平面向量的极化恒等式及其应用

1、学习必备欢迎下载平面向量的极化恒等式及其应用一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍证法1（向量法）设 AB = a, AD = b.贝U AC = a + b,DB = a - b,AC证法推论+ DBAC+ DB（解析法）2由ACL2AB + AD2 /=2 AB + AD证法3 （余弦定理）.2+ DB= 2(AB2 + ADJ知,22AO+ 2OB2=2.2+ AD22AB2+AD2胡AO2+Ob推论极化恒等式.推论3:在MBC中，O是边BC的中点，则AB -AC = AO2 .-OB2 =AO-BC4极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意

2、义.二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍2 2f.2 AC+DB=2AB+AD2推论推论【应用】已知点22<2ABAC=2AOOB22三.三角形中线的一个性质：AO21AB2Ac1 Ob2 1丿1:22AO2-氓丿4P是直角三角形ABC斜边AB上中线CD的中点，则PA2 +1PBPC学习必备欢迎下载34四.三角形“四心”的向量形态1. O是平面上一定点,A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足0P = 0A + ZA. 外心ABABB.2.0是平面上一定点,0P = 0A + 几AC+AC内心，0, +辺），则动点P的轨迹一定通过 AABC的C

3、. 重心D.垂心A, B, C是平面上不同的三点，动点 、AB +ACAB sin B，几迂b, +处P满足AC sinC/则动点P的轨迹一定通过 卫ABC的-A. 外心B. 内心 C. 重心D.垂心3. 0是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点,动点P满足0P=0A 乜B+ ACAB cosB则动点P的轨迹一定通过 MBC的4. P是 MBC所在平面上一点，若A. 外心B. 内心5.0是 MBC所在平面内的一点,是MBC的() A.五.典型案例分析AC cosC)A.外心B. 内心 C. 重心 D.垂心PA ”PBC.=PB ”PC = PC ”PA，P 是 MBC 的重心D.垂心M

4、BC2 2 2满足 AB+0C = AC外心 B. 内心问题1在 MBC 中,M是BC的中点，【变式】已知正方形ABCD的边长为1,问题2已知正三角形ABC内接于半径为的取值范围是【变式】（2010福建文11题）若点为椭圆上的任意一点，贝y 0P FPA. 2 B. 3C.2 2+ OB = BCC. 重心AM =3, BC =10，贝y AB*ACQ+ 0A，则点OD.垂心点E是AB边上的动点，贝y DE DA -2的圆0，点P是圆0上的一个动点，则PA*PB0和点F分别为椭圆的最大值为D.2+ L = 1的中心和左焦点，点 p学习必备欢迎下载1问题3 （ 2013浙江理7）在 MBC中，P

5、0是边AB上一定点，满足P0B = AB，且对于边4I1I1AB上任一点P,恒有PB*P C>P0B*RC，则C. AB = AC D. AC = BC兀A. ZABC =-2兀B. ZBAC =-2【变式】（2008浙江理9题）已知a,b是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量 C满足G -C bfo -c )=0，则+；J 2C的最大值是() A. 1 B. 2 C. V2 D.J2问题3已知直线AB与抛物线y2 =4x交于点A, B，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点,若C0满足C7A*CB=mi n伍*©6,则下列一定成立的是A.CqM 丄 AB B.C0M丄丨，其

6、中是抛物线过点的切线C.C0A 丄 C0BD.C0M =AB （ 2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题)问题4在正三角形AABC中,D 是 BC 上的点，AB = 3, BD = 1，则 A AD -15（2011年上海第11题）【】2问题5在心ABC中，AB=2, AC=3, D是BC的中点，贝U ADBC=-5（2007年天津文科第15题）【-】2问题6正方体ABCD - ABiCiDi的棱长为2，MN是它内切球的一条弦 （把球面上任意两PM PN的最大值为点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦最长时,.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P是棱长为1的

7、正方体ABCD AiBiCiDi的底面AiBiCiDi上一点，贝U PA PC的取值范围是（2013年北京市朝阳区高三数学二模）【丄订】.匕问题8 如图，在平行四边形ABCD中，已知 AB=8, AD =5 ,CP =3PD，则 AP BP =2. AB AD 的值为-.(2014 年高考江苏 卷第12题）【22】学习必备欢迎下载AB与0C交于点P，则OP BP =2最小值为的两个焦点，若MF, MF2 <0，贝y y。的取值范围是(A.B.C.(242D.(243 243 y【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】:22X2 a在椭圆 C :+ 每=1(a Ab aO )中，设 NF1MF0 ,bMF1 MF2b22 -b tan-22cos222在双曲线C :笃每=1(a0,b >0 )，设Z F1MF2 =日，则a bMF1 MF2b27sin 2=b2 cot?,2b2cot2课外探究1.已知点P是椭圆16+厶=1上任意一点，EF是圆8X2 +(y -2；2 =1 的直径，贝U PE WF的最大值为【23】问题9如图，在半径为1的扇形AOB中，N AOB =600,C为弧上的动点,问题10已知M(Xo,yo )是双曲线C：4=1上的一点，F1