第四节换元法分部积分法ppt课件

1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第四节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五章 一一 问题的提出问题的提出Introduction) 我们知道求定积分的关键是求原函数，我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？换元法，有哪些不同？ 在一定条件下，可以用换元积分法与分部积分法来计算定积分.不定积分的换元法 ( )( )fxx dx( )( )

2、(1)uxf u du 第二类换元公式第二类换元公式( )f x dx( ) ( ) ( )(2)xtftt dt 第一类换元公式第一类换元公式二、定积分的换元法二、定积分的换元法(Formula for Integration by Substitution)二、定积分的换元法二、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数, ,)(baCxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xf

3、xF是的原函数 , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么说明说明: :2) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .3) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .4) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t1换元的基本思路是方便有效地找出被积函数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。例例1：求积分：求积分8031xxd解： 令,3tx ,32tdtxd当 x = 0 时，t = 0， 当 x =

4、8 时，8031xxd20213tdtt20211) 1()(3tdtttt20)111(3tdtt202 )1 (ln23ttt3ln3 对换元法中的条件常用观测法加以验证。对换元法中的条件常用观测法加以验证。在 0 , 2 上，3tx t = 2，连续可导且单调，所以例例2. 计算计算).0(d022axxaa解解: 令令,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且几何意义几何意义想一想，为什么不能取 t 的范围为?22,0 例例3：计算：计

5、算053sinsinxdxx解：解：053sinsinxdxx023)sin1 (sinxdxx03cossinxdxx03)(sinsinxdx0sin5225x0000sinsin,053xx上在等于零时且仅当,2,0 x0sinsin053xdxx 2 0 xyxxy53sinsin 例例3. 计算计算解：解：350sinsin.xxdx35( )sinsinf xxx32cossinxx350sinsinxxdx320cossinxxdx3220cossinxxdx322cossinxxdx3220sinsinxdx322sinsinxdx25202sin5x2522sin5x4.5

6、注意被积函数在不同积分区间内的符号思考题解解 令sec ,xt23:,34ttan sec,dxttdt2221xxdx34231sectansectanttdtttdt4332.12思考题解答计算中第二步是错误的.secxt23,34ttan0,t 21tantan .xtt 正确解法是2221xxdxtxsectdtttttansectansec14332dt4332.12例例4. 计算计算解解:.)ln1 (ln43eexxxdx原式43)ln1 (ln)(lneexxxd43)ln1 (ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6 换元时

7、，若不写出代换变量，则不要换上、下限。换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限。例例5., ,)(aaCxf设证证:(1) 假设, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 假设, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例6：求：求5524231sinxdxxxx解：设解：设1sin)(2423xxxxxf1)()()(sin)()(2423xxxxxf1sin2423xxxx)(x

8、f ,5,5)(上为奇函数在对称区间即xf01sin552423xdxxxx例例7：求：求22322(sin)cosxxxdx解：解：22322(sin )cosxxxdx2232cosxxdx2222sin cosxxdx0对称性22202 sin cosxxdx2022sin21xdx2011 cos422xdx2044sin41xx8 奇函数奇函数例例8. 计算计算解解:21212cos.11xxxdxx原式2121211xdxx121cos11xxdxx偶函数偶函数2120411xdxx22120(11)41 (1)xxdxx1204(11)xdx120441x dx.4 单位圆的面积

9、单位圆的面积证证（1设2xt,dxdt0 x ,2t 2x0,t 20(sin )fx dx20sin2ftdt 20(cos )ft dt20(cos );fx dx（2设xt ,dxdt 0 x ,t x 0,t 0(sin )xfx dx0() sin()t ft dt 0() (sin )t ft dt证证0(sin )ft dt 0(sin )tft dt0(sin )fx dx 0(sin ),xfx dx00(sin )(sin ).2xfx dxfx dx20sin1 cosxxdxx20sin21 cosxdxx201(cos )21 cosdxx 0arctan(cos )

10、2x .42 ()244 证证例例10：设：设31(2)f xdx求解：解：210( ),0 xxxf xex 31) 2(xdxf2xu11)(uduf11)(xdxf012)1 (xdx10 xed x01331xx10 xee137例例11 11 计算计算解解aadxxax022) 0(.1令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式2022)sin1 (sincosdttatata20cossincosdttttxdxxxcossincosxdxxxxxxcossinsincossincos21xdxxxx)cossinsincos1 (21xxxxdxc

11、ossin)cos(sin212Cxxx|cossin|ln212原式 =20|cossin|ln212ttt4xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解: (1)法一法一 记记01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0无关，与可见aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算那么即xxfxxfTTaad)(d)(0例例12. 设设 f (x) 是连续的周期函数是连续的周期函数, 周期为周期为T, 证明：证明：法二：法二：,tdxdtx则令T( )Taaf x dx0( )af x dx0( )Tf x d

12、x( ),aTTf x dx TTaxdxf)(对于积分 TTaxdxf)(atdtf0)(T0( )af t dt0( )af x dxTaaxdxf)(0( )Tf x dx与 a 无关所以, 0,tx时Tatax,时T(2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算,) 1 (akTa中的看作将 )(d)(0NnxxfnT为是以x2sin1周期的周期函数xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0则有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0 xx

13、nxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 (Formula for Integration by Parts)定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu设那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(ba

14、xxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式几点注记：几点注记：bbbaaaudvuvvdu（1使用定积分的分部积分公式的方法或技巧同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快捷、方便地求出原函数。（2使用分部积分法不需要变换积分上、下限. （3分部积分法常与换元法结合使用。例例1. 计算计算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231例例2. 计算计算40.1 cos2xdxx21 cos22co

15、s,xx401cos2xdxx4202cosxdxx40tan2xdx401tan2xx401tan2xdx40cosln218x.42ln8解：幂函数与三角函数乘积的积分，可考虑用分部积分法，设法去掉 x 。例例3 3 计算计算dxxee1lneeeexdxxdxdxx1111lnlnln解解 )lnln(1111eexxdxx去掉绝对值时注意分积分限去掉绝对值时注意分积分限 111111lnlneeeexxxxxx22eeexxdxx11lnln 例4：设f (x)有一个原函数 ，求2( )x fx dx解：解：sin xxsin( )() xf xx2cossinxxxx2x f(x)d

16、x2xd f(x)2x f(x)2f(x)dx2xcosx sinxx2sinxx14 例例5 5 计算计算解解12012ln(x)dx.(x)12012ln(x)dx(x)10112ln(x)dx 1012ln(x)x 10112dln(x)x23ln 101121dxxx1112xx102123lnln(x)ln(x) 5233lnln .例例6. 6. 设设 求求解解: :21xsintf( x)dt,t10 xf( x)dx.10 xf( x)dx12012f( x)d( x )12012x f( x)12012x df( x)112f( )12012x f ( x)dx21xsint

17、f( x)dt,t22222sinxsinxf ( x)x,xx1110sintf( )dt,t10 xf(x)dx112f( )12012x f ( x)dx120122xsinx dx 122012sinx dx 12012cos x11 12(cos).解解: :例例6. 6. 设设 求求21xsintf( x)dt,t10 xf( x)dx.21xsintf( x)dt,t22222sinxsinxf ( x)x,xx1110sintf( )dt,t20dcosttn20dcosxxn例例7. 证明证明20dsinxxInn证证: 令令20dcosxxn,22143231nnnn n

18、为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt那么20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 那么,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn02022dcossin) 1(xxxnInn22021 si(1)snin()dnxxxn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 设设,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)