第六章定积分的应用资料

1、第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问 题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运 用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。-、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算 基本技巧；使学生用所学的 定积分的微元法 （元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作 功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法1课时第二节定积分在几何学上的应用3课时第三节定积分在物

2、理学上的应用2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式 解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法四、本章教学内容的深化和拓宽：指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。五、本章的思考题和习题：第二节 279页习题 62 2，（ 1）、（3）； 3，4，5，11，12，19，25，28。 第三节 287页习题631，3，4，5，11。第一节定积分的元素法、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义b面积 A = lim ' f ( i)=xif (x)dx面积元素dA= f (x)dx2、计算面积的元素法步骤：

3、（1）画出图形；（2）将这个图形分割成 n个部分，这n个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问 题的步骤。第二节定积分在几何学上的应用、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一一b面积元素 dA = 2 (x)仝 1 (x)dx，面积 A = '：2( x)(x) d x第一步：在D边界方程中解出y的两个表达式y = 1(x) , y = 2(x). 第二步：在剩下的边界方程中找出x的两个常数值x=a , x二b ;不够时由“(X)Y：2

4、(x)解出，ba Ex 兰b , %(x)兰 y 兰申2&)，面积 S = ®2(x) ®1(x) dx2面积元素 dA = 2(y) j：1(y)dy, 第一步：在 D边界方程中解出x V：2(y).第二步：在剩下的边界方程中找出 y = d ;不够时由“(y)二2(y)解出,dC 碎2(y)巒(y)dy的两个表达式x = 1( y),面积A =y的两个常数值yc _ y _d ,(y) _ x _ 2(y)，面积 S =df 毋2(y)巒(y)dyc例1求y =x=x2 -2=2x 1-2 , y =2x 1围成的面积x2 -2 =2x 1， x = 1，x =

5、3。当1：x：:3 时 x22：:2x 1，于31面积二(2x1)(x2 -2)dx =(x2 -x33+3x) 3i=10-3例2计算y2 =2x, y =x -4围成的面积解 由 x =0.5y2 , x = y 亠4 得，y - -2, y = 4，当 一2 ： y ： 4 时 0.5y2 ： y 亠 44面积=.y ' 4 -0.5y2dy =18。2、在曲边梯形 y =f (x)、 y =0、 x =a、( f (x) _0,a : b)中，如果曲边 y = f (x) x =(t) y =©(t)'''(t) ;:'(t)dt，其中

6、 a 二 C ),b 二 C)的方程为参数方程为J则其面积A二bydx =Lax -a(t sin t) , o兰上兰2兀围成的面积 y =a(1 cost)2 2a(1 -cost)dt = a_2cost 1；s2t)dta2(-t -2si n 1 cO2t)2 一0 =3a22aco53t(a 0)围成的面积. =asin t例4星形线*lya0解 面积=ydx=4a2 辰sin3t(3co孑t)(-sint)dt2 i=12a 0可sin4t-sin6t)dt=a383、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线C)围成的面积的计算方法：解不等式 “1)_0，得到、；“：c ： |.-

7、。面积=-J(p2dd-2 h4、平行截面面积为已知的空间物体的体积过x轴一点x作垂直于x轴的平面，该平面截空间物体的b截面面积为A(x)，a乞x乞b,则该物体的体积 7 = j A(x)dx例1 一空间物体的底面是长半轴a =10，短半轴b=5的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。1 x2解 截面面积 A(x)2y.3y=：3 25(1)2 1002,10L 10x2100 LVoA(x)dx =25、.3 卫。一而)dx 二 3 J5、旋转体体积在a,b上 f(x)亠0 ，曲线y = f(x)、直线x = a,x =b,y = 0围成的曲边梯形1) 绕x轴旋转一周形成

8、旋转体，其截面面积A(x)=艄2(x)， 旋转体体积V = : : f 2(x)dx。2) 绕y轴旋转一周形成旋转体：位于区间x,x+dx上的部分绕y轴旋转2 2'V <-?.(x dx) f (x) TJX f (x) ： 2xf(x)dx，原曲边梯形绕y轴旋转一周形成的旋转体体积V =2兀f xf(x)dx。例 2 摆线；x=a(tsint)y =a(1 -cost)(0乞t冬2二)与x轴围成的图形成的旋转体体积1)绕x轴旋转形成的旋转体体积2a 2y dxa3(1cost)3dt2 :2322(13cost、3cos t cos t)dt = 5二 a2)绕y轴旋转形成的旋

9、转体体积2：ax，ydx =2兀2" a3 (t -sin t)(1 cost)2dt= 2ife3广 t(1 -cost)2dt (sint，(1 -cost)2dt =6兀3a2 23) 绕y =2a旋转形成的旋转体的截面面积二(2a) -(2a -y) =：y(4a - y)。绕y =2a旋转形成的旋转体体积2 卫2 二 3Vy(4a -y)dxa (1 -cost)(3 亠cost)(1 -cost)dt= :na3 f 应(3 -5cost +cos2t +cos3t)dt = 7jT2a3例3求心形线 =4(1 cos )与射线巒=0、巒二煎/2围成的绕极轴旋转形成的旋转

10、体体积解 心形线的参数方程为x = 4(co cos2 :)， y =4sin(1 cos )，旋转体体积V =二抵=-64二.：2sin2 (1 cos ;：)2 sin ;：(1 2cos )d ：=160二&平面曲线的弧长曲线方程自变量的范围弧微分 ds =、:dx2 +dy2b弧长s = ds显函数y = f(x)a Ex Wbds=$1 +f'lx)dxb .2s =寸1 + f' (x)dx参数方程/ =x(t) y =y(t)a <t < P厂 2-一 2ds=#x' (t)+y' (t)dtP i 22s = Jx'2

11、(t)+y'2(t)dt a极坐标r =ra <0 < PJ 22ds =右 +r' d 日s =V r2 +r' d日表中 当 r =r(j)时, x=rc O s, y=rsin,x'二r'a)cosj _r(7i)sin,y' = r'(v)sin v Ocosv , 弧微分 ds = x'2 y'2d v - r2 r'2。例1求摆线x"(t-sint)(0 亦沽)(a0)的长y =a(1 -cost)j 222t2 二二 8ao解 dx =a(1 _cost)dt , dy =asi

12、ntdt，ds = dx dy = a (1 _2cost 1)dt = 2a sindt。弧长 s =2a 沢 sin =dt = -4acos-2 2X =a(t -sint)上求分摆线第一拱成1 : 3的点的坐标 =a(1 -cost)由条件弧设A点满足要求，此时OA的长为2a，即2at = c。根据例2摆线第一拱成弧长8a， ds = 2a sin - dt。23、a，2a)ct2_2-sin dt =2a,c ，点A的坐标为(-0233、f求星形线3 x2 3 y2 = 3 a2的全长3.x =acos t3 ,0 兰tS , y =asin t2 2dx = -3a cos tsi

13、n tdt, dy =3a costs in tdt，星形线的参数方程为ds =3aVcos4tsin2t +cos2tsin4t dt=3a|sint cost |dt.弧长 s =4 j 3asintcostdt =6a sin2t|2 =6a。例4求对数螺线 匸=e2 '上=0到的一段弧长解P=2e2tp，弧长s = r“订只沙=娱2帥=¥曲-1)二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积第三节定积分在物理学中的应用O a x x+dx b x、内容要点1、变力沿直线

14、运动所做的功如左图，设dx很小，物体在变力F(x)的作用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为F(x)dx， 从点a移动到点b,在变力F(x)所做的功w= b F (x)dx例1 一物体按规律x=ct2直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 x =0运动到X = a时，克服力所做的功。dx解 位于x处时物体运动的速度 dx 2c2cdtcO x x+dx a x2 ： cx，所受x的阻力F =k4cx =4ckx。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素 dw=4ckxdx。物体从0运a动到a时，克服力所做的功 w 4kcxdx =2a2kc。例2 一个圆拄形水池，底面半径5米，水深

15、10米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度"=1）解 如图，将位于x处、厚度为dx的薄层水抽出来，其质量密度 体积二T - 52dx =25二Sx ,当薄层水的厚度dx很小时，所做的 功元素dw=25二：xdx。要把池中的水全部抽出来，所做的功10x2w02gxdx=25讥 2io=125 汉 9.8 汇 3.14 P = 38465 P(kJ)o例3 一条均匀的链条长28m，质量20kg，悬挂于某建筑物顶部，需做多 少功才能把它全部拉上建筑物顶部解 如图，将位于x处、长度为dx的一小段拉到顶部，其质量为空dx=?dx，L287XT285 228xdx = ；x2o

16、 =280（kJ）一55所做的功元素dwxdx。全部拉上建筑物顶部所做的功w二一77 “2、液体的压力例4 一块矩形木板长10米，宽5米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度=1）解 如图，木板在x处所受的压强为x ?。位于x处、长为5米、宽为dx米的小矩形受到的压力元素dF =x5dx=5xdx （吨）。整块木板一侧受到的压10x2力 F 5xdx =5 -020° =250 (吨)。O a x dx b x3、引力例5如图一质量为m的质点位于原点，一根密度为、长为l的均匀细棒区间a,a - l 上，求细棒对质点的引力解 位于x处、长为dx的小段，其质量为：:dx，对质点的引力元素dFm ：dx2xa 十11细棒对质点的引力Fa -_rdx:：m（-_-）k ；-mla(a l)例6设星形线x =acoS4，y =asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的 距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。解