数学建模之微分方程建模与平衡点理论

1、微分方程列微分方程常用的方法：(1)根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来 建立微分方程模型。(2)微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是 对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。(3)模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使 有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建 立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解 的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现 象。、模型的建立与求解1.1 传染病模型(1)基础模型假设：t时刻病人人

2、数x(t)连续可微。每天每个病人有效接触(使病人治病的接触)的人数为，t 0时有5个病人。建模：t至Utt病人人数增加x(t t) x(t) x(t) t(1)dx x,x(0) x0(2)dt解得：x(t) x°e t(3)所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际(2) SI模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人 数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病人。依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数)建模：d

3、i/八N Nsi(4)dt由于s(t) i(t) 1(5)设t=0时刻病人所占的比例为i0 ,则可建立Logistic模型didti(1 i),i(0) i。(6)解得:i(t)1用Matlab绘制图1i(t)t ,图2didt阳I 51模剑# 1£前城1kt1- 1 ei0结论：在不考虑治愈情况下当i p吟达到最大值上，这时tm1In 一 1i0t时人类全被感染。未考虑治愈情况。(3) SIS模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人 数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。2 .每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病

4、人。3 .在所有病人中，每天有比例的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为-。依据：患病人数的变化率=Nsi(患病人数的变化率)Ni (治愈率)建模:di NdtNsi Ni(8)didti(1i) i,i(0) i0(9)令 为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数, 则有(10)di i i 1 - dt用Matlab绘制出 i (图3,图5)和it (图4,图6)。 dtBn < 阚3旭型的一 r的蛾g> i), .其中卑琏是> L - g的情而国石 口5 厘咆的曲我<"中：| )、结论:1为一个阈值1D 1, i(t)极限值i(

5、) 1 一为增函数，i(t)的增减性由i0的大小确止。D 1,病人比例i(t)越来越小，最终趋于0o(4) SIR模型(某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感 染)假设：总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者,r(t)。他们在总人数中所占的比例依次为s(t), i(t), 为病人的日接触率，仙为日治愈率,/为传染期接触数。建模：由假设1得s(t) i(t)r(t) 1(11)drN dtNi(令t=0时健康者与病人所占比例分别为So(So0), i。0),则有di出dsdtsi i,i(0) io(13)si,s(0)So利用 Matlab 绘制出 i(t) ,

6、s(t)(图 7),is (图 8)图形，is图形称为相轨线。第B i 5图拶(相轨级)相轨线分析：利用相轨线讨论解i(t), s(t)的性质。si平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(s, i) D为D s,i s0,i0,s i 1(14)消去方程中的dt ,并由 得到di 1ds s1,s soi0(15)解得:(16)iso io在定义域D内，相轨线是上式所表示的曲线，如图 9所示，其中箭头表示随 着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋势。下面分析s(t)、i (t)和r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别记做s ,i和r)不论初始条件证明:首先，由式(13)dr0 ,而 r(t

7、) 1 , dt，空o,而s t 0,所以s存在；由式(11), dt所以r存在；由式(11)得i存在。其次，若i 0,则由式(11),对于充分大的t有色 ，导致 dt 2r ，与r存在相矛盾。从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与 s轴相交。令式(16)中i 0,则最终未被感染的健康者的比例是 S , s为方程so i 0 s1 . sCIn 0 so(17)在(0,1/ )内的根，在图形上表示为相轨线与 s轴在(0,1/ )内交点的横坐标。若20 1/ ,则i(t)先增加，当s 1/时，i(t)达到最大值 1is° i0 (1 ln s°)(18)然后i(t)减小

8、且趋于0, s(t)单调减小至s ,如图中由P出发的相轨线。若与1/ ,则i(t)单调减小至0, s(t)单调减小至s ,如图中由P2出发的 相轨线。结论：若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则 1/为一个阈值，11/时蔓延。可以通过减小使与1/ ,使传染病不蔓延。与1/ ,减小时，s增加，也能控制蔓延程度。1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等 于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续.产量模型假设：x(t)为渔场中鱼量。(19)1 .无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即X(t) f (x) rx 1 N其中：r表

9、示固有增长率，N表示环境容许的最大鱼量，f (x)表示单位时间的增长量2 .用E表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量x(t)成正比，则有单位时间捕捞量为h(x) Ex(20)X(t) F(x) rx 1Ex(21)建模：捕捞情况下渔场鱼量满足其中：F(x) f (x) h(x)。判断x(t)的稳定条件，求式(21)的平衡点，分析其稳定性。令式(21)为0,得两个平衡点：x° N(1 ),x1 0(22)r稳定性判断F (xo) E r,F (x1) r E当E r时F(xo) 0,F(x1)0,则xo点稳定，为点不稳定。当E r时F(x0) 0,F(x1)0,则为点稳定，x0

10、点不稳定。分析：用E表示捕捞率，r表示固有增长率。当E r时，可使鱼量稳定在 小,获得稳定产量当E r时，为稳定，渔场干枯。根据(19) , (20)式分别绘制曲线y f(x)及y h(x) E(x),使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P,则P横坐标为稳定平衡点 小，纵坐标为稳定条件下单位 时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡 点为x； N,单位时间的最大持续产量为hm 四，捕捞率E*匚。242结论：将捕捞率控制在固有增长率r的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量 的一半时，能够获得最大的持续产量。效益模型(经济效益=总收入收入-成本)假设：鱼销售单

11、价p ,单位捕捞率费用是C,单位时间收入为T ,成本为S ,单位利润为R ,则有T ph(x) pExS cER T S pEx cE(23)、建模：在稳定条件x X0下，将式(22)代入式(23)得R(E) T(E)S(E)PNE(1 l)cE求出使利润最大的捕捞强度为Errr最大利润下的渔场稳定鱼量Xr和单位时间的持续产量hRN cXr 2 2pXrrNhR rxR(1)N42c22p2N2(24)(25)(26)(27)结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量 增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只

12、追求利润。令式(24)中R(E) 0,解Es,则cEs r 1 (28)pN当E Es时，利润R(E) 0经营者加大捕捞强度，当E Es, R(E) 0经营者减小捕捞强度，Es为盲目捕捞下的临界强度。或利用Matlab绘制ET (E), S(E)曲线如图(12),则T(E), S(E)交点横坐标即为Es。.、微分方程与平衡点理论2.1 一阶微分方程设一阶微分方程为)&tf x(1)求解方程f x =0即可出平衡点x X0O再判断平衡点X0是否稳定。判断平衡点的常用方法有以下两种(1)直接法将f X在Xo点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为XMfX X X0(2)所以

13、，丸也是方程（2）的平衡点令f xo =a,则方程（2）的一股解为ceatX0c为常数对于Xo点的稳定性有如下结论:如果f' X00 ,则a对于方程（2）和（1）都是稳定的;如果f X00 ,则X0对于万程（2）和（1）都是不稳定的;（2）间接法如果存在X。某个邻域内的任意值，使方程（1）的解X t满足lim x tX0(3)那么X。是稳定的，否则X0是不稳定的O2.2 二阶微分方程 设二阶微分方程为(4)f Xi,X2g Xi,X2求出方程f X1，X2g X1, X20的解，即为二阶微分方程的平衡点00X1X1 , X2X2记作00F0 Xi, X2利用直接法判断平衡点的稳定性,& tX2 t由线性常系数微分方程组aiXi82X2biX1b2X2(5)得系数矩阵记a182(6)A= 12b1 b2为求出方程（5）的惟一平衡点F0 0,0的稳定性，令A的行列式为detA 0F0 0,0的稳定性可由方程（5）的特征方程的根