初中几何经典培优题型(三角形)

1、实用标准文档全等三角形辅助线找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可 能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思 维模式是全等变换中的“对折” .2)遇到三角形的中线，倍长中线，使

2、延长线段与原中线长相等，构造全等 三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” .3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定 理或逆定理.4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质 加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.常把某点到原三角形各顶特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题

3、时, 点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.常见辅助线写法：过点A作BC的平行线 AF交DE于F过点A作BC的垂线，垂足为 D延长 AB至C,使BC= AC在AB上截取 AC,使AC= DE作/ ABC的平分线，交 AC于D取AB中点C,连接CD交EF于G点文案大全藉一：平移变18、例1如图，AB= CD= 1, / AOG= 60 ,证明：AO BA 1。（2007年北京中考）如图，已知 ABC请你在BC边上分别取两点D E （BC的中点除外），连接AD AE写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明AB+ AO AA A

4、E已知线段 OA OB OC OD OE OEZ AOB= / BO仔 / COD= / DOE= / EOF= 60° 。且 AD= BE= CF= 2。求证:SL oab-F sl OCD + SL OEF V如图1,在四边形 ABCD,连接对角线 AC BD如果/ 1 = /2,那么/ 仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图 2,设 P为口 ABC呐一点，/ PAB= / PCB 求证：/ PBA= / PDA集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中, 便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径

5、。平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说 将ABCF移至八DEF1 .在正方形 ABC珅，E、F、G H分别是AB BC CD DA边上的点，且 EGL FH求 证：EG=FH2 .如图所示，P为平行四边形 ABCDJ一点，求证：以 AR BR CP DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC3 .如图，已知 ABC勺面积为16, BC= 8,现将 ABC沿直线BC向右平移a个单位到 DEF 的位置。当a=4时，求 ABC所扫过的面积；连接AE AD设AB= 5,当AAD蕾以DE为一腰的等腰三角形时，求 a的值。4 .如图，AA

6、=BB' =CC =1, Z AOB =/BOC =/COA =60 ,求证:SVAOBSvBOCSvCOA、3藉二：族精、如图，E、F分别是正方形 ABCD勺边BC CD上的点，且/ EA已45° , AHL EF, H为垂足, 求证：AH= AB例2ABC43, Z ACB= 90 , AC= BC P是ABCft 的一点，且 AP= 3, C鼻 2, B鼻 1,求/ BPC 的度数。已知在 ABC3, AB= AC P为三角形内一点，且/ APB> / APC求证：PB< PG有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角

7、形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是180° , 90°等等，秘籍二：翻折4已知 ABG / 1 = /2, AB= 2AC, AD= BD 求证：DQAGABC/等腰直角三角形，/ ABC 90° , AB= AE, Z BAE= 30° ,求证：BE= CE在ABC43, E、F为 BC边上的点，已知/ CAE= / BAF CE= BF,求证：AG= AB出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现 特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将

8、AB%转或翻折至 DEF1.如图，O是边长为a的正方形ABCD勺中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形 纸板的圆心方在 O点处，并将纸板绕 O点旋转，其半径分别交 AB AD于点M N,求 证：正方形ABCD勺边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。2. （2008 山东）在梯形 ABCM, AB/ CD / A= 90 , AB= 2, BC= 3, CD= 1, E是 AD中点，i判断 EC与EB的位置关系，并写出推理过程。3.如图，P是等边 ABCrt一点，若AP= 3, PB= 4, PC= 5,求/ APB勺度数。4 .已知：在 RtAABC, / BA(=90 , ABAC点口 E分

9、别为线段 BC上两动点, /DA&5 。猜想BD DE EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。E'5 .如图，已知等腰直角三角线 ABC BD平分/ ABC CEELBD垂足为E,求证：BD= 2CE6 .如图，折叠长方形的一边 AD使点D落在BC边的点F处，如果 AB= 8, BC= 10,求EC 的长。）中点的妙用,一、倍长中线法例1（北京文汇中学 2009-2010期中测试题），AD是 ABC43 BC边上的中线，若 AB 2, AC

10、4,则AD 的取值范围是。例2已知在 ABC3, AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长 BE交AC于F, AF EF,求证:AC BE如图1, EC中点 ABC与4BD曰匀为等腰直角三角形，BAL AC EDL BD点D在AB边上。连接 EC取图1如图2,将4BD或转至如图位置，使 E在AB延长线上，D在CB延长线上，其他条件不变，则中AF, DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。图2F,连接AF DF,猜测AF, DF的数量关系和位置关系，并加以证明。已知四边形 ABC珅，E, F, G, H分别为AR BC CD DA的中点，求证 EFGH；平行四边形。如图，已知四边形

11、ABCM, AB CD M N分别为BC AD中点，延长 MN与AB CD延长线交于E、F,求证/ BEM / CFM已知 ABDF口AACE是直角三角形，且/ ABD /ACE=90° ,连接 DE设M为DE的中点。求证：MB MC设/ BAD / CAE固定RtABD让RtACE移至图示位置，此时 MB MC是否成立？请证明你 的结论。出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法倍长中线法构造中位线如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例7如图，已知AB/口ADEIB是等腰直角三角形， 点M为EC中点，求证 BM四等腰直角三角形。BEA1.在 ABC, AB 12, AC 30,求

12、BC边上的中线 AD的范围。2 .在ABC43, D为BC边上的点，已知/ BAD Z CAD BD CD求证：AB AC3 .如图，在 ABC3, ADL BC M是 BC中点，/ B 2/C,如图，求证：DM - AB24 .已知 ABC, AG7, BC 4, D 为 AB 中点，E 为边 AC上一点，且 AED 901 C,2求CE的长。5 .在任意五边形 ABCDE, M,N,P,Q分别为AR CD BC DE的中点，K、L、分别为 MN PQ的中点，求证：KL平行且等于1 AEO46.如图，已知 ABC3, AB AG CE是AB边上的中线, 那么C蕾CD的几分之几？延长 AB到D

13、,使 BD AB7.四边形 ABCD3边中点分别为 E、F、G H,当四边形 ABC刷足 时，EFG圉菱形；当四边形 ABCDI足 时，EFGIH；矩形；当四边形 ABCDI足 时，EFGH?正方形。快补短法例1在 ABC中，/ B=2/C, / BACW平分线 AD交 BCW D。求证：AB BD ACABC国正方形，P为BC上任意一点，/ PAD勺平分线交 CDT Q 求证：DQ AP BR例3已知 ABC / AB(=90° ,以AB AC为边向外做正方形 ABD序口 ACFG延长BA交EG于H, 则 BC 2AH】补形法例4FBAD是ABC勺角平分线，BE! AD交AD的延长

14、线于 E, EF/ AC交AB于F。求证：AF例5如图，六边形 ABCDEF六个内角都相等，已知 BC CD 11, DE AB 3,求DC EF的值。例6如图所示：BOAB AD AC BD平分/ ABC 求证：Z A ZC 180° 。1.如图，在 ABB, AB BD AC / BAC勺平分线 AD交BC与D,求证：/ B 2/C已知 ABC以AB AC为边向外作正方形 ABGF ACDE M是BC中点，连接 AM 求证：EF= 2AMM AML ER3 .在 ABC, AB AC / A 100 , BE评分/ B交 AC与 E,如图，求证： AE BE BC4 .在 ABC

15、3, D E为AB AC中点，DE与/ B的平分线交与 F,如图所示。求证：AF± BF5 .在 ABC3, MB NC分别是三角形的外角/ ABE / ACF勺角平分线， AML BMANL CN 垂足分别是 M 求证：MN/ BC MN - ( AB AC BC 26 .在 ABC, MB NC分别是三角形的内角/ ABC / ACB勺角平分线，AML BMANL CN 垂足分别是 M N=求证：MN/ BC MN - (AB AC B。2MBACM巧构等边l3*例1在四边形 ABCDK 已知 AB BC CD / ABC 70° , Z BCD 170° ,

16、求/ BAD的度数。例2如图， ABO43, AB AC, AD BC / A 20° ,求/ DCA勺度数。例3任意 ABC试在 ABCJ找一点P,使得PA PB PC的值最小例4（2000北京初二数学竞赛），在等腰 ABC中，延长边AB到点D,延长边CAIU点E,连接DE恰有 AD BC CE DE 求证：/ BAC 100 。例5如图所示，在 ABC43, Z B 60 ZA 100° , E 为 AC的中点，/ DEC 80° , D是 BC边 上的点，BC 1,求 ABC勺面积与 CDE勺面积的两倍的和。例6如图所示，在 ABCK / ACB 2/ABC P为三角形内一点， AP AG PB PC 求证：/ BAC 3/ BAP1.如图所示，在四边形ABCD中,BC CD , BCA ACD 60 ,求证：AD CDAB。2 .在 ABC 中，AB AC , 60 A 120 , P 为 ABC 内部一点， PC AC, PC