导数的基本概念(培优)-学案

1、全国名校高考数学复习培优学案汇编(附详解)5授课主题第23讲-导数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结理解导数的概念及几何意义；教学目标掌握几个基本函数的导函数求法及导数的基本运算法则; 会求函数过定点的切线方程。授课日期及时段T (Textbook-Based )司步课堂知识梳理一、导数的概念f(X0+"I(X0)，我们称它为函数AyAx定义：函数f (X)在x=x0处瞬时变化率是丁二jjmy = f(X在X = X0处的导数，记作f '(X0 )或 y"= limf(x0"xis二、求导数的方法:求导数值的一般步骤:求函数的增量:也y =

2、f (xo +也X)-f(X0)；求平均变化率:却f(X0 +也X)- f(X0).求极限，得导数也y,f(x0+也X)-f(X0)(X0)=蚂恳。也可称为三步法求导数。三、导数几何意义函数y = f(X)的平均变化率 细=f(X2)-f (Xi)的几何意义是表示连接函数ZX2 -Xjy = f (x)图像上两点割线的斜率。如图所示，函数 f(x)的平均变化率 0= f(X2)-f(X1)的几何意义是：直线氐XX2 -X1AB的斜率。全国名校高考数学复习培优学案汇编（附详解）事实上，kABm _ f (X2)- f (Xi) _AyXa XbX2 -Xi换一种表述:曲线上一点P（Xo,yo）及

3、其附近一点 Q（X0 +Ax,y0 + 纫），经过点p、Q作曲线的割线PQ,则有kpQ Jyo+即)-yo。(Xo +&) -Xo四、曲线的切线（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:求出切点（X0, f（X0）的坐标； 求出函数y= f （x）在点Xo处的导数f'（xo） 得切线方程y - f（xo） = f （x）（x - Xo）（2）在点（Xo, f（Xo）处的切线与过点（X0，yo）的切线的区别。在点（Xo,f（Xo）处的切线是说明点（Xo,f（Xo）为此切线的切点；而过点（Xo，yo）的切线，则强调切线是过点（xo, yo）,此点可以是切点，也可以不是切点。

4、因此在求过点（xo, yo）的切线方程时，先应判断点（X0, y。）是否为曲线f（X）上的点，若是则为第一类解法， 若不同则必须先在曲线上取一切点（X1, f（X1），求过此切点的切线方程y-yi= f'（Xi）（x-Xi），再将点（X0，yo）代入，求得切点（xi,f（Xi）的坐标，进而求过点（X0，yo）的切线方程。五、基本初等函数的导数基本初等函数导数特别地常数函数y =c(c为常数)y' =0兀=0,e'=0幕函数y = X气n为有理数)y = n x"P卜丄y- 1 lx丿X*八2#指数函数y = axy ax In a(ex )'=ex对数

5、函数y=logaXy'=11(In X)' =_X正弦函数y =sin Xy' =cosx(si nx】1(tanx)= =LIcosx 丿 cos X 丄,fcosx)1(COtX 尸一= '* Is in X) si n X余弦函数y = cos Xy' = -sin X六、和、差、积、商的导数导皴加法法则/(x)+gwx/a)+ga)导数的减法法则/(A)-gW'=/'(A)-gU)导数的乘法法则/(a) gU)-=/'WgW + /(x)g'(x)导数的除法法则严当=广曲)7(讥优) gW蛊 s)F七、复合函数的求

6、导法则：复合函数y = f(g(x)的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx'=几Ux'。典例分析考点一：求平均变化率 例1、求函数y= Jx2 +1在xo到X0+ Ax之间的平均变化率.例2、已知函数f (x)= x2 +x的图象上的一点A(1, -2)及临近一点B(-1 + Ax, - 2 + Ay),则全国名校高考数学复习培优学案汇编（附详解）考点二：用定义求导函数1例1、用导数的定义，求函数 y = f（X）在X=1处的导数。例2、设函数f（x）在点X0处可导,hmf(Xo +h)-f(Xo-h)2h考点三：利用公式求导函数例1、求下列各函数的导数:

7、(1)y=X2(2)y=（x+1）（x+2）（x+3）；X2 X(3)y=-sin -(1-2cos -)；例2、求下列函数的导数:(1) ynx+'cosx ；XX4y 2 + loga X全国名校高考数学复习培优学案汇编(附详解)1 1八匚厂乔;反；(4) y=x sinx，lnx .考点四：求曲线的切线方程例1、已知直线y =kx是曲线y =1 n X的切线，贝U k的值为(C.丄 e例2、已知函数f(x) = xlnx ,过点A-丄,0 1作函数y = f(x)图象的切线，则切线的方程为I e '丿例3、已知曲线y= -x3+ 4.33(1 )求曲线在x=2处的切线方程

8、;(2)求曲线过点(2, 4)的切线方程.考点五：利用导数求解析式中的参数例1、若函数f(x)=(a +2)x3-ax2+2x为奇函数，则曲线 y = f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程例2、已知直线x-y+1=0与曲线y=lnx + a相切，则a的值为例3、已知抛物线y=ax2+bx + c通过点(1,1)，切在点(2,-1)处与直线y=x-3相切，求a,b,c的值.P(P ractice-Oriented)实战演练9实战演练课堂狙击2k1.若f'( X0)=2,则当k无限趋近于0时f(x0 k)心0)2.设曲线y=铝在点(3, 2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=

9、3 .若点P在曲线y=x24.曲线y=x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是-3x2+(3- J3 )x+ 3上移动，经过点P的切线的倾斜角为a ,则角a的取值范围.条.47.x轴所围成的三角形面积是曲线y= 1和y=x2在它们交点处的两条切线与x若函数f(x)的导函数为f(x-x(x+1),则函数g(x)=f(log ax)(0 < av 1)的单调递减区间是9.求下列函数在x=xo处的导数.(1) f(X).23兀=cosx sin x+cos x, xo=;3(2) f(x)(3) f(x)xx=，x0=2;1 _Jx 1 +仮Jx x3 +x2 ln x-,x0=1

10、 .10求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.11设函数f(x)=ax+ ( a,b Z),曲线 y=f(x)在点(2, f (2)处的切线方程为 y=3. X +b(1 )求f (x)的解析式;(2)证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定全国名校高考数学复习培优学案汇编（附详解）值.11OQ12.偶函数f (X)=ax +bx +cx +dx+e的图象过点P （0, 1）,且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（ x）的解析式.课后反击1.设 f(X)=ax +4，若 f '(1)=2，则 a=

11、(B . 2D .不确定全国名校高考数学复习培优学案汇编(附详解)152兀2.在曲线八X上切线的倾斜角为4的点是()A. (0,0)B (2,4)3.已知函数y = f(x)的图象如图，贝Uf' (xa)与f' (xb)的大小关系是()丁A . f' (xA)>f' (xb)B . f' (xA)<f' (xb)C . f' (xa)= f' (xb)D.不能确定:；1 1 3心4.已知曲线y= f (x)在x = 5处的切线方程是 y = x +8,贝U f (5)及f '(5)分别为A. 3,3B. 3,

12、- 1C. 1,3D. 1 , 15设f' (xo)= 0，则曲线y= f(x)在点(xo, f(xo)处的切线(A .不存在B .与x轴平行或重合C .与x轴垂直D .与x轴斜交6.设函数f (x)可导，则蚂竺3等于(A. f '(1) B.不存在1.3f'(1)D.以上都不对B (2, 4)。求:7.曲线y=x2+4x上有两点A (4, 0)、(1)割线AB的斜率Kab及AB所在直线的方程;(2)在曲线上是否存在点 C,使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由。直击高考1.【优质试题新课标III，文】已知f(X )为偶

13、函数，当x<0时，f(x)=e7j-x，则曲线y=f(x)在(1,2)处的切线方程.式2.优质试题天津，文11】已知函数f(x) = axlnx,x0O,址)，其中a为实数，f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1 ) = 3，则a的值为3.【优质试题新课标1，文14】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点的处的切线过点(2,7 ),4.【优质试题-陕西，文15】函数y=xex在其极值点处的切线方程为5.【优质试题-安徽卷文第15题】若直线I与曲线C满足下列两个条件:(i)直线I在点Px0,y0处与曲线C相切；(ii)曲线C在P附近位于直线I的两侧，则称直线I在点P处

14、 切过”曲线C.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号 )直线I : y =0在点P(0,0 )处切过”曲线C : y直线x = -1在点P(-1,0 M切过”曲线C :y=(x + 1)2直线y=x在点P (0,0 )处切过”曲线C : y=si nx直线y=x在点P(0,0 )处切过”曲线C : y = tanx直线y=x-1在点P(1,0 )处切过”曲线C : y=InxSsummary-Embedded)归纳总结全国名校高考数学复习培优学案汇编(附详解)重点回顾一、导数的概念要点诠释:增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于o。虫XT o的意义：Ax与o之间距离要多近有多近，即

15、|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数。o时， y在变化中都趋于 o,但它们的比值却趋于一个确定的常数。无限接近。即存在一个常数与 =f（Xo+Ax）-f（Xo）Z氐X导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率。二、求导数的方法:求导数值的一般步骤:求函数的增量:也y = f （xo +也X）- f（Xo）；求平均变化率:y _ f（X0 + ix） - f （Xo）；求极限，得导数Ax（Xo）=胚存回f（XoSf。Ax也可称为三步法求导数。三、导数几何意义函数y = f （x）的平均变化率 空=f（X2）f（Xi）的几何意义是表示连

16、接函数y = f（X）图像上两点割X2-X1线的斜率。要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。四、曲线的切线（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:求出切点（xo,f（xo）的坐标；求出函数y= f（X）在点x0处的导数f'（xo）得切线方程y - f（Xo） = f "（xx -Xo）（2）在点（Xo, f（Xo）处的切线与过点（X0, yo）的切线的区别。在点（Xo,f（Xo）处的切线是说明点（Xo, f（Xo）为此切线的切点；而过点（xo, yo）的切线，则强调切19全国名校高考数学复习培优学案汇编（附详解）线是过点（xo, yo）,此点

17、可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（xo, yo）的切线方程时，先应判断点（Xo, yo）是否为曲线f（x）上的点，若是则为第一类解法， 若不同则必须先在曲线上取一切点（x1, f （x1）,求过此切点的切线方程y % = f '（xiXx xJ，再将点（xo, yo）代入，求得切点（為，f （x1）的坐标，进而求过点（X0, yo）的切线方程。五、基本初等函数的导数1.常数函数的导数为 0,即c'=0（ c为常数）.其几何意义是曲线 f（x）=c （ c为常数）在任意点处的切线平行于X轴.2有理数幕函数的导数等于幕指数n与自变量的（n 1）次幕的乘积，即（xn）'

18、; = nxn（n亡Q ）.3.在数学中，In ”表示以e（e=2.71828）为底数的对数；“g ”表示以10为底的常用对数.4.基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可.六、和、差、积、商的导数1.上述法则也可以简记为:（i）和（或差）的导数:(u ±v)' =u'±v',推广：(Ui ±U2 +±un)'=1±2±" ±u'n .（ii）积的导数：（u v）'=u 'v +uv',特别地：（cu）' =cu'（ c为常数）.（iii）商的导数：！u '=Vv丿u