微积分函数、极限、连续ppt课件

1、1一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量, 运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数 , 运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯2哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.Archimedes3 第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。4 困难在于：十七世纪所涉

2、及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第一类问题5 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 第二类问题6 第二类问题 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世

3、纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。7 第三类问题 求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。458 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 第三类问题9 第四类问题 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。10 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后

4、来由微积分的创立而被根本修改了。 第四类问题111. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程多元微积分121. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚华罗庚,),(Rxbxaxba,Rxb

5、xaxba,),(RxaxxaU,0),(RxaxxaUo),()(DxxfyyDf.)0(, 1)0(,0)0(, 1)sgn(xxxxxyo-11.)(, 0)(, 1)(nTtnTttyxoy) 1(1) 10)(2xxxxxf（xyo26且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(xf故0 x时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设27),

6、(, )(xxfy的图形与,ax 均对称, 求证)(xfy 是周期函数.)(babx证证: 由 )(xaf)(xf的对称性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函数 , 周期为)(2abTy = lnu ， u = tanx 。y = u8 ，u = sinv ， v = 8x+sinx 。37符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或

7、)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn45,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定

8、取最小的 N .说明说明: 取11N4623baab22abnabax证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式47说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n

9、虽有界但不收敛 .数列Axfx)(lim)()(xAxfAxfx)(lim50XXAAoxy)(xfy A定义定义 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数51x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意

10、义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21点点附近有定义附近有定义x0Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf53)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界这表明: 55211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当1

11、0 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 xxx1limxxarctanlimxxarctanlim022xxsinlim)1 (lim2xxxxsinlim21)1 (lim22xx5xx1lim0 xx1sinlim0 x1sin Axfxfxx)(lim)0(00)()(0 xxAxfAxfxfxx)(lim)0(00)()(0 xxAxf0, 10, 00, 1sgnxxxxo x y1-1 )00(f)(lim0 xfx1lim0 x1 )00(f)(lim0 xfx1) 1(lim0 xAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(l

12、im00Axfxf)0(0(00）610,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf)(lim)02(2xffx)(lim) 02(2xffx)2(lim22axxa24xx10lim220,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 . 若,)(lim,

13、)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA66.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因67.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式68为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,

14、0,mn 当mn 当xxx39lim0)39(lim0 xxxx391lim0 xx61xxx1lim2xxxx211lim= -142lim222xxxx)2)(2()1)(2(lim2xxxxx43701.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问71. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim211

15、11lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t72.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此1sinlim0 xxx741sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有75

16、当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xxxxxtanlimttttx)tan(lim0tttttsinlimcos1lim00= -1ttttanlim0nnn21sin2limnnn2121sinlim=1xxx3sinlim0 xxx33sin3lim0 xxx33sinlim30=377.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0

17、tttsin1xxxxxsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0 xxxxx22sin)2cos(lim0 xxxxx22sinlim)2cos(lim00 xxxxxxxcos79nnnRcossinlim2Rn.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21exxx)11 (limexxx10)1 (lim81exxx)1(lim1证证:

18、 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim182当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令31(limxxxx）3)1(lim)1(limxxxxxxxxxx)11 (lime1xxx)21 (lim22)2

19、1 (limxxx2 e1)11 (limxxxxxx)211 (lim212)211(limxxx21e84limx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin185例例. 求.1lim0 xaxx 解解: 令,1 xat则, )1(log txa因此原式)1(loglim0 ttat 1lim0 t)1(log1 ttaealog1 且0,0tx有有tatt10)1(loglim1 86lim0 x.)(coslim2csc0 xxx 解解: 原式 =xxx2sin1)1(

20、cos1lim0 xxx2sin1)2sin21(lim2 )2sin21(2x 21 e2cos212x 2sin212x 0)(lim0 xfxx, 0) 1(lim1xx, 01limxx, 03lim20 xxx,3lim20 xxx.313sinlim0 xxx91其中 为0 xx 时的无穷小量 . Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .0)()(lim)1(0 xgxfxx)()(lim)2(0 xgxfxx0)()(lim)3(0kxgxfxx94)(o0

21、x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且03lim20 xxx,3lim20 xxx即, 639lim23xxx2211xax),0(1122xxax22011limxaxx) 11(11lim2220axxaxx2a, 1),()(),()(2121xgxgxfxf)()(lim22xfxg)()(lim)()(lim2211xfxgxfxg.3sinlim30 xxxx0 xxxxxxxxx3lim3sinlim303031lim20

22、xx.3198.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32,)(lim0 xfxx0lim0yxx0f(x0)x0+xf(x0+x)yf(x)xxxysin)sin(2sin)2cos(2xxxyx0lim2sinlim)2cos(lim200 xxxxx, 0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx)lim()()(lim000

23、xfxfxfxxxx)()(lim)(lim)(0000 xfxfxfxxfxxxx连续在1081) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfyxoy2110,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .,1sin)(xxfyxxgytan)( x=0=0为振荡间断点为振荡间断点为无穷间断点为无穷间断点xyxy1sin0 xytan2xyo2x1101. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1

24、为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点xexyln112xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin113设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 115.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx116.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxx