安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教案新人教

1、 3.1.1 变化率问题项目内容课题（共 1 1课时）修改与创新教学目标1 1.理解平均变化率的概念；2 2了解平均变化率的几何意义；3 3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重、难点教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：为了描述现实世界中运动、 过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数， 随着对 函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相 关：一、 已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速 度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、 求

2、长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程 度.二、 讲授新课：（一）问题提出问题 1 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加, ,气球的半径增加越来越慢. .从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V单位：L) )与半径r( (单位: :dm) )之间的函数关系是V(r)二4二r33如果将半径 r r 表示为体积 V V 的函数，那么r(V)=33V 4兀分析: :3V当 V V 从 0 0 增加到

3、1 1 时, ,气球半径增加了r(1) -r(0):-0.62(dm)气球的平均膨胀率为r(1) _r(0):0.62(dm/L)1-0当 V V 从 1 1 增加到 2 2 时,气球半径增加了r(2)_r(1):0.16(dm)气球的平均膨胀率为r(2)T：0.16(dm/L)2-1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从V1增加到V2时, ,气球的平均膨胀率是多少? ?皿-的)V2 V1问题 2 2 高台跳水m) )与起跳后的时间t在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h( (单位:(单位：s)存在函数关系h( (t)=)= -4.-4. 9 9t2+

4、6.5+6.5t+10.+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态 ？思考计算：0乞t空0.5和1空t空2的平均速度v在0乞t 0.5这段时间里，v二h(0.5)_h(0)= 4.05(m/s);0.5-0在1T2这段时间里，v二h(2)h(1)=8.2(m/s)2-1探究：计算运动员在0-1-65这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？X2 Xi二：y二f(X2)- f(Xi) )f (Xi：x) - f (Xi)f (X2)- f (Xi)XX2 Xiy yf(Xf(X2)X X2f(

5、Xf(Xi) )(2)- 表示，称为函数f( (X) )从Xi到: : x=x=X X2-X-X1探究过程：如图是函数h( (t)=)= -4.9-4.9t2+6.5+6.5t+10+10 的图像，结合图形可知，65怙)七0)，65山輛占0)所以V二65门049二O(s/m),65虽然运动员在o亠49这段时间里的平均速度为0(s/ m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1 1.上述问题中的变化率可用式子X2的平均变化率2 2 若设 也x = x2-Af = f (x2) - f (x( (这里也X看作是对于Xi的一个增量

6、”可用X计X代替X2, ,同样 L Lf f3 3.则平均变化率为y=：f二思考：观察函数f( (X) )的图象平均变化率f(X2)二fg)表示什么?XXi直线AB的斜率X Xi例 1 1 .已知函数f（x）= =-x2x的图象上的一点B（1 .：x, 2 .：y）,贝二.Ax解：-2 Ly = -（-1LX）2（-1 二x）,：y _-（一1：x）2 （一1：x） -2xx2例 2 2. 求y=x在X=X0附近的平均变化率。. 2 2 22y (Xo：X)-Xo解：y =(x0=x) -x0，所以AxAx2所以y = x在x =xo附近的平均变化率为2xo* =x四课堂练习1 1 .质点运动

7、规律为s二t2 3,则在时间(3, t)中相应的平均速度 为2.2. 物体按照S( (t)=3)=3t2+ +t+4+4 的规律作直线运动，求在 4 4s附近的平均变化率253讥3.3. 过曲线y= =f( (x)=)=x3上两点 P(P( 1 1, 1 1 )和Q(1+(1+ x,1,1+ + y) )作曲线的割线，求出当 x=o.=o.1 1时割线的斜率. .课堂小结：1 1 .平均变化率的概念 2 2 函数在某点处附近的平均变化率2 2 2xo2xo二x = x -xo=2xo亠:x布置作业P.79P.79 1 1, 2 2 3.1.13.1.1 变化率问题问题 1 1 气球膨胀率问题 2 2 高台跳水平均变化率的概念f(X2)f(X1)表示,称为函数f(x)从X1到X2的平均变化率X2-捲设匚x = x2xLy = f (x?f (x,)则平均变化率为讥f (X2)-f (X1)=f(X1X)- f(X1)Zx