命题优质学案

1、全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)1. 1命题及其关系学习目标1. 1.1 命题1.理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否 为命题.2能判断命题的真假.3.能把命题改写成“若P,则q”的形式.预习案自主学习*新知提炼rr自我尝试；，错误的打“X”)()()答案：等腰三角形 两个底角相等探究案T讲练至动I探究点一命题的判断 例a下列语句中，是命题的有() 函数y= x2是单调增函数；作一个半径为 kL 並.-<3丿5的圆;若 f(x) = sin X,则 f的两条直线平行吗？若x>1，则x>0.A . 2个B. 3个C. 4个D . 5个解析是陈述句，假命题；

2、是祈使句，2 ；2x2+ x>3;垂直于同一平面不是命题；是陈述句，是真命题；无法判断“2x2 + x>3”是否成立，所以不是命题; 是疑问句，不是命题；是命题.答案B求解策略I判断语句是否是命题的策略(1) 命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感 叹句等都不是命题.(2) 对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判 断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.#跟踪训陈1.判断下列语句是否是命题，并说明理由.(1) x2 + 2x 1=0;(2) 若 x R，贝J x2 + 4x+ 5>0；(3) 一个数的算术平方根一定是负数；(4) 若a与b是无

3、理数，则ab是无理数.解：(1)不是命题.因为字母的性质不明确，不能判断真假，所以不是命题.是命题.因为它是陈述句，并且可以判断真假.(3) 是命题.因为一个数的算术平方根为非负数.(4) 是命题.“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句， 可以判断真假.探究点二命题真假的判断 例 判断下列命题的真假：(1) 若 a>b,则 a2>b2;(2) x= 1 是方程(X 2)(x 1) = 0 的根；(3) 若a、b都是奇数，则ab必是奇数；直线y= x与圆(x 1)2 + y2= 1相切. 解(1)为假命题，如a= 1, b= 2时，有 a>b,但 a2<b2.为真命

4、题，由方程的根的定义，将x= 1代入方程，即可作出 判断.(3)为真命题，令 a= 2k1 +1, b= 2k2 + 1(k1, k? Z),贝J ab= 2(2k1 k2 + k1 + k2) + 1,显然2k1k2 + k + k2是一个整数，故ab是奇数.J2为假命题，圆心到直线的距离d = 小于圆的半径1,直线与 圆相交.Q互动探究 若将本例中ab”改为“a+ b”，则结果如何？ 解：取a= 3, b = 7,则a+ b= 10为偶数，故命题错误，为假命 题.方法归纳I判断命题真假的两个技巧(1) 真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、 定理、公理、法则、公式等，借助于题

5、目中的已知条件，经过严格科 学地推理论证得出要证的结论.(2) 假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可.g!跟踪M陈2.判断下列命题的真假，并说明理由.(1) 正方形既是矩形又是菱形；(2) 当 x = 4 时，2x+ 1< 0;(3) 一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列.解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱 形.(2)是假命题,x= 4不满足2x+ 1 < 0.是假命题，因为当等比数列的首项a1 <0,公比q> 1时，该 数列为递减数列.探究点三命题的结构形式例国 把下列命题改写成“若P,则q”的形式，并判断真假.(1)

6、 实数的平方是非负数；(2) 等底等高的两个三角形是全等三角形；(3) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数.真命题.(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.假 命题.若一个点在角的平分线上，贝y该点到这个角的两边的距离相 等真命题.方法归纳I明确命題的耒件和结论方钺(1) 将命题改写为“若P,则q”形式的方法及原则写成井炙件4),则皓轮丽的幣式(2) 命题改写中的注意点若命题不是以“若P,则q”这种形式给出时，首先要确定这个 命题的条件P和结论q,进而再写成“若P,则q”的形式.跟踪训薛3.将下列命题改写成“若P,则q”的形式，并判

7、断 命题的真假.(1) 6是12和18的公约数；(2) 当a> 1时，方程ax2+ 2x 1 = 0有两个不等实根；(3) 平行四边形的对角线互相平分；已知X, y为非零自然数，当y x= 2时，y=4, x= 2. 解：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数，是真命题.若a> 1,则方程ax2 + 2x 1 = 0有两个不等实根，是假命题.(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真 命题.已知x, y为非零自然数，若yx=2,则y= 4, x= 2,是假 命题.1. 对判断的理解所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清， 命题的实质是对某一前

8、提条件下的相应的结论的一个判断，这个判断 可能正确也可能错误.2. 对命题的构成形式的四点说明(1) 任何命题都有条件和结论，数学中，一些命题表面上看不具 有“若P,则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式， 就可以写成“若P,则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么 这两个角相等”.这样，命题的条件和结论就十分清楚了.(2) 将含有大前提的命题改写为“若 P,则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件P中.(3) 改写前后命题的真假性不发生变化.(4) 还有一些命题不能写成“若P,则q”的形式，如“某些三角 形没有外接圆”. 匱1. 命题“平行四边形的对角

9、线既互相平分，也互相垂直”的结全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）论是（）也互相垂直q”的形式后可知C正确.故A .这个四边形的对角线互相平分 B .这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分，D .这个四边形是平行四边形 解析：选C.把命题改写成“若P,则 选C.2. 给出下列命题： 若直线I丄平面a直线m丄平面 若a, b都是正实数，则a+ b>2yab; 若x2 > X,则x> 1 ； 函数y= X3是指数函数.其中假命题的个数为（A . 1C. 3解析：选C.显然错误，所以是假命题；由基本不等式，知 是真命题；中，由x2>X,得XV 0或

10、x> 1,所以是假命题； 中函数y=x3是幕函数，不是指数函数，是假命题,故选C.3. “常数列是等差数列”是 题，“常数列是等比数列”是题.（填“真”“假”）解析：“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列” 是假命题.答案：真假4. 将命题“ a>0时，函数y= ax+ b的值随x的增大而增大”写 成“若P,则q”的形式，并判断真假.解：“若P,则q”的形式：若a>0,贝y函数y= ax+ b的值随x 增大而增大.因为a>0,所以函数y= ax+ b为增函数，故该命题为真命题. 应用案T巩I固提升巧练 SB踪騎讦A 基础达标1下列语句不是命题的有（） 若 a&

11、gt;b, b>c,贝J a>c；x>2；3v4；函数 y = ax（a>0, 且az 1）在R上是增函数.A . 0个B. 1个C. 2个D . 3个解析：选B.是可以判断真假的陈述句，是命题；不能 判断真假，不是命题.2命题：梯形的对角线互相平分，该命题的条件是 （）A .四边形是梯形B .对角线C.互相平分D .对角线互相平分解析：选A.命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互 相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形.3. 下列命题中真命题的个数为（） 面积相等的三角形是全等三角形； 若 xy= 0,则 |x|+ |y| = 0; 若 a>b,贝J a+

12、 c>b+ c; 矩形的对角线互相垂直.A . 1B. 2C. 3D . 4解析：选A.错；中x= 3, y= 0,则xy= 0,但|x|+ |y|M0, 故错；正确；中矩形的对角线相等不一定互相垂直.4. 下列命题正确的是（）A .若 a>b,则 ac2>bc2B .若 a> b,则a>bC .若 ac>bc，则 a>bD .若 a>b,则 a c>b c解析：选D.当c= 0时选项A不正确；a> b时，a<b,选项B 不正确；当c<0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项 D正确， 故选D.）“ X+ y为有理数，则x

13、, y也都是有理数”是真命题5. 下列说法正确的是（A .命题B .语句“当a>4时，方程x24x + a = 0有实根”不是命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 “当x<0时，方程X2 4x= 0有根”是假命题C .命题D. 语句解析：选D.选项A不正确，如x=V3, y= 73,则x+ y= 0为 有理数；语句“当a>4时，方程x2 4x+ a= 0有实根”是陈述句而 且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错 误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正 确的.6. 把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若 P,则q”的

14、形式为.答案：若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除7. 下列命题：y=x2+ 3为偶函数；0不是自然数；x N|0<xv 12是无 限集；如果 ab= 0，那么a = 0,或b= 0.其中是真命题的是 （写出所有真命题的序号）.全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)解析：为真命题；为假命题.答案：8下列命题中，真命题是. 若 a2= b2,则 |a|=|b|; 若 MU N= N,贝J M? N; 函数y= sin x, x 0, 2 n 是周期函数； 若直线I与m异面，m与n异面，则I与n异面.解析：中a2= |a|2, b2= |b|2,故正确；正确；x 0, 2 n 时

15、不符合周期函数的定义，不是周期函数；I与n有可能共面.答案：9 .判断下列命题的真假.(1) 形如a+/2b的数是无理数；(2) 负项等差数列的公差小于零；(3) 函数y= ax是指数函数；关于x的方程ax+ 1= x + 2有唯一解.解：(1)为假命题，如当a= 1, b=V2时，a+V2b是有理数.(2) 为假命题,如数列一10, 8, 6, 4, 2,它的公差是2.(3) 当a>0且aM1时，函数y= ax是指数函数，所以是假命题.关于x的方程ax+ 1 = X + 2即(a 1)x= 1,当a= 1时，方程无 解；当aM1时，方程有唯一解，所以是假命题.10.把下列命题改写成“若

16、P,则q”的形式，并判断其真假.(1) 末位数字是0的整数能被5整除；(2) 偶函数的图象关于y轴对称；(3) 菱形的对角线互相垂直.解：(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除，为 真命题.若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于 y轴对称，为 真命题.若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题.B能力提升1.下面的命题中是真命题的是()A . y= sin2x的最小正周期为2 n若方程ax2+bx+ c=O(aM0)的两非零根同号，贝J 7>0aC.若 a= (1, k), b= ( 2, 6), a/ b,贝J k= 3D .在 ABC中，若AB BC>0

17、，则B为锐角解析：选 B.y= si n2x= 1 C0S 2, T= 2n=n ,故 A 为假命题； 因为a/ b,所以2 = k,得k=- 3,故C为假命题；当AB BC>0 时，向量AB与BC的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题.2. 命题“ 3mx +mx+ 1> 0恒成立”是真命题，贝卩实数m的取值 范围是.解析：“ Bmx2 + mx+ 1 > 0恒成立”是真命题，需对m进行分类 讨论.当m= 0时，1>0恒成立，所以m= 0满足题意；当 m>0,且 = m2 12m< 0,即 0<m< 12 时，3mx2 + mx+ 1 >

18、0恒成立，所以0< m< 12满足题意；当m< 0时，3mx2 + mx+ 1 > 0不恒成立.综上知0W m< 12.答案：0, 12)3. 已知p： x2 2x 2> 1 ； q: 0<x<4,若p是真命题，q是假命 题，求实数x的取值范围.解：由 x2 2x 2> 1,即 x2 2x 3>0.解得x< 1或x> 3.故 p： x< 1 或 x>3.又q： 0<x<4,且P为真命题,q为假命题，x< 1 或x>3,则1lx< 0或x>4,所以x< 1或x> 4.故满足条件的实数x的取值范围为(一乂，一1U 4, +乂).4. (选做题)已知命题甲：关于x的不等式X2 + (a 1)x+ a2<0的解 集为？；命题乙：指数函数y= (2a2 a)x为增函数.当甲、乙两个命题 中有且只有一个为真命题时，求实数 a的取值范围