平面向量基本定理及坐标表示

1、学习好资料欢迎下载平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果ei、62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯对实数入、乩使a=入ei+ ；2e2,其中，不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘及向量的模设 a= (xi, yi), b= (X2, y2)，贝U a+ b= (xi + X2, yi + y2), a b= (xi X2, yi y2), ha= (hx, hy, |a|xi + y2.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，贝U终点坐标即为向量的坐标.设 A(xi, yi),

2、 B(x2, y2)，则AB= (x2 xi, y2 yi), |AB| = (X2 xi j +(贮一yi 23.平面向量共线的坐标表示设 a= (xi, yi), b=(X2, y2)，其中 0, a、b共线？ xiy2 X2yi = 0.选择题:设ei, 62是平面内一组基底，那么()A.若实数?1,?2使Aiei +血2= 0,贝U k=')2= 0B.空间内任一向量a可以表示为a=?iei +?2e2(入,h为实数)C.对实数h, h, ?!©+ he不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使a = hei + he的实数h, h有无数对下列各组向量中，可以作为基底

3、的是A. ei = (0,0), e2 = (i， 2)C. ei = (3,5), 62= (6,i0)B. ei = ( i,2), 62 = (5,7)D . ei= (2, 3), 62 =(!， 4解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.i 3已知平面向量a= (i,i), b= (i, i),则向量a等于()A. ( 2, i)B. ( 2,i)C. ( i,0)解析和=g, 5, |b=(3， 2),故2a |b= ( i,2).D. ( i,2)学习好资料欢迎下载已知 a= (1,1), b= (1, 1), c= ( 1,2),贝U c等于()A 13A. 2a+ 2b

4、B.a |bD. 3a+b 1 = + 解析 设 c= b+ jJo, ( 1,2)= b1,1) + 山1 , 1), $ 2= I 入=2,k=-3,： c=a2b-已知向量a= (1,2), b= (1,0), K(3,4).若入为实数,(a+?b) / c,入等于(a-4B.2C. 1解析 a+ lb= (1 +入 2), c= (3,4),且(a+ :b) / c,1+ b 2二 =4,已知 a= (5, 2), b= ( 4, 3)，若 a 2b+ 3c= 0,则 c等于(<8、f 13 8、f13 4、A，3丿B.卜y, 3丿c.fj, 3丿-3j解析 由已知 3c= a

5、+ 2b= (-5,2) + ( 8, 6)= (- 13, 4),:c=(-詈,3-已知向量 OA= (k,12), OB= (4,5), OC= ( k,10),且 A, B, C 三点共线，则k的值是(B.3egD.i解析 AB= OB OA= (4 k, 7), AC = OC oA= ( 2k, 2),- A, B,C三点共线, ab, ac共线,22 X (4 k)= 7 X ( 2k)，解得 k= 3已知点A.g,A(1,3), B(4, 1),则与向量a3同方向的单位向量为(4、43、3 4、5丿B.® 5丿C.卜5, 4丿T T TTaE解析A目=oB O A =

6、(4, 1) (1,3) = (3, 4), 与a3同方向的单位向量为4 崗飞-5丿.已知点A( 1,5)和向量a= (2,3), 若AB= 3a,则点B的坐标为()A. (7,4)B. (7,14)C. (5,4)D. (5,14) lx+1 =6,解析 设点B的坐标为(X, y),则AB= (x+ 1, y 5),由AB= 3a,得ily 5= 9,已知向量 a= ( 1,2), b= (3, m), m R，贝厂'm= 6” 是“a/(a + b)” 的(A .充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析 由题意得 a+ b= (2,2 + m)

7、，由 a/a+b),得一1 x (2+ m)= 2X 2, a m= 6,则“m= 6” 是“a/(a+ b)”的充要条件，故选A已知在 ABCD 中，Ad = (2,8), AB= ( 3,4)，则AC=()A. (- 1, 12)B. ( 1,12)C. (1, 12)D. (1,12)解析四边形ABCD是平行四边形， AC=AB+Ad = (1,12)在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD = 2DB , CD = rAB + sAC,贝U r+ s等于()2a-34B-4C. 3解析CD= 2DB,二 CD = gCBh(AB AC) = gAB fAC,贝Ur+ s= 3+

8、(-3卜 0已知点M是 ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC = 2AE,则向量EM =(b.2ac+ABc.6ac+疑解析 如图， EC= 2AI, EM= EC+ Cm =氛+Cb2AC+2(ABAc)=舟忑+匪C在 ABC中，点P在BC上，且Bp= 2PC,点Q是AC的中点，若rA= (4,3), PQ= (1,5),则BC等于()A. ( 2,7)B . ( 6,21)C. (2, 7)D. (6, 21)解析 BC = 3PC = 3(2PQ PA) = 6PQ 3PA= (6,30) (12,9) = ( 6,21).在梯形 ABCD 中，AB/ CD, AB = 2CD,

9、 M , N 分别为 CD, BC 的中点，若 AB= :AM+ fAN,等于()A.5B.iC.3D.f解析 aB= aN+ nb= AN+AN+(CA+AN)=2AN+cm + ma=2AN-4AB- am ,- H 尸 5.填空题:已知平面向量 a= (1,2), b= ( 2, m),且 a / b,贝U ia+ 3b=解析 由 a= (1,2), b= ( 2, m),且 a / b,得 1 x m= 2X (2)，即 m= 4.从而 b= ( 2, 4),那么 2a+ 3b= 2(1,2)+ 3( 2, 4)= ( 4, 8).已知向量a= (x,1),b= (2, y)，若 a+

10、 b= (1， 1),贝U x+ y=解析 (x,1) + (2,|x+ 2= 1,|x= 1,y) = (1, 1), i解得i-x+ y= 3.y+1 = 1,ly= 2,已知向量a= (1,2),b= (0,1),设 u = a+ kb, v = 2a b,若 u/ v，则实数 k 的值为()eg解析 u= (1,2)+ k(0,1) = (1,2 + k), v = (2,4) (0,1)= (2,3),又 u/ v，二 1x3= 2(2 + k),得已知向量 a= (1,2), b= (x,1), u= a+ 2b, v = 2a b,且 u/ v，则实数 x 的值为解析 a= (1

11、,2), b= (x,1), u = a+ 2b, v = 2a b,二 u = (1,2)+ 2(x,1) = (2x + 1,4), v = 2(1,2) (x,1)1=(2x,3).又 u/, 3(2x + 1) 4(2 x) = 0，即 10x= 5,解得 x=若三点A(1 , 5), B(a, 2), C( 2, 1)共线，则实数a的值为解析 AB= (a 1,3), AC = ( 3,4)，根据题意 AB / AC, 4(a 1) = 3x ( 3)，即卩 4a = 5, a= 4学习好资料欢迎下载在口ABCD中，AC为一条对角线，AB= (2,4), AC= (1,3)，则向量B

12、D的坐标为解析 AB+ Ec=AC, ACAB= ( 1, 1), Bd = AdAb=bcAb=(3, 5).已知口ABCD的顶点A( 1, 2), B(3, 1), C(5,6)，则顶点D的坐标为解析 设 D(x, y),则由 AB= DC，得(4,1)= (5 x,6 y)，即解得/一1' |1= 6 y,y= 5.已知梯形ABCD，其中AB/ CD，且DC= 2AB,三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2),则点D的坐标为解析 在梯形 ABCD 中，AB/ CD, DC = 2AB,二 DC = 2AB.设点 D 的坐标为(x, y)，则 DC = (4,2) (

13、x, y) = (4 x,2 y), AB= (2,1) (1,2)= (1, 1),|4x=2,$2y= 2,- (4 x,2 y) = 2(1, 1)，即(4 x,2 y) = (2, 2),lx2解得$ 故点D的坐标为(2,4).Iy=4,如图，在 ABC中，AN=1nc, P是BN上的一点，若AP= mAB+ AC,贝U实数m的值为解析：设 BP= kBN, k R.1 k AP= AB+ BP = AB+ kBN = AB+ k(AN AB) = AB+ kQAC AB) = (1 k)AB + 4AC,且AP= mAB+ AC, 1 k= m, 4 =需 解得 k=m=右.(用ei

14、, 82表示)在口ABCD 中，AIB = 81, AC= 82, NC = 4ac，BM = 2mc，则 mN =解析如图，MN = Cn Cm = CN+2bm=CN+ |bc=一 4AC + 3(AC AB) = 一 482 + 3(82 81 )= 381 + 1282学习好资料欢迎下载如图，已知 Afe= a, AC = b, bD = 3DC,用 a, b表示AD，则AD =解析 AD=AB+ bD=AB+4bc=AB+ 4(AcAB)=1AB+ 3Ac=£+为若三点 A(2,2), B(a,0), C(0, b)(abM 0)共线，则 £+1 的值为 解析 A

15、B= (a 2, 2), AC= ( 2, b 2),则(a 2)(b 2) 4= 0, 即卩 ab 2a 2b = 0,二£+ £=A设OA= (2,4), OB= ( a,2), OC= (b,0), a>0, b>0, O 为坐标原点，若 A, B, C 三点共线，则"+ab的最小值为解析由题意得 AB= ( a + 2, 2), aC= (b + 2, 4),又AB/ AC, /. ( a+ 2, 2) = ?(b+ 2, 4),即 $I a+ 2= %b+ 2),I 2= 4 人整理得 2a+ b= 2,-1+11= 2(2a+ b)(1 +

16、 +)= (3 + 罕+)>2(3 + 迭岸)= 3 +严(当且仅当 b=72a 时，等号成立).1已知A(7,1), B(1,4)，直线y= qax与线段AB交于点C,且AC= 2CB,则实数a=解析 设 C(x, y),则aC= (x 7, y 1), CB= (1 x,4 y),.|x 7 = 2(1 x,|x= 3,AC= 2CB, !解得 i C(3,3).ly1= 2(4 y),y= 3.1 1又C 在直线 y= 2ax上，二 3=尹 3,二 a= 2.已知向量Oa= (1, 3), Ob= (2, 1), OC= (k+ 1, k2),若A, B, C三点能构成三角形，则实

17、数k应满足的条件是解析若点A, B, C能构成三角形，则向量AB, AC不共线.OB OA= (2, 1)(1, 3)=(1,2), AC= OC OA= (k+ 1, k2) (1, 3)= (k, k+ 1), 1X (k+ 1) 2kM0,解得 kM 1.学习好资料欢迎下载设 0v Bvn,向量 a= (sin2B, cos®, b= (cos0, 1),若 a / b,则 tan 0=解析 Ta/ b, si n2 0X 1 cos2 0= 0, . 2s in (cos 0 cos2 0= 0 ,1- cosB> 0, 2sin 0= cosB, tan A解答题:B

18、(3, 1), C(a, b).(1)若 A, B,C三点共线，求a, b的关系式;若Ac=2AB,求点c的坐标.解析 (1)由已知得 AB= (2, 2), AC = (a 1, b- 1),-A, B, C 三点共线，-AB / AC, 2(b 1) + 2(a 1) = 0,即 a+ b= 2.|a1= 4,$lb 1 = 4, AC = 2Ab, (a 1, b 1) = 2(2, 2).ja = 5 ,解得$点C的坐标为(5 , 3).Ib= 3.已知点 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM = bOA + t2AdB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；求证：当

19、t1= 1时，不论t2为何实数，A, B, M三点共线.解 OM = t1 OA+ t2AB= t1(0,2) +12(4,4) = (4t2,2t1 + 4t2).|4t2v 0 ,当点M在第二或第三象限时，有i故所求的充要条件为t2V 0且t1 + 2t2工0.盘1 + 4t2 工 0 ,(2)证明 当 t1= 1 时，由知OM = (4t2,4t2+ 2). AB= Ob- OA= (4,4), AM= OM OA= (4t2,4t2)= t2(4,4) = t2>AB, AM与AB共线，又有公共点 A, A, B, M三点共线.能力提升题组欢迎下载已知向量 a= (2,3), b

20、= ( 1,2), 若(ma + nb)/ (a 2b)，则芈等于()1D-2c. 2解析由题意得 ma+ nb= (2m n,3m+2n), a 2b= (4, 1),m 1 (ma+nb) / (a 2b), / (2m n) 4(3m+ 2n) = 0,二斤=空已知 OA|= 1, |OB| = (3, OA Ob= 0,点 C 在/ AOB 内，且oC与OA的夹角为 30° 设oC= mOA+nOB (m, n R)，则m的值为()C. 35B-2解析 OAOb = 0, OAIOB,以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系,OA= (1,O), OlB= (0,/3), OC

21、= mOA+nOlB= (m, /In). ttanlO = °门=|I,m= In,如图，在 OAB中，P为线段AB上的一点，Op = xOA+yOB,且BE = 2PA,则()解析由题意知1B. x=31 I4,尸4D . x3.O弓=oE + B0，又 bB=2P云，.oB=oE +|ba = O百+OA oE)=|oa +1 尸|.已知点A( 1,2), B(2,8) , AC = 3aB, Da = 3ba,则 CD的坐标为解析 设点C, D的坐标分别为(xi, yi), (x2, y2).由题意得 AC= (xi + 1, yi 2), AB= (3,6), IDA = ( 1 x2,2 y2), BA= ( 3, 6). AC= Iab, Da= 3ba,.有b1 +11,和| 1 21, 33Iy1 2= 2l2 y2 = 2.1x1 = 0, 解得iIy1 = 4|x2= 2，T和 i点 C, D 的坐标分别为(0,