为置信下限和置P0 <6 <e =1 -a则称随机区间（0, 0）是8的置信水平为1-a的置信区间,信上限，2.142.142.141 -a称为置信水平 或置信度，a称为显著性水平从一批零件中随机抽取2.10 2.13 2.15 2.132.10 2.13 2.11 2.14或误判风险.16个，测得长度（单位：cm ）为2.12 2.132.112.10 2.15 2.12设零件长度X N（巴0.012）,求总体均值4的置信水平为0.90的置信区间.= 0.01, a =1-0.90 =0.10即(2.121,2.129).查

21、表得Za2 =Z0.05 = 1.645 .再由样本得= 2.125,所以4的置信水平为0.90的置信区间为z J2125 ± 翌 X 1.645,丿I 尿 丿2.15对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验，测得最大飞行速度（单位：米/秒）为422.2 413.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 438.3 434.0412.3 431.5 413.5 441.3 423.0 428.2根据长期经验，可以认为最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度的期望值的置信水平为0.95的置信区间.解以X表示该飞机的最大飞行速度则XN（巴CT2）.由样本可得n=1

22、5, xJ 4=425.0, s215 i 41 Z(xX)2 =72.05, s = 8.49.151 y由 a =1 0.95 = 0.05,查表得 .2(n -1) = t0.025 (14) = 2.145,由于总体方差 cr2 未知, 因此4的置信水平为0.95的置信区间为f8 49、".。土尿心紳，即(420.3, 429.7).2.16在某班级中，随机抽取25名同学测量其身高，算得平均身高为170cm,标准差为 12cm.假设所测身高近似服从正态分布，求该班学生平均身高 4和身高标准差CT的0.95 置信区间.2解设身高X N（巴b ）,由题设得n = 25 , x =

23、170 , s=12 , 0.05 , t悝2(n 1) = ±0.025(24) = 2.06 ，2( n-1)=/ 0.025(24) =39.364,煮(n-1) = /0.975(24)=佗401.(1)4的0.95置信区间为sx±t症2 (n-1) 忙Vn丿=(170±隹2.06 ,即V725丿(165.06,174.94).(2)b2的0.95置信区间为(n -1)s2n T)(n - 1)s2_ (24x144(n-1)丿 139.364'24X144、I12.401 丿(87.80,278.69).0.95置信区间为(J87.80, J27

24、8.69 )止(9.37, 16.69).3.1在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽取6块，测量其抗断强度(单位：MPa)分别为3.366 3.106 3.264 3.287 3.122 3.205设砖的抗断强度X服从正态分布N(4, 0.112)，问能否认为这批砖的抗断强度是3.250M Pa?（显著性水平 a =0.01）解 本题是已知CT2 =0.112,检验假设Ho :卩=3.250, Hi : 4 H3.250.选取检验统计量U = X -攀0CT/Vn当H 0成立时，U N(0,1).该假设检验问题的拒绝域为|uX -3.250>Zz2.这里n =6, CT =0.11,由样本算

25、得X =3.225,统计量U的值为u225 一超50 256.由 a =0.01，查标准正态分布表得，Za，2 =Z0.005 = 2.575 ,显然 |u |= 0.56 < 2.575 ,所以接受原假设H0 ：卩=3.250,即可以认为这批砖的抗断强度为3.250Mpa.3.2在一批木材中随机抽取36根，测量其小头直径，算得平均值X = 14.2 cm.设木材的小头直径XN(卩,3.22),问该批木材的平均小头直径能否认为在14cm以上？(显著性水平a =0.05)解这是一个单边检验问题,检验假设H0 :卩 <14, H1 : >14.选取检验统计量，该假设检验问题的拒绝

26、域为x 14>.现在n = 36, b =3.2,X =14.2 ,因而U=0.375 .由a =0.05，查标准正态分32 J36布表得，Za = Z0.05= 1.645,所以 U= 0.375 <1.645,接受原假设H。：卜<14,即不能认为这批木材的小头直径在14cm以上.:"C）,设测量值3.3 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度（单位X N（巴b2）,现在重复测量7次,测得温度如下112.0113.4111.2112.0114.5112.9 113.6而温度的真值 =1126，试问用热敏电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？(a =0.05).解检

27、验假设Ho : 4 =1126, Hi : 4 H1126X _112 6选取统计量 t = k,当H。成立时t t（n -1）.该假设检验问题的拒绝域为s/vnx-112.6s，Jn由 a =0.05 , n =7 ,得 .2(n -1) =t0.025 ( 6 2.4469 .由样本算得 x =112.8 ,s =1.136,统计量t的值为t=d甞 0.4659,1.136" J7显然|t 1 = 0.4659 V 2.4469 ,从而在显著性水平a =0.05下，所以接受原假设Ho :卜=112.6,即可以认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统偏差3.4 某电子元件的寿命 （单

28、位：小时）XN（P,b2）, kb2均未知.现从这批电子元件中随机抽取16只，测得其寿命分别为159 280101212 224 379179 264485170问是否有理由认为这批电子元件的平均寿命大于解检验假设222 362168 250 149 260225小时？（显著性水平 a = 0.05）H0 : 4 <225,H1 : 4 >225.X 225选取统计量t=225，该假设检验问题的拒绝域为sVn斗 n-1).s/V n由 a =0.05 , n =16 ,查 t 分布表得 t/n -1) = to.o5(15) = 1.7 5 3 .1 由样本算得X =241.5,

29、s =98.726,统计量t的值为t® 225 =0.6685,98.726 J16所以t =0.6685 <1.7531,从而在显著性水平 a =0.05下，接受原假设Ho : 4 <225,即认为这批电子元件的平均寿命不大于225小时.3.5 设一台自动车床加工出来的零件的长度（单位 ：cm） X N（巴CT2）.原来的加工精度要求CT不超过0.18,在生产了一段时间之后，为检验该车床是否还保持原来的加工 精度，抽取该车床加工的31个零件，测得样本方差S2 =0.267，问根据这一数据能否认为该车床还保持原有的加工精度？（显著性水平a =0.05）解依题意要求检验假设

30、H0 :b2 <0.18, H1 P2 >0.182 n 12选取检验统计量/ =S,该假设检验问题的拒绝域为现在 n = 31, S2 =0.267，宀曙2 STa =0.05, 心n1)=70.05(30)= 43.773.由于n-131 1S2 =X 0.267 =44.5 >43.7730.18 0.18因此拒绝原假设H。： b2 < 0.18,即该车床工作一段时间后加工精度变坏了3.6已知某炼铁厂在生产正常情况下 ，铁水含碳量的均值为 7,方差为0.03.现在测量 10炉铁水，测得其平均含碳量为 6.97,方差为0.0375，假设铁水含碳量服从正态分布 ，试问

31、 该厂生产是否正常？（显著性水平 J =0.05）解 设铁水含碳量 X N（巴CT2）.该问题归结为检验假设寸=0.03与4 =7是否同时成立，这是两个双边检验问题（1 ）检验假设h01) : CT2 =0.03, H1：CT2 工 0.03,O n 1 O选取检验统计量工=S ,当H 0成立时,0.03z2 工"n -1）.该假设检验问题的拒绝域为n-12-/2/八、0.03 s "“(nj)或n 1 S2 > 乂：.2(n -1).0.03 a2')由a =0.05, n =10,查/2分布表得2-2( n- 1) = /為5(9) =19.023,n-1

32、) =0.975(92.7.而统计量/2的值为7290.030药y.0375 "1.25,显然有 Z"2"523,所n 1 2 s以接受原假设H01）：b2= 0.03,即认为铁水含碳量的方差为0.03.（2）检验假设h02)：卩=7,H1(2):卩幻.X 7选取统计量 U =,当H 0成立时U N0,1）.该假设检验问题的拒绝域为b/Jn|u | =X -7cr/n由 a -O.05 得 =Z0.025 =1.96 .统计量 U 的值6.977"二硕血一0.5477.因为|u 1=0.5477 <1.96,所以接受原假设 H2：卩=7,即认为铁水

33、含碳量的均值为7.综合（1）和（2）,可以认为该炼铁厂生产正常4.1对于单因素方差分析，总平方和St可以分解为两个平方和，即ST = SA+ SE，s n iss rij其中Sa匹S (yy)2 ni(yy)2，Se辽送 厲Vj2。我们通常称y为总i 4 j 4i 1i 4 j平均，yi为第i个水平的组内平均，St为总（离差）平方和，Sa为组间（离差）平方和或（效应平方和），SE为组内（离差）平方和 或（误差平方和）。4.2对于单因素方差分析，当H0：气=»2二=巴成立时,F =唾F(s-1, n-s)，MSeS其中s-1是Sa的自由度，n-s是Se的自由度。MSa= afATi2

34、T：，nS1s nis T2MSe =S=£2 yij2 -2丄，fE n Syj吕i=1ni若f=MS4>f（s-1, n-s），则在水平 a下拒绝H。，否则接受 H。 mse通常取a =0.05，当F > F0.05（s -1, n -s），则认为各水平之间有显著的差异，在方差分析表相应栏中标记“*”；取a =0.01，当F > F0.01（S1, n S）,则认为各水平之间有高度显著的差方差来 源平方和自由度均方F值Fee值显著 性组间ASas -1SAMSa =:s -1MSaMSeFot(s T, n-s)组内ESen-sMSe =-S n-s总和St =

35、Sa +Sen 1异，在方差分析表相应栏中标记“* ”。单因素方差分析表4.3考察温度对某种纸浆得率的影响。选取5种不同的温度进行试验，测得结果如表纸浆得率温度(C)6065707580得率90979684849293968386889293828994问不同温度对纸浆得率影响是否显著？若是，哪个温度得率最高？解 影响指标的因素只有一个，即温度，每种温度为因素的一个水平，是一个 水平的试验，试验的目的是确定5种温度对纸浆得率影响是否显著。方差分析表方差来源平方和自由度均方F值F值 厂a值显著性组间A331.6875482.9224.60F0.05 =3.36F0.01 =5.67*组内E37.

36、25113.37总和368.937515表6.5中F分布的自由度为(4,11)，而a取值0.05, 0.01的临界值分别是3.36和St进行分解5.67。因为24.60>5.67，所以因素 A高度显著，即由于温度不同，引起得率差异很大。4.4对于无交互效应的双因素方差分析问题，我们将离差总平方和St = SA + SB + SE。s _其中Sa =tS (y-y)2，是因素A的离差总平方和，反映了因素A的不同水平对指标值i ztt _的影响；SB = s(y-y)2是因素B的离差总平方和，反映了因素B的不同水平对指标j ¥st_值的影响;Se = 2 2： (yij yi.y看

37、+y)2是误差平方和，反映了误差的随机波动。i # U4.5对于无交互效应的双因素方差分析问题，当H 01 :S =2=叫为真时，01 -Sa /(S 1)FA 飞/(s1)(t1)_Sa=Se /(t-1)F(s-1,(s 1)(t1);当 H 02 : Pl = % = = Pt 为真时，Fb =Sb于是，当给定水平Fa =Se/(s1)(t1)a，若有SE/gWdZ)。(t1)Sa >Fa(s 1,(s 1)(t1)，Se则拒绝H01，认为因素A对指标值有显著的影响；当给定水平a ,若有Fb =(s-1)SbSe-Fa(S -1，© -"(t -1),则拒绝H02，认为因素B对指标值有显著的影响。无交互效应的双