常微分方程第二版答案第6章6-

1、习题61求出齐次线性微分方程组字W的通解，其中分别为:10 1丿；(3) A(t)= 0 1(1)方程组的分量形式为:</v,</>s从后一式容易求出儿的通解为y, = ke，其中K为任意常数，可分别取比=0和儿=几 代入前一式得到两个相应的特解，儿=0'和 儿=沧'这样就求得方程组的一个解矩阵为e(0 =乂 detea)=KH0。因此,0(0是方程组的一个基解矩阵,根据定理6.1，方程的通解为/ >'1=C|+ £*2te(2)方程的分量形式为dt 如由、可和令+ y严。山观察法知，”=cosf, y,=sinz为此方程的两个特解，将

2、其代入式可得两个相应的特解，将其代入式可得两个相应的特解：儿=-sinr, y,=cost。这样就求得方程组的一个解矩阵为0(0 ='COST $int、一$int cosz)中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为'COSZ ''5 ini '=q+ 2b丿l-smt 丿COSf ,乂 det = e(/) = 1 M 0 ,因此y；=儿(3)程组的分量形式为：冗=儿丿；=为解+®得<()1+儿)=”+儿 at解-得,(必-儿)=必-儿 at解之得>'| +儿=如”一儿=kg'山.可得>*1+£20

3、')=5疋 +50-'山此可求得方程组的一个解矩阵(/) =显然,因此(f)是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解/ 、 儿1"0)*'>'2=C)0+ G+60 /、0丿一 Q /det e(f) = -zK hO,TZ 、 X/ 八 对3.试证向量函数组000e90 /不全为零的三个常数使得在任意区间a<x<hh线性相关，则存在T0+ c.0+ C3 0090 /=0,即G+OX + G，=0而式之左端是一个不高于二 a<x<h次的多项武，它最多只可能有二个零点，同此这与式在6/<%</7 h恒等于零矛盾,

4、从而得证。4.试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组= A（x）y与 dx勞Bgy有一个相同的基解矩阵，则A（x） = B（x）证：设这两个方程组的相同基解矩阵为e（Q那么，必有deteko,故ea）可 逆，设逆矩阵为7（劝，同而A（x） = e"（X）= Bx） 证毕 eZv6设当时，非齐次线性方程组 = A（xy + f（x） （1）中的/（x）不恒 （lx为零。证明（1）有且至多有n+1个线性无关解。证 设X（x），儿（X）是方程组（1）的相应齐次方程组的n个线性无关的解，卩（X） 是（1）任意:一个特解，则”（丫） + 0（%），儿（兀）+0（/）9,儿（%） +卩（

5、尤）是的n+1个线性无关解这是因为，若存在常数gk空使得匕（X（X）+ 0 （大）+ + 心（儿（X）+（p（x） + kg0（X）三 0则一定有&=k严k”=k叶严0否则有一 £ 卩心莎Er®十科占石儿这与0（兀）为仃）的解矛盾，因此，k +取+匕+忍+1三0假设可知=k,=- = k =0故心屛=0,所以（1）n+1个线性无关的解。乂设0（兀）是（1）在（a,b）上的任一解，开儿儿4是（1）的n+1个线性无关的解，那么，0（大）-”（人）9 0（羽-儿（小，0（x）-儿+（x）是的对应齐次方程组 字= AWy（2）ax的解，而（2）最多有n个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数匕卫2,，忍+1，使«（0（x） - y J + ©（0（ X）-儿）+ kg（0（x） - 儿 J = 0即（1+匕+心+»（兀）=«”+匕儿+兀泊显然，«+忍+¥否则，存在不全为零的常数匕匕十使得« 儿（X）+ © + >2 W + 兀 3 W = 0这与儿（Qy2（Q/心（X）线性无关