抛物线压轴题答案

1、综合题答案1 .如图，平面直角坐标系中，直线 l分别交x轴、y轴于A、B两点(OAVOB)且OA、OB的长分别是一元二X | x/? 1 |x a/J = 0次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，且 AB: AC=1 : 2(1)求A、C两点的坐标；(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 CB运动，连接AM ,设4ABM的面积为S,点M的运动 时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.1答案：分析：11)通过解一程蜡(0 +1

2、)乂+4 =o,求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标1再根据两点之间的距离公式可求AB的长,根据A3 : AC=1 ： 2,可求AC的长，从而得到C点的坐标；(2 )分当点M在CB边上时；当点M在CB边的延长线上时：两种情况讨论可求S关于t的 函数关系式；(3 )分AQ=AB,BQ二BA r BQ=QA三种情况讨论可求涌的坐标.解笞；解：(1 )x2(旧讨”+4=0,(x-j3 ) (x-1) =0,解得X。，起=1 ,1/OA 0B,/.OA=1 f OB=，/.A ( 1 r 0 ) f B ( 0 , fa AB=2,Wo叉箜%：AC=1 ： 2 ,/.AC =4 ,aC (-3,

3、0)；的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为(-2,0),与y轴交于点C (0,(2)直接写出点B的坐标为2 .如图，二次函数 y=ax 2+x+c3).(1)求出这个二次函数的解析式；Word资料(3)在x轴是否存在一点 P,使3CP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形 ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积而大值；若不存在，请说明理由. I解答 :解：(1) .y=ax 2+x+c 的图象经过 A (-2, 0), C (0, 3),2 . .c=3 , a=- 4, 2，所求解析式为：y=

4、-x2+x+3 ；(2) (6, 0);(3)在 RtAAOC 中，.AO=2 , OC=3 ,.AC=当PiA=AC 时(Pi在x轴的负半轴)，Pi (-2-月，0);当P2A=AC 时(P2在x轴的正半轴)，P2 (f-2, 0);当P3C=AC 时(P3在x轴的正半轴)，P3 (2, 0);当P4C=P 4A时(P4在x轴的正半轴)，在 Rt44OC 中，设 P4O=x ,则(x+2 ) 2=x 2+3 2g解得：x= 4 ,5，P4 (4, 0)；J(4)解：如图，设 Q点坐标为(x, y),因为点Q在y=-1x2+x+3上,J即：Q点坐标为(x, -4x2+x+3 ),连接 OQ ,

5、 S 四边形 ABQC =S ZAOC +S ZOQC +S ZOBQ3 J=3+ ?x+3 (- .如图(1)，抛物线丁 -2+后与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0, -3).图(2)、 图(3)为解答备用图(1)左三I ，点A的坐标为，点B的坐标为；(2)设抛物线J=9-21 +上的顶点为m,求四边形ABMC的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由；(4)在抛物线+1t上求点q使4BCQ是以BC为直角边的直角三角形.x2+x+3 )33=-，2+ 2*+12 ,.a0,-7575，S四边形ABQC

6、最大值=4, Q点坐标为(3,41)。Word资料(1)解答：解：(i)比二-3,A (-1 , 0),B (3, 0).(2)如图(1),抛物线的顶点为 M (1, -4),连结OM .331则 OC的面积=2 , MOC的面积=2 ,加OB的面积=6 ,四边形ABMC的面积=MOC的面积+ MOC的面积+ ZMOB的面积=9 .说明：也可过点 M作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和.（3）如图（2）,设D （m ,毋-2加-3）,连结OD .图3）图（4）?ft!则 0m3,冽-2冽-3 0.33一一掰且 MOC的面积=2 , zDOC的面积

7、=2|T| 一 -8OB的面积=-2 （那一 2洲-3）,四边形ABDC的面积=AAOC的面积+ 9OC的面积+ EOB的面积（之，存在点D 2754 1514 ,使四边形ABDC的面积最大为8 .（4）有两种情况:如图(3),过点B作BQiXBC,交抛物线于点 Qi、交y轴于点E,连接QCv /CBO=45 ,zEBO=45 , BO=OE=3.点E的坐标为(0,3). 直线BE的解析式为y=y + 3 .(y = -x + 3,=-2, 0 =3,y -2l 3 解得 Ji = ) ，乃=0:点Qi的坐标为(-2 , 5).如图14 (4),过点C作CF, CB,交抛物线于点 Q2、交x轴

8、于点F,连接BQ2.v ZCBO=45 , zCFB=45 , OF=OC=3 .点F的坐标为(-3 , 0). 直线cf的解析式为J = -x-3.y = -X-3,公=0, =Ly = 2工3 解得 / =-3； j? =4. ，点Q2的坐标为(1, -4).综上，在抛物线上存在点 Qi (-2, 5)、Q2 (1, -4),使zBCQi、纽CQ2是以BC为直角边的直角三角形.说明：如图14 (4),点Q2即抛物线顶点M,直接证明4BCM为直角三角形4 .如图1 ,在4ABC中，AB=BC , P为AB边上一点，连接 CP,以PA、PC为邻边作？ APCD , AC与PD相交于点 E,已知

9、 / ABC= ZAEP= a (Q a 90 ).(1 )求证：/ EAP= /EPA;(2) ? APCD是否为矩形？请说明理由；(3)如图2, F为BC中点，连接FP,将/AEP绕点E顺时针旋转适当的角度， 得到/MEN (点M、N分别是/ MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.D CD C图1图2考点：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定。专题：证明题；探究型。分析：(1)根据AB=BC可证/CAB= ZACB,则在4ABC与祥EP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理,即可证得；(2)由(

10、1)知/EPA=/EAP,则AC=DP ,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；(3)可以证明 EAMzEPN,从而得到 EM=EN解答：（1）证明：在4ABC和9EP中,. ,BC= ZAEP, ZBAC= ZEAP,，CB= /APE,在 ZABC 中，AB=BC ,，CB= ZBAC,ZEPA= ZEAP.(2)解：? APCD是矩形.理由如下: .四边形APCD是平行四边形， .AC=2EA , PD=2EP , 由(1)知/EPA= ZEAP,.EA=EP ,贝U AC=PD , .? APCD是矩形.(3)解：EM=EN .证明:EA=EP ,力人 180 - ZAEP 180

11、 - ZABC ”1ZEPA=90222 .ZEAM=180 - ZEPA=180 - ( 90 - - a) =90 +-a,22由(2)知/CPB=90 , F是BC的中点， .FP=FB ,ZFPB= ZABC= % .ZEPN= /EPA+/APN= /EPA+/FPB=90 -a+ a=90 +-a,22ZEAM= /EPN ,EP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到/ MEN ,EP= /MEN , .EP-/AEN= /MEN - ZAEN ,即/MEA= /NEP,在AEAM和EPN中，/EAM :/EPN，ZMEA=ZNEP,EA=EP.ZEAM zEPN (AAS ),.EM=

12、EN点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法， 在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键.5 .提出问题：如图，在正方形ABCD中，点P, F分别在边BC、AB上，若APLDF于点H,则AP=DF .类 比探究：(1)如图，在正方形 ABCD中，点P、F.、G分别在边BC、AB、AD上，若GPLDF于点H,探究线段 GP与 DF的数量关系，并说明理由；(2)如图，在正方形 ABCD中，点P、F、G分别在边 BC、AB、AD上，GPLDF于点H,将线段PG绕点P 逆时针旋转90得到线段PE,连结EF,若四边形DFEP为菱形，探究 DG和PC的数量关系，并说明

13、理由.【分析】(1 )如答图1 ,过点A作AM DF交BC于点M ,通过证明 BAM zADF得到其对应边相等： AM=DF则又由平行四边形的性质推知 AM=GP ,则GP=DF ;(2)如答图2,过点P作FN XAD与点N.根据菱形的性质、等腰三角形的土线合一 ”的性质推知DG=2DN ,然 后结合矩形DNPC的性质得至ij: DG=2PC .解答解：(1) GP=DF ,理由如下:如答图1 ,过点 A作AM，DF交BC于点M .四边形ABCD是正方形，. AD=AB , ZBT0,ZBAM= ZADF ,在ABAM与GADF中，rZB=ZDAF=90生 AB=DA,i ZBAM=ZADF.

14、ZBAM zADF (ASA),.AM=DF又四边形AMPG为平行四边形，. AM=GP ,即 GP=DF ;(2) DG=2PC .理由如下：如答图2,过点P作FN XAD与点N .若四边形DFEP为菱形，则 DP=DF , . DP=DF , .DP=GP ,即 DG=2DN . 四边形DNPC为矩形， .PC=DN ,.DG=2PC .答图16 .如图，抛物线y = x2 +bx+c与x轴交于A（1,0）,B（- 3 , 0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得4QAC的周长最小？若存在， 求出Q点的坐标;若不存在，

15、请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使4PBC的面积最大？，若存在，解答：将A（1 ,b = -2c = 3求出点P的坐标及 PBC的面积最大值.若没有，请说明理由一小 2 .“ 1 b A 00), B(-3, 0)代丫 = x +bx+c 中得 i-9-3b c = 0，抛物线解析式为：y二-x2 -2x 3（2）存在。 理由如下：由题知 A、B两点关于抛物线的对称轴 x = -1对称2直线BC与x =-1的交点即为Q点， 此时QC周长最小.）= x 2x + 3x - -1.C的坐标为：（0, 3）直线BC解析式为：y=x+3 Q点坐标即为i的解y = x

16、3x = -1.Q( 1,2)y =2(3)答：存在。理由如下:2设 P 八、(x, x 2x+3)( 3 x 0 ,，无论m为何值时方程x2 - 2mx+m 2 - 9=0总有两个不相等的实数根,抛物线y=x 2 - 2mx+m 2-9的开口向上，顶点在 x轴的下方，该抛物线与x轴总有两个交点.(2) ;抛物线 y=x 2 - 2mx+m 2 - 9 与 y 轴交点坐标为(0, -5),-5=m 2 - 9 .解得：m=受.当 m= - 2, y=0 时，x2+4x - 5=0 解得：xi = 5, x2=1 ,抛物线y=x 2-2mx+m 2-9与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧，且

17、OAvOB),，m= -2不符合题意，舍去.，m=2 .，抛物线的解析式为y=x 2 - 4x - 5 ;(3)如图2,假设E点存在，; MC EM , CD MC ,.ZEMP= ZPCD=90 ,ZMEP+ /MPE=90.PEXPD,ZEPD=90 ,ZMPE+ /DPC=90 。. ./MEP= /CPD .在AEMP和APCD中，ZEMP=ZPCD,NMEP=/CPD, .ZEPMzPDC (AAS). .1.PM=DC , EM=PCL PE 二 PD设 C(X0, y0),贝U D (4 X0, yo) , P (x0, y0 ).4 2x0 - 4= - -y0 . 4. 点

18、C 在抛物线 y=x24x 5 上；，y0 f024x05 .2x0 - 4=(X02 4x05).4解得：x0i=1 , x02=11 (舍去)，.P (1, - 2). .1.PC=6 .，ME=PC=6 .，E (7, 0).8 .如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x 2+bx+c交x轴于另一点C,点D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点，(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交x轴于点H,交 直线AB于点F,作PGXAB于点G.求出4PFG的周长最大值；(3)在抛物线y=ax

19、2+bx+c上是否存在除点D以外的点M,使得4ABM与从BD的面积相等？若存在， 请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.解答：(1)直线AB: y = x+3与坐标轴交于 A (-3,0)、B (0,3)2 工 工0 = _93b + c代入抛物线解析式 y 二一x +bx + c 中 ，抛物线解析式为：y = -x2PF = m - 2m 3 - m - 3 二 im - 3m如FG 周长为：-m2 -3m+V2(-m2 -3m)=-(2 1)(m J - ABC是等边三角形，点 D是射线BC上的一个动点(点 D不与点B、C重合)，4ADE是以AD为边的 -2x 3(2)由题意可知 P

20、FG是等腰直角三角形,2设 P ( m,-m -2m +3)F(m, m+3)，用FG周长的最大值为:9( 2 。4(3)点M有三个位置，如图所示的 Mi、M2、M3,都能使4ABM的面积等于 ABD的面积.此日DM 1 / AB , M 3M 2 / AB ,且与AB距离相等,.D (-1 , 4),则 E (-1,2 )、则 N (-1,0 ),y=x+3 中，k=1 直线 DM 1 解析式为：y = x+5直线M 3M 2解析式为：y = x +19分 - x +5 = -x2 -2x +3 或 x +1 = -x2 -2x +3-317-3-17xi - -1, x2 - -2, x3

21、 = , x4 =22M 1(-2,3) 10分317 -1.17、 一分12分M2(-,-)1122M3(22等边三角形，过点 E作BC的平行线，分别交射线 AB、AC于点F、G ,连接BE .（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时.求证：AEBzXADC；探究四边形 BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由;（2）如图（b）所示，当点 D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立?（3）在（2）的情况下，当点 D运动到什么位置时，四边形 BCGE是菱形？并说明理由.解答 （1）证明：ZXABC和4ADE都是等边三角形, .AE = AD, AB = AC, 又 EAB=，EA

22、D - BAD. /EAB=/DAC ,. .AEBA ADCEAD =，BAC =601分,/DAC =/BAC - BAD ,3分图（a）.第25题图法一：由得 AAEBAADC , ./ABE =/C =60.又.2BAC=/C =60 ,. /ABE =2BAC ,.EB/GC. 5分又 EG / BC,四边形BCGE是平行四边形. 6分法二：证出AEG04ADB ,得 EG = AB = BC . 5分 由得 AAEBA ADC .得 BE =CG.四边形BCGE是平行四边形. 6分(2)都成立. 8分_ _ _1 _ _ _ _(3)当 田 (BD=2CD 或 CD= BD 或/C

23、AD=30 或/BAD=90 或/ADC=30 )时，四边形 BCGE 2A理由：法一：由得 AAEBA ADC , . BE =CD又. CD =CB,10分E图(b)第25题图.BE=CB. 由得四边形BCGE是平行四边形,，四边形BCGE是菱形. 12分法二：由得 AAEBA ADC ,.BE=CD. 9分 又四边形BCGE是菱形, .BE =CB11分. CD =CB. 12分 法三：四边形BCGE是平行四边形, .BE / CG, EG / BC , . 2FBE =/BAC =60, /F=/ABC=609分. NF =/FBE =60, .BEF是等边三角形. 10分又.AB=B

24、C,四边形BCGE是菱形，AB = BE = BF, . .AE FG11分，/EAG=30,. READ =60,. NCAD =30 .10 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=1x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA .（1）求点A的坐标和/ AOB的度数；（2）若将抛物线y= -x2+2x向右平移4个单位，再向下平移 2个单位，得到抛物线 m ,其顶点为点C.连接OC2和AC,把4AOC沿OA翻折得到四边形 ACOC 试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点 C是否在抛物线y=lx2+2x上，请说明理由；2（4）若点P为x轴上的一个动点，试探

25、究在抛物线m上是否存在点 Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且 OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解答1 1(1),由 y= 2x2+2x 得，y= 2 (x 2) 2 - 2 ,抛物线的顶点A的坐标为（-2, - 2）,1令 2x2+2x=0 ,解得 xi=0 , x2= 4,.，点B的坐标为（-4,0）,过点A作AD x轴，垂足为D , .zADO=90 ,.，点A的坐标为（-2, - 2）,点D的坐标为（-2, 0）, .OD=AD=2zAOB=45 ;(2)四边形ACOC为菱形.工由题意可知抛物线 m的二次项系数为2,且过顶点

26、C的坐标是(2,抛物线的解析式为：y= 2 (x - 2) 2 - 4,即y= 2x2 - 2x - 2,h,过点C作CEx轴，垂足为E;过点A作AFCE,垂足为F,与y轴交与点. OE=2 , CE=4 , AF=4 , CF=CE - EF=2 ,.OC= 70E2+EC2=722 + 42=2 气同理，AC=2 OC=AC ,由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC =AC ；故四边形ACOC为菱形.1(3)如图1,点C不在抛物线y= 2x2+2x上.理由如下：过点C彳乍CGx轴，垂足为G, .OC 和 OC 关于 OA 对称，ZAOB= zjAOH=45zCOH= /COG, . CE

27、 /OH ,zOCE= ZCOG ,又zCEOn ZCGO=90 , OC=OC ；：EO*GO, .OG=4 , CG=2 ,.，点C的坐标为(-4, 2),1把x= - 4代入抛物线y= 2x2+2x得y=0 ,_L.，点C不在抛物线y= 2x2+2x上；(4)存在符合条件的点 Q.点P为x轴上的一个动点，点 Q在抛物线m上,设Q (a,与(a-2) 2 4),.OC为该四边形的一条边，. OP为对角线，2 (a-2 ) 2442=0 ,解得 xi=6 , x2=4 ,P (6, 4)或(-2, 4)(舍去)，11.，点Q的坐标为(6,4).如图1,在4OAB中，/OAB=90 , /AO

28、B=30 .以OB为边，在 OAB外作等边 OBC , D是OB的中点，连接 AD并且延长交 OC于E.(1)求证：四边形 ABCE是平行四边形；(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,试探究线段 OG与AB的数量关系 并说明理由.cEl解答(1)证明：RtAB中,D为OB的中点,，DO=DA (直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半)，ZEAO= ZAOB=30 ,.RBC为等边三角形，3 XOB=60 ,又,. ZAOB=30 ,ZEOA=90 ,，EO=180 - ZEOA - ZEAO=180 - 90 - 30 =60 ,，EO= ZC,4 .BC /AE,5 ZBAO= ZCOA=90 ,6 .CO /AB, 四边形ABCE是平行四边形；(2)解：在 RtMBO 中， JDAB=90 , ZAOB=30 , .BO=2AB , OA= t/qB2 - AB2= AB ,设OG=x ,由折叠可得： AG=GC=2AB x,在 Rt 个AG 中,OG 2+OA 2=AG 2x2+ (aAB) 2= (2AB -x) 2,解得：x= AB ,即 OG= -