初中二次函数综合题经典习题

1、学习资料收集于网络，仅供参考与交流二次函数综合题训练题型集合1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0) ，直线 yxm 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为 (3,4) ， B 点在轴 y 上.（ 1）求 m 的值及这个二次函数的关系式；（ 2） P 为线段 AB上的一个动点（点 P 与 A、 B 不重合），过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为 h ，点 P 的横坐标为x ，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 3） D 为直线 AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，

2、使得四边形 DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由 .yPADBEO Cx2、如图 2，已知二次函数 y ax2图 14xc 的图像经过点 A 和点 B（ 1）求该二次函数的表达式；（ 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（ 3）点 P（m，m）与点 Q均在该函数图像上（其中 m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点Q到x轴的距离ym 1 O3A1x 9B图 23、如图3，已知抛物线ya x2b xc 经过 O(0,0) ， A(4,0),B(3,3) 三点，连结AB，过点 B 作 BC x 轴交该抛物线于点 C.（ 1） 求这条抛物线的函数关系式

3、 .（ 2） 两个动点 P、 Q分别从 O、 A 两点同时出发 , 以每秒 1 个单位长度的速度运动 . 其中，点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动，点 Q沿着折线 A BC 的路线向 C 点运动 . 设这两个动如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流点运动的时间为t （秒 ) (0 t 4) ， PQA的面积记为S. 求 S 与 t 的函数关系式； 当 t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的 t 值，使得 PQA是直角三角形 ?若存在，请直接写出此时 P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由 .yCBQOPAx图 34、某公

4、司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后， 公司经历了从亏损到盈利的过程.图4 的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与 t 之间的关系） .根据图象提供信息，解答下列问题：（ 1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（ 2）累积利润 S 与时间 t 之间的函数关系式；（ 3）求截止到几月末公司累积利润可达30 万元；S(万元 )（ 4）求第 8 个月公司所获利是多少元？43210 1 2 3 4 5 6 t(月)-1-2-3图 45、 (07 年海口模拟二 ) 如图 5，已知抛物线 ya x 2b xc 的顶点坐标为E（

5、1,0），与 y 轴的交点坐标为（0,1 ） .（ 1）求该抛物线的函数关系式 .（ 2） A、 B 是 x 轴上两个动点，且 A、 B 间的距离为交抛物线于 D，过 B 作 BC x 轴交抛物线于的面积为 S. 求 S 与 t 之间的函数关系式 .AB=4， A 在 B 的左边，过 A 作 AD x 轴 C. 设 A 点的坐标为（ t ,0 ），四边形 ABCD 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得 PAE的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.如有侵权，请联系网

6、站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流yyDC11AOEBxO Ex图 5备用图6、 (07 浙江中考 ) 如图 6，抛物线 yx22x3 与 x 轴交 A、 B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交于 A、 C两点，其中C 点的横坐标为 2。（1）求 A、 B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2） P 是线段 AC上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE长度的最大值；（3）点 G抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、 C、 F、 G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标； 如果不存在， 请说

7、明理由。图 6备 用7、（ 07 海南中考）如图 7，直线 y4 x 4 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，已知二次3函数的图象经过点 A 、 C 和点 B1,0 .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形 AOCM 的面积；（3）有两动点 D 、 E 同时从点 O 出发，其中点D 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线OAC2按 O A C 的路线运动，点E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线OCA按OC A 的路线运动， 当 D 、 E 两点相遇时， 它们都停止运动 . 设 D 、E 同时从点 O 出发 t 秒时， ODE 的面积为 S .请问

8、D 、 E 两点在运动过程中，是否存在DE OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；设 S 是中函数 S 的最大值，那么S =.00yyyMMMCCCBABABAOxOxOx图7备用备用8、（ 05 海南中考）如图8，抛物线yx2bxc 与 x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点 .(1) 求该抛物线的解析式；(2) 设 (1) 中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 SPAB=8, 并求出此时 P 点的坐标；(3)

9、设 (1) 中抛物线交 y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；图 8若不存在，请说明理由 .9、（ 04 海口中考）如图22y9、已知抛物线 y=x +(2n-1)x+n-1 (n为常数 ).(1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，2求出它所对应的函数关系式；1(2) 设 A 是(1) 所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左BC侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点D，-10123 4 x再作 AB x 轴于 B，DC x 轴于 C.-1当 BC=1时，求矩形 ABCD的周长；-2AD试问矩形

10、 ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这-3个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图 910、（ 07本校模拟一）如图 10，已知点A(0,8) ，在抛物线 y1x2 上，以 A 为顶点的四边形ABCD是平行四边形，y2且项点 B，C， D 在抛物线上， AD x 轴，点 D 在第一象限 .AD(1) 求 BC的长；(2) 若点 P是线段 CD上一动点，当点 P 运动到何位置时，BC如有侵权，请联系网站删除Ox图 10学习资料收集于网络，仅供参考与交流 DAP的面积是 7.(3) 连结 AC， E 为 AC上一动点，当点 E 运动到何位置时，直线 OE将ABCD分

11、成面积相等的两部分？并求此时E 点的坐标及直线 OE的函数关系式 .11、（ 07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型( 如5 米M图 11-1),拱高 6 米 , 跨度 20 米, 相邻两支柱间的距离均为5 米 .（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中( 如图 11-2所示)，10 米N6 米其表达式是 yax2c的形式 .请根据所给的数据求出a , c 的值 .20米（2）求支柱 MN的长度 .图 11-1（3）拱桥下地平面是双向行车道( 正中间 DE是一条宽2 米yC的隔离带 ) ，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高 3米的三辆汽车 ( 汽车间的间隔忽略不计) ？请说说你的理由 .

12、DEAOB x图 11-2如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流二次函数综合题训练题型集合1、 (1) m=1. 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即 y=x 2-2x+1.(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=y P-y E =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即 h=-x 2+3x (0 x 3).(3) 存在 .要使四边形 DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点 D在直线 y=x+1 上 , 点 D 的坐标为 (1,2),-x22x =2， x =1 ( 不合+3x=2 .即 x -3x+2=0 . 解之，得12题

13、意，舍去 ) 当 P 点的坐标为 (2,3)时，四边形 DCEP是平行四边形 .2、解：（ 1）二次函数的表达式为yx 24x6 （ 2）对称轴为 x2 ；顶点坐标为（2， -10 ）（ 3）将（ m， m）代入 yx 24 x6 ，得mm24m6 ，解得 m11, m26 0，m11不合题意，舍去m=6点 P 与点 Q关于对称轴 x 2 对称，点mQ到 x 轴的距离为 63、（ 1） 所求抛物线的函数关系式为y3 x24 3 x .33（ 2） 过点 B 作 BE x 轴于 E，则 BE=3， AE=1，AB=2.由 tan BAE=BE3 ，AE得 BAE =60° .（）当点

14、Q在线段 AB上运动，即0 t 2 时， QA=t，PA=4- t .过点 Q作 QF x 轴于 F，则 QF=3 t ，y2 S= 1 PA· QF 1 ( 4 t )3 t3 t 23 t .CB2224（）当点Q在线段 BC上运动，即2 t 4 时， Q点Q的纵坐标为3 ， PA=4- t . 这 S= 1 (4t)33 t2 3OPEF Ax22（）当 0 t 2 时， S3t23 t3 (t2)23 .图 134430 ， 当 t =2 时， S有最大值，最大值S=3 .4（）当2 t 4 时， S3 t2330， S 随着 t 的增大而减小 .22 当 t =2 时， S

15、有最大值，最大值S32233 .2综合（）（），当 t =2 时， S 有最大值，最大值为3 . PQA是等边三角形 . 存在.当点 Q 在线段 AB 上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA=90°，这时PA=2QA，即4- t=2 t ，t4. P 、 Q 两点的坐标分别为P1( 4 ,0)，33如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流Q1( 10, 2 3).33当点 Q在线段 BC上运动时， Q、P 两点的横坐标分别为5- t 和 t ，要使得 PQA是直角三角形，则必须5- t = t ， t5 P 、 Q两点的坐标分别为P2(5 ,0) ，Q2

16、( 5, 3)2224、（ 1）由图象可知公司从第4 个月末以后开始扭亏为盈（ 2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. 所求函数关系式的图象过 (0,0)，于是得a(t-2)2-2=0 ，解得 a= 1 . 所求函数关系式为： S= 1 t-2) 2-2 或 S= 1 t 2-2t.（ 3）把2221212S=30 代入 S=t-2)，得t-2)=-6 （舍去） .-2-2=30 解得 t =10， t1222答：截止到 10 月末公司累积利润可达30万元.（ 4）把 t=7 代入关系式， 得 S= 1 × 72-2y2×7=

17、10.5把 t=8S=1 × 82-2 × 8=16代入关系式，得216-10.5=5.5答：第 8个月公司所获利是5.5 万元 .DC5、（ 1） 抛物线 ya x2b x c 顶点为 F（1,0 ）1) 2 该抛线经过点1) 21P ya (xE（0,1 ） 1 a (0A O EBx a1 y( x1) 2 ， 即函数关系式为y x22 x1 .（2） A 点的坐标为（ t ,0 ） , AB=4 ，且点 C、 D 在抛物线上， B 、 C、 D 点的坐标分别为(t +4,0)， (t +4, (t+3)2) ，(t ,( t -1) 2).S1( ADBC)AB1

18、( t1)2( t 3) 2 44t 28t20.22 S4 t 28t204 ( t1) 216 当 t =-1时，四边形 ABCD的最小面积为 16此时 AD=BC=AB=DC=4，四边形 ABCD是正方形 当四边形 ABCD的面积最小时，四边形 ABCD是正方形，其对角线BD上存在点 P, 使得PAE的周长最小 . AE=4（定值），要使PAE的周长最小，只需PA+PE最小 .此时四边形 ABCD是正方形，点A 与点 C 关于 BD所在直线对称 ,由几何知识可知， P 是直线 CE与正方形 ABCD对角线 BD的交点 .点 E、 B、 C、 D 的坐标分别为（1,0 ）（ 3,0）（3,

19、4 ）（ -1,4 ）直线 BD， EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.P( 5, 4)33在 Rt CEB中， CE= 224225 , PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+5 .6、解：（ 1） C（ 2， 3）直线AC的函数解析式是y= x1（2）设 P 点的横坐标为（ 1 2）则 P、E 的坐标分别为：P（ ，x1），（1 分）xxx如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流yMyME （( x, x22x 3) P 点 在E点的上方，CCEEPE=(x 1)( x22x3)x2x2 当 x1时， PE的最大值 =9D

20、24BABAx（ 3）存在 4个这样的点 F，分别是 F (1,0), F(3,0), F (47), F(47)OF DxO12347、解：（ 1） y4 x 28 x4（ 2）顶点M 的坐标为1, 16过点 M作333MFx 轴于 F S四边形 AOCMS AFMS梯形 FOCM= 1311614161102323四边形 AOCM的面积为10 （ 3）不存在 DE OC 若 DEOC，则点 D、 E 应分别在线段OA、 CA上，此时 1<t<2,在 Rt AOC中， AC=5.设点 E 的坐标为x1 , y1x14t4， x112t 12 DE OC，355 12t123 t

21、t8 t8>2，不满足 1<t<2. 不存在 DE OC.5233根据题意得 D、 E 两点相遇的时间为3 4524 （秒） 现分情况讨论如下：当 0 <t 1时， S13 t 4t3t 2；3411222当 1< t 2 时，设点 E 的坐标为x2y254t4， y23616t, y2 455 S13 t36 16t12 t 227 t22555当 2 < t< 24 时，设点 E 的坐标为x3 , y3 ，类似可得y336516t1133y4t6t12设点 D 的坐标为x4 , y42， y4554SSAOES AOD如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流13616t16t12353=22510、（ 1）四边形ABCD是平行四边形， AD=BC. A(0,8),33722435t S0580设 D点坐标为