随机过程在金融中应用8随机积分 — Ito积分

1、第八章第八章 随机积分随机积分 Ito积分积分第一节第一节 引引 言言第二节第二节 Ito积分的理论积分的理论第三节第三节 Ito积分的特征积分的特征第四节第四节 Ito定理及应用定理及应用第五节第五节 更复杂情况下的更复杂情况下的Ito公式公式 第一节第一节 引引 言言一、一、 Ito积分的导出积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型，而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。 但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分

2、Ito积分，建立积分方程。 前面讨论的随机微分等式，其中的项 都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。即若用微分方程代表资产价格 的动态行为，那么能否对两边取积分，即,),(),(ttttdWtSdttSadStSutututudWuSduuSadS),(),(000也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？为解释此项积分的含义，需引进Ito积分ttdWdS、也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中h为一定的时间间隔。若则上等式改写为uhttuhttuthtdWuSduuSaSS),(),(httuthtttthtdWtSdut

3、SaSS),(),(即),(),(thtttthtWWtShtSaSS或ttttWtShtSaS),(),(这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式),(uSau和),(uSu是uS和 u 的平滑函数，即当h很小，它们在,httu内变化都不大此表示式为一近似式，其精确公式为ttttdWtSdttSadS),(),(二、二、Ito积分的重要性积分的重要性首先随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解Ito积分。其次在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。第二节第二节 Ito积分的理论

4、积分的理论Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。布朗运动维纳过程)(tW，0t0)(tWE),min(),(2tstsR|)()(2stsWtWVar如果11)(tW标准布朗运动/ )(tW一、一、Ito积分的定义积分的定义定义定义1满足设)(tX,bat 为二阶矩过程，ba 0。)(tW是标准布朗运动),min(),(tstsR|)()(stsWtWVar对,ba的一组分点btttan10)(max11kknkntt作和式)()()(111kkknkntWtWtXI如果均方极限nIn nl.i.ml.i.m存在则称此极限为)(tX关于)(tW的 Ito 积分，记

5、为)()()(tWdtXIba注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。)()()(11kkknkntWtWtXY,1kkkttt当kt在,1kktt中任意选择时，nY的均方极限将不存在定理定理1设)(tX均方连续，且对任意kkttss121,及121ktss),(),(21sXsX)()(12sWsW与)()(1kktWtW相互独立则)(tX关于)(tW的 Ito 积分存在且唯一定理定理2设)(tW,0t是维纳过程对,ba的一组分点：btttan10)(max11kknkntt则n nl l. .i i. .m m211)()(kknktWtW)(ab 证证令

6、)()(1kkktWtWW1kkkttt则221)(abWEknk221)(kknktWE221)(kknktWE)( 22jjiijitWtWE)2(2241kkkknkttWWE因为)23(2221kkknkttt)2(2241kkkknktEtWEWE212knktknknt12)(2abn0n0), 0()(kktNtW4)(ktWE dxextktxk24221dxexttktxkk222232)(3kktWEt例例1解试求)()()(tWdtWIba对,ba的一组分点：btttan10)(max11kknkntt)()()(111kkknkntWtWtWI)()()(1002tWt

7、WtW)()()(2112tWtWtW+)()()(112nnntWtWtW)(2102tW)()()(2211nkknktWtWtW)()(2122aWbW211)()(21kknktWtW故)()()(tWdtWIba)()(2122aWbWn nl l. .i i. .m m21211)()(kknktWtW)()(2122aWbW)(21ab注表明Ito随机积分不同于黎曼积分二、二、Ito积分的性质积分的性质性质性质1则因为如果)(tW是普通函数，积分不能有)(21ab若 Ito 积分)()(tWdtXba，)()(tWdtYba存在（1）)()()(tWdtYtXba)()(tWdt

8、Xba)()(tWdtYba（2）)()(tWdtXba)()(tWdtXca)()(tWdtXbcbca证明证明与黎曼积分相仿（略）性质性质2则证明证明设维纳过程)()()(sWdsXtYta，)(tY的均值和相关函数为0)(tYE),min(022121)(),(ttYdssXttR略性质性质3则存在且关于t是均方连续的。证明证明若)()(tWdtXba存在，)()()(sWdsXtYtabta)()(2tYhtYE2)()(sWdsXEhttsdsXEhtt)(20（0h）故)(tY关于 t 是均方连续三、三、Ito微分法则微分法则)()()()()(sWdsBdssAaXtXtata其

9、中)(sA为二阶矩过程且均方可积,设二阶矩过程)(tX (bta)满足)(sB满足定理 1 的条件则第二个积分作为Ito积分存在，且)(aX与)(tW,at 相互独立（1）这时称(1)式定义的随机过程 有(Ito)随机微分)(tX)()()(tdWtBdttA并记为)()()()(tdWtBdttAtdX例例2求随机微分解解由例可知)(2tWd)()(0tWdtWtttW21)(212即ttW)(2)()(20tWdtWt由随机微分的定义)()(2)(2tdWtWdttWd定理定理3Ito公式公式的二次微分函数，则设)(,(tXtf是关于 t 和随机过程)(tX,Tt 若)(tX的随机微分是)

10、()()()(tdWtBdttAtdX)(,()(tXtftY在上也有随机微分，且)()(,()(,()(tAtXtftXtftdYXtdttBtXtfXX)()(,(212 )()()(,(tdWtBtXtfX例例3求随机微分解解设因为所以由Ito公式得)(2ttWd)()(,(2ttWtXtf)()(10)(tdWtdWdttdX)(2ttWddtttW)(2)()(2tdWttW)()(,(2tWtXtft)(2)(,(ttWtXtfXttXtfXX2)(,( 定理定理4设普通函数),(),(21mxxxtFxtF及其导数),(),(),(212100mmxxxtFtxxxtFxtF),

11、(),(),(2121mimiixxxtFxxxxtFxtF),(),(),(21221mjimijijxxxtFxxxxxtFxtFmji, 1,都是连续函数如果随机过程 有随机微分)(tXi)()()()(tdWtBdttAtdXiii则)(,),(),(,()(,()(21tXtXtXtFtXtFtYm有随机微分miiitAtXtFtXtFtdY10)()(,()(,()(dttBtBtXtFmjijiij1,)()()(,(21)()()(,(1tdWtBtXtFmiii注是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，称为Ito公式公式四、四、Ito随机微分方程随机微分方程则在Ito积分和

12、微分的基础上建立的随机微分方程称为Ito随机微分方程设)(tW,Tt 是布朗运动，00)()()(,()(,()(XtXtdWtXtgdttXtftdX与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程随机积分方程ttttsdWsXsgdssXsfXtX00)()(,()(,()(0其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分例例4考虑Ito方程1)0()()()(21)(XtdWtXdttXtdX 取xxtfln),(由Ito公式得)(,(tXtdfdttXtXtXtX)()(121)()21()(122)()()(1tdWtXtX即)()(lntdWdttXd所以)()(lntWttX即

13、)(exp)(tWttX注将 看作普通函数，则解为)(tW)(21exp)(tWttX第三节第三节 Ito积分的特征积分的特征资产价格理论意义下Ito积分tTtdWtS),(0 其中 在信息集 下是非预期的),(tSt一、一、Ito积分是鞅积分是鞅在间隔 内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为uttudWtI则此Ito积分就是鞅。因为给定时间t的信息集 ，如果每个增量是不可预测的，则这些增量的总和也是不可预测的，即 于是故Ito积分 是鞅。0ttuutdWEtuusdWE0stsuuuusdWdWE0suudW00stsuusuusdWEdWEts 0utudW0下面考虑两种有意思的情况：1

14、第一种情况第一种情况假设方差),(tSt是独立于资产价格tS和时间t的常数),(tSt此时Ito积分就等同于Riemann积分即有ttttuWWdW则tuttuudWdWdWE000即积分是鞅因为因为维纳过程的增量具有0均值且是非相关的，ttuudWdWE00故此积分是鞅00WWWWEtt00)(WWWWWWEtttt)(0WWttudW0注当 是常数时，Riemann和Ito积分是相同的且都是鞅),(tSt2第二种情况第二种情况若此时Ito积分就不同于Riemann积分。Ito积分将保持鞅特性，而Riemman将不再具有鞅特性。例如如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差与tS有关，进而也

15、与tW有关，ttStS),(则可表明Ito积分就不同于Riemann积分。用Riemann求和来大致估计Ito积分会导致自相矛盾，方法具体过程如下例：3一个例子一个例子其中偏移量和方差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔 ，对随机微分方程积分ttttdWtSdttSadS),(),(ttStSa),(ttStS),(tSuttuttuttudWSduSdS现在用Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算，看会有什么结果？Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。首先计算然后再乘以矩形的底得)(2(ttttWWWW

16、S)2(ttWWSttWW从而有0)(2(ttttWWWWSE两项相关下面考虑上随机微分方程的简单形式tttdWWdS则其新增项形式为uttudWW用Riemann求和来大致估计这样一个积分，根据底和高为矩形的面积可得由于期望这意味着上式右边的条件期望不为0，即是可预测的，ttttuttuWWWWdWW)2(| )(2(tttttWWWWWE| )(2122tttWWWE210)(2)(222tttttttWWWWWWW从而可知，用Riemann求和来估计Ito积分意味着新增干扰项有一个非零期望值，即但由于Ito积分存在条件： 即有00),(ttttdWtSE),(tSt的非预期性则Ito积分

17、 的近似计算必须是)(,(tttWWtSttttdWtS),(其中),(tSt与增量tW不相关的矛盾0),(ttttdWtSE注如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即Ito积分根本就不存在。二、路径积分二、路径积分考察在期间0，T内资产价格tSTtttn100间隔长度为 ppSSiitt11以概率以概率 nT分割：且有这 个 过 程 的 一 个 通 常 路 径 是 由和组 成 的 序 列 tTtdSSf0假设一个金融分析家要计算积分其有限求和形式为 )1110iiittnitnSSSfV（取特殊路径,则)()(ffVn)()(ff

18、显然nV的 值 依 靠tS的 特 定 轨 线如果nV收敛，就可叫做路径积分但路径积分在随机过程中并不一定收敛。如取符号函数则有即故此路径积分在随机过程中不收敛。)(11iiitttSSsignSfnVnin10T当0时，nV会趋于无穷大注路径积分意义在计算路径积分时，没有用到与 相联系的概率，而是用实际测值来计算的。另一方面，Ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定。1itS非预期重要性由于可预测 的符号，函数能“看到未来情况”，则求和公式中各部分都为正，当n增加时， 就会发散。iittSS1)(fnV三、三、Ito积分存在性积分存在性随机函数),(tSft的 Ito 积分utudSu

19、Sf0,存在的条件是)(f连 续 且 非 预 期也就是说10),(1nittitiiiSStSf的均方会收敛到某个称为Ito积分的随机变量四、相关性四、相关性Ito积分是一随机过程，因此它有各种不同的量一次量即0,0TttdWtWfE非预期函数)(f关于维纳过程tW的积分具有鞅特性二次量协方差duuWfEdWuWfEtuutu2020),(),(方差ttuuuudWuWgdWuWfE00,),(duuWguWfEtuu0),(),(第四节第四节 Ito定理及应用定理及应用在随机环境中，导数的概念是不存在的，资产价格的变动被认为是不可预测的，且在连续时间内变动太不规则，导致资产价格可能连续却不光

20、滑，必须用随机微分来代替导数进行计算。Ito规则给出了一个简化随机微分的公式，并给出了详细的计算。一、一、 导数类型导数类型 在标准计算中，所有变量都是确定型的，可以有三种类型的导数：设),(tSFt是由变量tS和t决定的函数，tS是随着t变化而变化的一个随机过程。偏导数全微分链式导数ttsStSFF,ttSFFtt,dtFdSFdFttstttstFdtdSFdttSdF,导数在金融市场中作用偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个“乘数”。典型例子：是在计算套期保值参数 中用到偏导数，假设一个市场参与者知道 的函数形式，tSFt,偏导数sF衡量的是tS每变动一单位衍生资产价格

21、会变动多少1则因此对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难，但需要知道的不是 随时间的变化，而是假定在时间固定情况下，它对的小变化有什么反应。23),(tSFttS全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动，而导致 的变化，其结果就是随机微分。它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化，对市场交易者很有用。),(tSFt在标准计算中，链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率。在随机计算中，链式导数指的是随机微分相互间的关系，也就是全微分的随机形式。例例1设),(1trF是到期日为 T 的票据的价格，1r为固定的无风险连续复利，且tTrttetrF100,则trrFF

22、tTrtetT 100tFFttTrtter100trdFt, ttTrdretTt100dtertTrtt100注无论tr是确定性的还是随机变量，偏导数不变但全微分同随机事件的实际发生率有关，二者不同。上式给出的是对 为非随机变量的情况。tr二、二、Ito定理的应用定理的应用（一）Ito定理则有Ito公式可得设),(tSFt是关于t和随机过程tS的二次微分函数，ttttdWdtadStS具有正常的漂移和波动参数ta和tttttttttdWSFdtSFtFaSFdF22221dtSFdttFdSSFdFttttt22221或说明说明在分析金融衍生产品时，一旦知道标的资产的随机微分方程，运用It

23、o公式就可得到金融衍生产品的随机微分方程，即知道衍生资产价格的变化。例例2设标准维纳过程tW的函数2,ttWtWFttdWdtdW10求tdF解tttdWWdtdF2因故有Ito定理可得因此因此得到在信息集 下的 的随机微分方程，其偏移率和方差项为即漂移率是常数，方差依赖于信息集。tWFt,例例3tI1,tIat 和ttWtI2,tWtettWF 3,若tW为标准维纳过程则有tWWtdWedtedFtt211此时此时得到在信息集 下的 的随机微分方程，其偏移率和方差项为tWFt,tItWtetIa211,tWtetI,例例4计算Ito积分解解设stsdWW0221,ttWtWF对tWFt,运用

24、 Ito 定理得tttdWWdtdF21其相关积分等式ststtdWWdstWF0021,故tttsdstWFdWW0021,即tWdWWtts212120注这个结果与本章第二节计算出来的结果相同，可作为计算作为计算Ito积分的工具。积分的工具。例例5计算积分解解定义定义tssdW0其中tW是一个维纳过程tttWtWF,由Ito定理得ttttdWdtWdF其对应的积分等式tststssdWdsWsWd000tsttsdsWtWsdW00故注注用Ito定理计算Ito积分的步骤123对新得到的随机微分方程两边进行积分处理，得到一个新的积分等式，该等式所包含的积分的计算要比原积分简单。写出函数tWF

25、t,的形式根据 Ito 定理得到tWFt,的随机微分方程4重新排列积分等式各项，得到最终结果。（二）伊托定理在远期合约定价中的应用（补充内容） 现在以不支付股息的股票为例说明伊托定理在远期合约领域中的应用。 假定各个时期的无风险利率 r 等于常数，远期价格用F表示，则远期价格F与即期价格S之间的关系可表示为 )(tTrSeF所以)(tTreSF022SF)(tTrrSetF如果股票价格S遵循几何布朗运动，并且预期收益和波动率分别是 和 ，即 那么由伊托公式可得远期价格F变化的随机过程为 将 代入上式，得)(tTrSeFdWSedtrSeSedFtTrtTrtTr)()()(SdWSdtdSFd

26、WFdtrdF)(可见，远期价格F与股票价格S一样，也遵循几何布朗运动。但是，远期价格的预期增长率是 ，而不是 。r三、三、 Ito定理的积分形式定理的积分形式微分形式进而可得Ito定理的另一特性：dtFdtFdSFtSdFtssttst221,utstussutdSFduFFSFtSF0020210 ,duFFSFtSFdSFtussututs0200210 ,两边取积分，得积分形式该式说明关于维纳过程和其它连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数表达出来的。注第五节第五节 更复杂情况下的更复杂情况下的Ito公式公式第一种是在某些条件下，函数 可能不只是依赖于单一随机变量 ，这样就要用到多变

27、量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的两种情况：第二种考虑金融市场受到小概率事件影响，这样需要对随机微分方程加上跳跃过程来决定资产价格，相应的Ito公式会改变很多。FtS一、多变量情况一、多变量情况设 为 两个受维纳过程影响的随机过程)(),(21tStS tdWttdWtdttatdS21211111 tdWttdWtdttatdS22212122其中2 , 1,),(),(jittaiji为依赖于)(tSi的漂移和方差参数，)(),(21tWtW为两个独立的维纳过程。设ttStSF),(),(21是)(),(21tStS的连续、二重微 分函数则?tdF 是两个独立的维纳过程的增量结果这个

28、问题可由下面Ito定理的多变量形式得到解决：由于2121dSFdSFdtFdFsstt2122212122212)()(21dSdSFdSFdSFssssss在单变量Ito定理中，等交叉项在均方意义下都等于0。2)(dt和)(1tdtdW、)(2tdtdW且)()(21tdWtdW若在一个固定的间隔内，有 021tWtWE则在均方意义下，有 021tdWtdW由此可得 dttttdS21221121 dttttdS22222122 dttttttdStdS2212211121这些等式代入上式即得双变量Ito公式例例1（金融衍生品）（金融衍生品） 在评价利率期权衍生品的价值时，收益曲线起到很大作

29、用。 利率期权的模型之一是假设收益曲线依赖于两个状态变量，分别是短期利率 和长期利率trtR则利率衍生品的价格就可表示为TttRrFtt, 0,假定利率服从随机微分方程 tdWttdWtdttadrt2121111 tdWttdWtdttadRt2221212其中，长短期利率误差项具有相关性，在固定间隔h内，相关系数为 httttRrCorrtt22122111,市场参与者可通过参数 的选择，由该等式得到长短期利率的相关性和方差特性。在评估利率期权时，需要知道期权价格对收益曲线的变化 和 会怎样变化，也就是要知道随机微分 ，即有Ito公式的多变量形式可得)(tijtdrtdRtdFtRtrttdRFdrFdtFdFdtFFFrRRRrr22122111222221212211221例2 财富假设市场有n种资产