初三数学中考动点问题复习含答案

1、2012年中考数学动点问题201206-001 如图，在平行四边形 ABCD, AD=4cm / A=60 , BDLAD.一动点 P 从 A 出发, 以每秒1cm的速度沿 ZB-C的路线匀速运动，过点 P作直线PM使P AD.1 .当点P运动2秒时，设直线 PM与AD相交于点E,求 APE的面积；2 .当点P运动2秒时，另一动点 Q也从A出发沿A-B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，(当P、Q中的某一点到达终点，则两点 都停止运动.)过Q作直线QN使QN/ PM设点Q运动的时间为t秒(0t 8)直线PM与QNB平行四边形 ABC所得图形白面积为 S (cm2)(1)求S关于t

2、的函数关系式；(2)求S的最大值.分两种情况：(1)当P、Q都在AB上运动时，PM QN截平行四边形 ABC所得的图形永远 为直角梯形.此时0W t6.当P在BC上运动，而 Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边 形DFQBP的规则图形面积用割补法 .此时6t8.201206-002 .如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC菱形，点C的坐标为（4,0），/AOC=60 , 垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线 l与菱 形OABC勺两边分另J交于点 M N（点M在点N的上方）.斗1 .求A、B两点的坐标；| A B2 .设OMN勺面积为S,直

3、线l运动时间为t秒（0t6）,试求S与 /7t的函数表达式；匹 /13 .在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大最大面积是多少。国一七图直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形 OABC勺两边相交有三种情况:0DW2时，直线l与OA OC两边相交（如图）.2vtW4时，直线l与AR OC两边相交（如图）.4tW6时，直线l与AR BC两边相交（如图）.矩 形写出相003如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCDW边AD在x轴上，点A在原点，AB= 3, AD= 5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿 A -B-C- D的路线作匀速运动.当

4、P点运动到D点时停止运动, ABCD&随之停止运动.求P点从A点运动到D点所需的时间；设P点运动时间为t （秒）.当t = 5时，求出点P的坐标；若NOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式（并 应的自变量t的取值范围）A004、(09包头)如图，已知 ABC中，ABAC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点.B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由 点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQp是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQ

5、P全等(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发， 都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC的哪条 边上相遇0、p、Q 为,一、y005、(09齐齐哈尔)直线3x 64与坐标轴分别交于 A B两点，动点 P Q同时从。点出发，同时到达 A点，运动停止.点 Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O 一 B 一 A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)设点Q的运动时间为t秒，40PQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;S 48(3)当5时，求出点P的坐标，并直接写出以点顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.0

6、06 (09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A, B两 点，点P (0, k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。P.(1)连结PA,若PA=PB试判断。P与x轴的位置关系，并说明理由；(2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心 P为顶点的三角形是正三角形解：(1) OP与x轴相切.直线y= 2x8与x轴交于A (4, 0), 与y轴交于B (0, 8),OA=4 OB=8.由题意，OP=- k,PB=PA=8+k.在 RtAOP中，k2+42=(8+k)2 , ，k=3,，OP等于。P的半径， OP与x轴相切.(2)设

7、。P与直线l交于C, D两点，连结 PC, 当圆心P在线段 OB上时，作PEI CD于E.13.PCD为正三角形，DE= 2CD=2 ,PD=3,33，PE= 2 . /AOBW PEB=90 ,/ABOW PBE. .AO中 APEBAO PEAB PB3.34，即=-4.5 PBPB3 152PO BO PB3 152P(0,当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0, 2 8), k=3 152 一 8,3 153 15PD备用用p.3 15当k= 2 8或k= 2 8时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形007 (09 济南)如图，在梯形 ABCD 中，AD/

8、BC, AD 3, DC 5, AB 4叵 B B 45 .动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运 /动.设运动的时间为t秒./一n(1)求 BC 的长.BM G(2)当MN / AB时，求t的值.(3)试探究：t为何值时，4MNC为等腰三角形.008 (09兰州)如图，正方形 ABCD中，点A、B 的坐标分别为(0, 10) , (8, 4), 点C在第一象限.动点 P在正方形ABCD的边上， 从点A出发沿 Z B D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停

9、止运动， 设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长 度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图 所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P运动 速度；(2)求正方形边长及顶点 C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时 P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿 Z B- O D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能, 写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.009 （09太原）问题解决如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E （不与点C , D重合），压平CE 1 AMCE JAM值等于；若CD

10、 n （ n为整数），则BN的值等于.（用含n的式子表示）联系拓广如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E （不与点AB 1CE 1m 1 ,-,C, D重合），压平后得到折痕MN,设BC mCD n于.（用含m，n的式子表示）图（1）AM则BN的值与图（1-1 ）2)都停止运动.)过Q作直线QN使QM PM设点Q运动的时间为t秒(0t8)JI1(0十2012年中考数学动点问题201206-001 如图，在平行四边形 ABCD, AD=4cm / A=60 , BDLAD.一动点 P 从 A 出发, 以每秒1cm的速度沿A-BfC的路线匀速运动，过点 P作直线PM使P AD

11、.1 .当点P运动2秒时，设直线 PM与AD相交于点E,求 APE的面积；2 .当点P运动2秒时，另一动点 Q也从A出发沿A-B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，(当P、Q中的某一点到达终点，则两点 直线PM与QNB平行四边形 ABC所得图形白面积为 S (cm2)(1)求S关于t的函数关系式；(2)求S的最大值.分两种情况：(1)当P、Q都在AB上运动时，PM QN截平行四边形 ABC所得的图形永远 为直角梯形.此时0WtW6.当P在BC上运动，而 Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边 形DFQBP的规则图形面积用割补法 .此时6t8.1.分析：此题为点动题，因此

12、，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长;分析在运动中点的几种特殊位置 .由题意知，点P为动点，所走的路线为： ZB-C速度为1cm/s。而t=2s ,故可求出AP的值, 进而求出 APE的面积.因此略解：由 AP=2 , Z A=60 彳导 AE=1, EP=/2.分析：两点同时运动，点 P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点 A的距离相差 总是2cm.P在AB边上运动后，又到 BC边上运动.因此PM QN截平行四边形 ABC所得图形不同. 故分两种情况：(1)当P、Q都在AB上运动时，PM QN截平行四边形 ABC所得的图形永远为直角梯形 . 此时0WtW6.当P在B

13、C上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形 DFQBPH规 则图形面积用割补法.此时6t8.CA略解：当P、Q同时在AB边上运动时，0Wtw6.AQ=t,AP=t+2, AF=,QF=Tt,AG= 2 (t+2),由三角函数PG= 1-(t+2),FG=AG-AF= (t+2)-t= (QF+PG)- FG=2 1 t+2(t+2)1=2t+工当6t8时，S=S 平行四边形 ABCDS AQFSA GCP.易求S平行四边形ABCD=1,SAAQF= AF- QF=& t2.1_而 SACGP=2 PC- PG,PC=4BP=4-(t+2-8)=10-t.10 -t PG C

14、Gpc pg m.PG=- (10- t).SACGP= PC- PG=2 (10- t)(10-t尸(10-t)2.昱.S=16 - - -： t2-(10-t)2=(6t8分析：求面积的最大值时，应用函数的增减性求.若题中分多种情况，那么每一种情况都要分 别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况，那么就分别求出0wtW6和6vtW8时的最大值.0 wt W6时,是一次函数，应用一次函数的性质，由于一次项系数是正数，面积S随t 的增大而增大.当6 t8时，是二次函数，应用配方法或公式法求最值 .略解：由于 ：所以t=6时，S最大=5上(6vtw8,所以t=8时，S最大=6综上所

15、述,当t=8时，S最大=6心.B0DW2时，直线l与OA OC两边相交（如图）.2vtW4时，直线l与AR OC两边相交（如图）.4vtW6时，直线l与AR BC两边相交（如图）.201206-002 .如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC菱形，点C的坐标为（4,0），/AOC=60 , 垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC勺两边分别交于点 M N（点M N的上方）.1 .求A、B两点的坐标；2 .设OMN勺面积为S,直线l运动时间为t秒（0WtW6）, S与t的函数表达式；多少3 .在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大最大

16、面积是1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标解：.四边形 OAB菱形，点C的坐标为（4,0）, .OA=AB=BC=CO=4图，过点A 作 ADL OC于 D. . / AOC=60 ,OD=2AD= Y |.A(2,B (6, 2加)2 .分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化， MON的形状也不断变化，因此，首先要把 所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之OC两边相交（如图）.OC两边相交（如图）.BC两边相交（如图）.0Wt W22vt W44tW6时,时,时,直线直线直线与OA与AR与AR略解：MNL OC，ON=t. .M

17、N=ONtan60= 怎.1.S=2 ON- MN=2 t2.S= ON- MN=方法一：设直线l与x轴交于点 H. MN=2； -(t-4)=6t,.S= MIN- OH= (6t)t=-t2+3t.走t2+3t.(t-4)二方法二：设直线l与x轴交于点 H. /S=SOMUSAONHS=方法三：设直线l与x轴交于点H. .-sOABC“美息0NC=4X2，臼=8-/3 ,当次=2 (t -2)= U-2I , I,.S=8(t-4)=2后 t-8 后,“心函=工后(6-t)(6-t)=18心-(北t-2 4)-(2区8后)-(18；-6；t+ ：t2)=-6t+ t2+3t.t2,3 .求

18、最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值略解：由2知，当04W2时,Sj 大=2 x 22=2T当2vtW4时,当 4t6 时，配方得 S=- 2 (t-3)2+当 t=3 时，函数 S=- 2 t2+3t的最大值是但t=3不在4tW6内，在4t 3时，函数S=- 2 t2+3t随t的增大而减小，：当4t6时，SV 4心综上所述，当t=4秒时,-it =4矩 形写出相练习1如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD勺边AD在x轴上，点A在原点，AB= 3, AD= 5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿 A -B

19、-C- D的路线作匀速运动.当 P点运动到D点时停止运动, ABCD&随之停止运动.求P点从A点运动到D点所需的时间；设P点运动时间为t （秒）.当t = 5时，求出点P的坐标；若NOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式（并 应的自变量t的取值范围）A解：(1) P点从A点运动到D点所需的时间=(3+5+3) +1=11 (秒).(2)当t = 5时，P点从A点运动到 BC上，此时 OA=10,AB+BP=5，BP=2.过点 P 作 PH AD于点 E,则 PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=1.2.点 P 的坐标为(12, 3).分三种情况：.当0VtW3时，

20、点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t , s= 2 X 2t X t= t2.1.当 3t8 时，点 P在 BC上运动，此时 OA=2t, .,.s=2 X2tX3=3 t.当 8t 11 时，点 P在 CD上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t,DP=(AB+BC+CD( AB+BC+CP)=11- t. . . s= 2 x 2t X (11 - t)=- t2+11 t.综上所述，s与t之间的函数关系式是： 当0t 3时，s= t2 ;当3t 8 时，s=3 1;当8111时，s=- t2+11 t .练习2 如图，边长为4的正方形 OABC勺顶点O为坐标原点，点 A在x

21、轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上.动点 D在线段BC上移动(不与 B, C 重合)，连接OD过点D作DEL OD交边 AB于点E,连接OE(1)当CD=1时，求点E的坐标；(2)如果设CD=t,梯形COEB勺面积为S,那么是否存在 S的最大值若存在，请求出这个最 大值及此时t的值；若不存在，请说明理由.解：(1)正方形 OAB冲，因为 EDL OD 即/ODE =90 ,所以 / COD=9 0 - / CDO 而 / EDB =90 -/CDQ 所以 / COD 之 EDB 又因为/OCD=DBE=90 ,所以 CDS ABED.13.因此点E的坐标为(4,4(2)存在S的最大值.由于C

22、DSABEtD所以X4X(4 + t-Tt2)故当t=2时，S有最大值10.1、(09包头)如图，已知ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C 点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明ADQBP理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使ZXBPD与CQP全等(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发,都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一

23、次在 ABC的哪条边上相遇解：（1） t 1 秒,. BP CQ 3 1 3 厘米 AB 10厘米，点D为AB的中点, . BD 5 厘米.又.PC BC BP, BC 8厘米,PC 8 3 5 厘米, . PC BD.又 AB AC ,B C ,（4分）.BPDCQP. BPCQ又.BPDACQP BC ,则 BP PC 4, CQ BD 52 10,解得80x 一3秒.，点P共运动了 80 380厘米.BP 4.t 点P,点Q运动的时间3 3秒，CQ 5 15Vq t 443 厘米/秒. （7分）(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,15 o x 3x由题意，得4. 80 2 28 24

24、,点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.（12分）y2、(09齐齐哈尔)直线0、p、Q 为7x 64与坐标轴分别交于 A B两点，动点P、Q同时从。点出发,同时到达A点，运动停止.点 Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点 P沿路线。一B - A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)设点Q的运动时间为t秒，aOPQ的面积为S,求出S与t之 间的函数关系式；s 48(3)当5时，求出点P的坐标，并直接写出以点顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.解（1） A （8, 0） B （0, 6）（2） QOA 8, OB 6AB 108、点Q由O到A的时间

25、是18（秒）（单位/秒）1分6 10 c2点P的速度是8当P在线段OB上运动（或0 t 3）时,OQt, OP2t当P在线段BA上运动（或39）时,OQt,AP6 10 2t 16 2tPD AP如图，作PDOA于点D由BO AB ,得PD486t1S OQ2PD |t2（自变量取值范围写对给否则不给分.）8 24P -,（3） 5 5112M31224一，一3 (09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y= 2x 8分别与x轴，y轴相交于A, B两点, 点P (0, k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。P.(1)连结PA,若PA=PB试判断。P与x轴的位置关系，

26、并说明理由；(2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心 P为顶点的三角形是正三角形解：(1) OP与x轴相切.直线y= 2x8与x轴交于A (4, 0),与y轴交于B (0, 8), OA=4 OB=8.由题意，OP=- k,PB=PA=8+k.在 RtAOP中，k2+42=(8+k)2 , ，k=3,，OP等于。P的半径， OP与x轴相切.(2)设。P与直线l交于C, D两点，连结 PC, PD 当圆心P在线段 OB上时，作PUCD于E. PCD为正三角形，DE= 2CD=2 , PD=3,3 3 .PE= 2 . /AOBW PEB=90 ,/ABOW PBE. .AO中 APEB

27、AO PEAB PB3.34，即=-4V5 PB ,PB3 152PO BOPBco 3 15P(0,-2-8)3 .1523 15当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0, 2 8),3 153.153. 15当k= 2 8或k= 2 8时，以。P与直线l的两个交点和圆心 P为顶点的三角形是正三角形.4 (09哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形 ABCO菱形，点A的坐标为(3, 4),点C在x轴的正半轴上，直线 AC交y轴于点 M AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM如图2,动点P从点A出发，沿折线 ABC方向以2个单位/秒的速度向终点 C

28、匀速运动，设 PMB勺面积为S (Sw 0),点P的运动时间为t秒， 求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量 t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角，并求此时直线 OP与直线AC 所夹锐角的正切值.解：iy过点A作AEh轴 乖足为E(如图1)vA(-3,4) AE=4 0E=3 /.OAzVA+OE1 =5，H b四边形 ABO 为菱形?.OC=CB=BA=OA=5 ,(5,0) I分 7 （09济南）如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD 3, DC 5, AB 4&，Z B 45 .动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的

29、速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段 CD以每秒i个单位长度的速度向终点 动.设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN / AB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.解：(1)如图，过A、D分别作AK BC于K, DH BC于H,则四边形ADHK是矩形KH AD 3. 1分AK ABgsin 45 在 RtzXABK 中，BK ABgcos45ADGB是平行四边形（图）（图）在RtACDH中，由勾股定理得，HC 752 42 3BC BK KH HC 4 3 3 10 3分(2)如图，过D作DG / AB交BC于G点，则四边形 . MN / ABMN /

30、 DG.BG AD 3GC 10 3 7 4分由题意知，当M、N运动到t秒时，CN t, CM 10 2t. DG / MN. /NMC /DGC又/C /CMNCsGDCCN CM. CD CG 5分工 10 2t即57t 50解得， 17 6分（3）分三种情况讨论：当NC MC时，如图，即t 10 2t1037分当MN NC时，如图，过N作NE（图）MC于E解法由等腰三角形三线合一性质得11EC MC - 10 2t22EC 5 t cosc 在 RtzXCEN 中，NC tCH 3 cos c 又在 RtADHC 中，CD 55 t 3t 525 t 解得 88分解法二：. /C /C,

31、 DHC NEC 90NECs/XDHCNC EC1 5 tDC HC即 53t 2511FC - NC -t当MN MC时，如图，过 M作MF CN于F点.22解法一：（方法同中解法一）1tc FC 2360cosC - - t MC 10 2t 5 解得 17解法二：,ZC ZC, MFC DHC 90AMFC s/XDHCFC MC 210 2t6017（图）HC DC 即 35t综上所述，当10 25 t t3、8或6017时，4MNC为等腰三角形9 (09兰州)如图，正方形 ABCD中，点 A、B 的坐标分别为(0, 10) , (8, 4),点C在第一象限.动点 P在正方形ABCD

32、的边上， 从点A出发沿 Z B D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P 点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长 度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图 所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P运动 速度；(2)求正方形边长及顶点 C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时 P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿 Z B- O D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能, 写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.解：(1) Q (1, 0) 1分点P运动速度每秒钟1个单位长度.(2)过点B作BU y轴于点F , BE x轴于点E ,则BFAF 10 4 6=8, OFBE在 RkAFB 中，AB 7862 10过点C作CG，x轴于点G ,与FB的延长线交于点HABC 90 , AB BC.AB阁ABCHAF 6, CH BF- OGFH 8 6 14,CG8 4 12C点的坐