第十一章 无穷级数学习指导

1、第十一章无穷级数学习指导重点：数项级数、函数项级数的基本概念和基本性质，数项级数收敛性、函数项级数收敛域的讨论，函数的幂级数展开及其应用难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、一致收敛性的判断，将函数展开为幂级数，求函数项级数的和函数，将周期函数展开为傅里叶级数（一）A1 无穷级数是形如的无穷和式, 简称级数。其中称为级数的一般项或通项。若()都是数, 则称级数为数项级数; 若=()，都是定义在某个区间I上的函数, 则称级数为函数项级数。A2 级数( )的前n项的和: 称为数项级数( 函数项级数 )的部分和。对于数项级数，若(有限值)，则称级数收敛,并称S为级数的和,记为S=,并称

2、级数为级数第项后的余项。若不存在, 则称级数发散。对于函数项级数，若使函数项级数对应的数项级数收敛(发散)，则称为函数项级数的收敛点(发散点)；一切收敛(发散)点的集合，叫做函数项级数的收敛(发散)域。在收敛域上，记，称为函数项级数的和函数，并称为函数项级数的余项。A3 数项级数敛散性的判断是本章的重点，容易证明数项级数收敛的必要条件是级数的通项满足，因此若通项不趋于零，则级数必发散。除了定义,以下基本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。（1） 若收敛，则亦收敛, 且=；（2） 若与均收敛，则亦收敛, 且=；（3） 在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数与原级数的敛散性相同；（4） 收敛级数

3、的各项按规则加括号后所得的级数仍然收敛按某规则加括号后所得的级数发散，则原级数发散；（5） 柯西收敛原则。A4 以下几个重要的数项级数，其敛散性已经明确：(1) 等比级数, 当时收敛,当时发散;(2) 调和级数发散;(3) p-级数,当时发散; 时收敛;(4) 倒阶乘级数收敛.A5 函数项级数收敛域的讨论也是本章的重点之一。本章我们着重研究两种函数项级数：幂级数和傅里叶级数。幂级数是形如的级数。幂级数的收敛域, 除端点外是关于对称的区间，两端点处是否收敛需单独检验, 其中称为收敛半径。幂级数我们着重讨论的情况，即级数，因为幂级数一般形式可以通过变量替换化为。此级数收敛区间的求法为：先求, 则收

4、敛半径; 再检验两端点处是否收敛, 从而收敛域=收敛的端点。A6 掌握函数项级数一致收敛的定义及其判别方法，最常用的方法是维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数定义在数集D上，是收敛的正项级数，若对一切有，则一致收敛。其它还有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数，逐项微分或逐项积分运算后的函数项级数，其和函数等于原函数项级数和函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数的幂级数展开中有着重要应用。（二）B1 正项级数就是通项的级数。它是数项级数中比较简单的一类级数，其收敛的充要条件是部分和有上界。判断正项级数的敛散性，除了上述收敛的充要条件，还有如下常用方法：（1） 比较法：若

5、，而收敛，则收敛；若，而发散，则发散。比较法的极限形式如下：若 (), 则与同时收敛或同时发散。在比较法中，正项级数的敛散性常借助于一些已知的正项级数的敛散性来判断。如已知发散，由此推得若 (),则发散。又如已知p-级数,当时收敛，由此推得若()，且，则收敛。（2） 比值法若,当时，则（3） 根值法若当时，则B2 关于幂级数的代数运算,设与的收敛半径分别为和，则在内有 =；()()=,其中 =。 在比可能小得多的区间内有 =其中 =。B3 幂级数在其收敛域内还可以进行逐项微分和逐项积分运算,例如在收敛域内，对进行逐项微分可得新的幂级数 ；逐项积分可得新的幂级数。注1、在收敛域内对幂级数逐项微分

6、或逐项积分后所得新的幂级数，其收敛半径与原级数相同，但在收敛域两端点处的敛散性有可能改变。注2、逐项微分和逐项积分法是求幂级数的和函数的重要方法。基本思路是对于给定的幂级数，进行逐项微分或逐项积分，将其化为已知其和函数的幂级数。以下幂级数的和函数在计算中经常用到：；，例:求下列幂级数在收敛域内的和函数：（1）（）；（2）（）解：（1）因为=，所以=（） （2）因为，所 以=（）(三)C1 交错级数是形如,()的级数,此类级数敛散性的判别可以借助于以下充分条件:如果,且,则收敛,且其和,其余项。C2 关于任意项级数的敛散性，我们有如下概念：（1）若收敛，则称绝对收敛。（2）若发散，但收敛，则称条

7、件收敛。容易证明绝对收敛必收敛。判断关于任意项级数的敛散性常借助于A3中所述级数性质（1）（）及与已知敛散性的级数（如A4中所列级数）相比较。C3 将函数展开为幂级数是本章的重点，也是本章的难点。首先要了解函数能展开为幂级数的条件是：若函数在点的某领域内具有任意阶导数，则当且仅当。并且若函数能展开为幂级数：，则，（）。函数展开为幂级数有以下几种：（1）根据定义直接展开：（2）利用已知展开式的函数（如，），将代展函数化为已知展开式的函数；（3）将代展函数求导或积分，化为已知幂级数展开式的函数，再对展开式逐项积分或逐项微分，即得代展函数的幂级数展开式。C4 如下形式的函数项级数：，其中系数（），()称为傅里叶级数。若是周期为的周期函数,如果它在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,