函数的连续性课件

1、函数的连续性函数增量的概念函数增量的概念设变量设变量u从它的一个初值从它的一个初值1u变到终值变到终值,2u则称则称2u1u与初值与初值的差的差12uu 为变量为变量u的的增量增量(改变量改变量),记作记作,u 即即.12uuu 增量增量u 可以是正的可以是正的, 也可以是负的也可以是负的. 当当 为正为正u 时时,变量变量u的终值的终值uuu 12大于初值大于初值;1u当当 为负时为负时,u 2u小于初值小于初值.1u注注:而是一个不可分割的而是一个不可分割的记号记号 不是不是 与与 的积的积,u u记号记号.函数的连续性设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某一领域内有的某一领域内有定义

2、定义1定义定义.个领域内从个领域内从0 x变到变到 )时时,xx 0相应地相应地, 函数函数)(xfy 从从)(0 xf变到变到),(0 xxf 则称则称)()(00 xfxxfy 为函数为函数)(xfy 的对应的对应增量增量当自变量当自变量x在在0 x处取得增量处取得增量x (即即 x在这在这函数的连续性连续函数的概念连续函数的概念设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一领域内有定义的某一领域内有定义.定义定义2如果当自变量在点如果当自变量在点 的增量的增量 趋于零时趋于零时,0 xx 函数函数)(xfy 对应的增量对应的增量y 也趋于零也趋于零, 即即0lim0 yx或或, 0)()(li

3、m000 xfxxfx则称函数则称函数 在在 处处连续连续,)(xf0 x0 x称为称为 的的连续点连续点.)(xf注注: 该定义表明该定义表明, 函数在一点连续的本质特征是函数在一点连续的本质特征是:自自变量变化很小时变量变化很小时, 对应的函数值的变化也很小对应的函数值的变化也很小.函数的连续性例如例如, 函数函数 在点在点 处是来连续的处是来连续的,2xy 20 x因为因为 )2()2(limlim00fxfyxx 2202)2(lim xfx 20)(4limxxx 在定义在定义2中中, 若令若令,0 xxx 即即,0 xxx 则当则当 时时,0 x即当即当 时时,0 xx 有有).(

4、)()()(000 xfxfxfxxfy 函数的连续性因而因而, 函数在点函数在点 处连续的定义又可叙述如下处连续的定义又可叙述如下:0 x定义定义3 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x的某一个领域内的某一个领域内有定义有定义. 如果函数如果函数 当当 时的极限存在时的极限存在,)(xf0 xx 且等于它在点且等于它在点0 x处的函数值处的函数值),(0 xf即即),()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数)(xf在点在点x处处连续连续.函数的连续性例例 1试证函数试证函数 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x处连续处连续.证证, 01sinlim0 xxx又又, 0)0

5、( f),0()(lim0fxfx 由定义由定义2知，知，函数函数)(xf在在0 x处连续处连续.函数的连续性函数的左连续与右连续函数的左连续与右连续若函数若函数)(xf在在,(0 xa内有定义内有定义, ,且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 则称则称)(xf在点在点0 x处处左连续左连续;若函数若函数)(xf在在),0bx内有定义内有定义, , 且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 则称则称)(xf在点在点0 x处处右连续右连续. .定理定理1 函数函数)(xf在在0 x处连续的充要条件是处连续的充要条件是函数函数)(xf在在0 x处既左连续又右连续处既左连续又右连续. .函数

6、的连续性例例 2讨论讨论 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x处的连续性处的连续性.解解 2lim)(lim00 xxfxx右连续但不左连续右连续但不左连续, ,),0(2f 2lim)(lim00 xxfxx),0(2f 故函数故函数)(xf在点在点0 x处不连续处不连续. .函数的连续性例例 3已知函数已知函数 0,20, 1)(2xbxxxxf在点在点0 x处连续，处连续， 求求b的值的值.解解)(lim0 xfx , 1 )(lim0 xfx , b 因为因为)(xf点点0 x处连续，处连续， 则则 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即. 1 b)1(lim20 xx

7、)2(lim0bxx 函数的连续性连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间内每一点都连续的函数在区间内每一点都连续的函数, ,叫做在该区间内叫做在该区间内的连续函数的连续函数, ,或者说函数在该或者说函数在该区间内连续区间内连续. .如果函数在开区间如果函数在开区间),(ba内连续内连续, , 并且在左端点并且在左端点ax 处右连续处右连续, ,在右端点在右端点bx 处左连续处左连续, ,则称则称连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .例如例如, ,有理整函数在区间有理整函数在区间),( 内是连续的内是连续的. .函数函数)(xf在在闭区间闭区间,b

8、a上连续上连续. ., ,函数的连续性例例 4证证),( xy ,2cos2sin2 xxx12cos xx2sin2x . 0 y即函数即函数对任意对任意都是连续的都是连续的.xysin ),( x证明函数证明函数xysin 在区间在区间内连续内连续.),( x当当时，时，0 x y,x xxxsin)sin( 函数的连续性例例 5讨论讨论 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x处的连续性处的连续性.解解 2lim)(lim00 xxfxx, 2 2lim)(lim00 xxfxx, 2 所以所以, , 的左、右极限存在但不相等的左、右极限存在但不相等. .即即)(xf在点在点0 x)(

9、xf在点在点0 x处不连续处不连续. .函数函数函数的连续性例例 6解解讨论函数讨论函数 1,11, 110,2)(xxxxxxf在在处的连续性处的连续性.1 x, 1)1( f, 2)01( f. 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 所以所以 在在 处不连续处不连续( )f x1x 函数的连续性例例 7处的连续性处的连续性.解解讨论函数讨论函数 0,0,1)(xxxxxf在在0 x,)(lim, 0)(lim00 xfxfxx因为因为在在即即)(xf0 x的右极限不存在的右极限不存在. .函数的连续性例例 8讨论函数讨论函数xxf1sin)( 解解在在0 x处的连续处的连续性性.

10、)(xf在在0 x处没有定义处没有定义, , 且且xx1sinlim0不存在不存在. .所以所以,0 x 在在函数函数)(xf处不连续处不连续. .函数的连续性例例 9a取何值时，取何值时， ,0,0,cos)(xxaxxxf在在0 x处连续处连续.解解,)0(af )(lim0 xfx )(lim0 xfx xxcoslim0 )(lim0 xax , 1 .a 要使要使),0()00()00(fff 必须必须. 1 a故当且仅当故当且仅当时，时，1 a函数函数处连续处连续.)(xf0 x在在函数的连续性连续函数的四则运算连续函数的四则运算定理定理1若函数若函数)(),(xgxf在点在点0

11、x处连续处连续, ,则则),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在点在点0 x处也连续处也连续. .例如例如, ,在在,sin xxcos),( 内连续内连续, ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定义域内连续在其定义域内连续. .函数的连续性复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3设函数设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续, ,且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0uu 处连续处连续,则复合函数则复合函数)(xf 在点在点0 x处也连续处也连续. .例如例如, ,x

12、u1 在在), 0()0 ,( 内连续内连续, ,函数函数uysin 在在),( 内连续内连续, ,函数函数xy1sin 在在), 0()0 ,( 内连续内连续. .所以所以注注: 根据这个定理根据这个定理, 求复合函数求复合函数)(xf 的极限的极限函数的连续性例例 10求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理4一切初级函数一切初级函数在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.定理定理4的结论非常重要的结论非常重要, 因为微积分

13、的研究遇到的因为微积分的研究遇到的函数基本上是初等函数函数基本上是初等函数,其连续性的条件总是满足其连续性的条件总是满足的的,从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景前景. 此外此外,根据定理根据定理4, 求初等函数在其定义区求初等函数在其定义区间内某点的极限间内某点的极限, 只需求初等函数在该点的函数值只需求初等函数在该点的函数值即即 00)()(lim0 xxfxfxx定义区间定义区间).函数的连续性例例11求求.12lim2 xexx因为因为12 xex是初等函数是初等函数, 且且20 x是其定是其定义区间内的点义区间内的点, 所以所以12 x

14、ex在点在点20 x处连续处连续,于是于是.512212lim222eexexx 函数的连续性最大值和最小值定理最大值和最小值定理定义定义对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数),(xf如果如果有有,0Ix 使得对于任一使得对于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf在区间在区间I上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),( 上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy函数的连续性定理定

15、理5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理6(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界一定在该区间上有界.函数的连续性零点定理零点定理定义定义如果如果0 x使使, 0)(0 xf则则0 x称为函数称为函数)(xf的零点的零点. .定理定理7(零点定理零点定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,且且)(af与与)(bf异号异号(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一点一点 ),(ba 使使. 0)( f那么在开区那么在开区),(ba内至少有函数内至少有函数间间)(xf的一个零点的一个零点, ,即方程即方程0)( xf在在),(ba内至少存在一个实根内至少存在一个实根. .函数的连续性例例 12证证证明方程证明方程01423 xx少有一个实根少有一个实根 .令令,14)(23 xxxf则则)(xf在在1, 0上连续上连续 .又又,01)0( f,02)1( f由零点定理由零点定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在区间在区间)1, 0(内至内至在在)