平面向量的数量积及应用举例

1、全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)3平面向量的数量积及应用举例基础题组1.已知向量a,b均为单位向量，若它们的夹角是60° ,则|a-3b|=（A.3B.2C. 13D. 72.（优质试题云南第一次统一检测）在?ABC中,| ?8,| ?26,N为DC的中点,?=2?贝J? ?=()A.48B.36C.24D.123.已知平面向量a,b的夹角为孑，且|a|=3,|b|=2,在 ABC中，？?=2a+2b,?2a-6b,D 为 BC的中点，则 | ?等于（）A.2B.4C.6D.84.如图，已知平面四边形 ABCD,Aa BC,AB=BC=AD=2,CD=3,A与 BD交于点0

2、.记I 1=? ? 2=? ? 3=? ?则()nAA1<I 2<I 3 B1<I 3<I 2C3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 35. 设单位向量e1,e2的夹角为2n,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影6. (优质试题山东，12,5分)已知ei,e2是互相垂直的单位向量.若3ei-e2与 ei+入e2的夹角为60° ,则实数入的值是7. (优质试题河北石家庄质量检测(一)已知?与?的夹角为90° ,1 ?2,| ?=1, ?=入？?？卩？?入，a R),且？ ?=0,贝町的值 8.在平面直

3、角坐标系xOy中，已知向量m二#,-弓,n=(sin x,cos x),x 0, | .(1)若ml n,求tan x的值； 若m与n的夹角为n,求x的值.39.如图，已知 0为坐标原点，向量？?：3cos x,3sin x),?=(3cos x,sinX), ?=( 3,0),x 0, n.(1)求证:(?丄？?？?(2)若 ABC是等腰三角形，求x的值.B组提升题组1. 若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,贝卩向量a+b与a-b的夹角为A.尹nCv D年2. 在 ABC中, / A=60° ,AB=3,AC=2.若？?？?？?？?入？?入 R),且 ? ?？

4、=M,贝J入的值为3. 已知 |a|=4,|b|=3,(2a-3b) (2a+b)=61.(1)求a与b的夹角0 ;求|a+b|; 若?=a, ?b,求 ABC的面积.向量4.在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.m=(cos(A-B),si n( A-B), n=(cos B,-si n B), (1)求sin A的值;若a=4 2,b=5,求角B的大小及向量?在?方向上的投影.全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）答案精解精析A组基础题组QQQ1.D(a-3b) =|a| -6a b+9|b| =1-6cos60+9=7,二 |a-3b|=7,故选 D.2. C? ?=(

5、?+? ( ?+?)= ?+ I /"-? - ?! ?=! ? - ?! X 82-X 6 2=243232929故选C.3. A 因为?=11( ?+?=1(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以| ?=4(a-b) 2=4(a2-2b - a+b2)=4 x 3-2 x 2 x 3 x cosf + 4 =4,则 | ?2.4. C 解法一：因为 AB=BC,AE3_ BC, / BCO=45 .过 B 作 BEL AC于 E,则/ EBC=45 .因为 AD<DC所以 D A在 BE 所在直线的同侧，从而/ DBC>45 ,又/ BCO=45 ,从而/ AOB

6、为钝角，所以/ DOC为钝角.故I 1<0,1 3<0,| 2>0.又 OAvOC,OBvO故可设?-入 1?入 1>1), ?=-入 2?入 2>1),从而 I 3=? ?入 1 入 2? ?入 1 入 2I 1,又入 1 入 2>1,I 1<0, I 3<I 1<0, I 3<I 1<I 2.故选 C.nAEac解法二：如图，建立直角坐标系，则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设 D(m,n).由 AD=2和 CD=3,得？+ (n-2)2= 4, 得(？2)2 + ?= 9, 从而有 n-m =5>0, n&

7、gt;m.4从而/ DBC>45 ,又/ BCO=45 , aZ BOC为锐角.从而/ AOB为钝角.故 11<0,1 3<0,| 2>0.又 oa<oc,ob<od,故可设？?= 入 1?入 1>1), ?入 2?入 2>1),从而 I 3=? ?入 1 入 2? ?入 1 入 21 1,又入 1 入 2>1,| 1<0,| 3<0,I 3<| 1,I3VI1VI2.故选 C.5.答案3 32I締军析 依题意得e1 e2=1X 1 Xcos2n=-32|a|=(?+ 2?)2= ?2 + 4? + 4? - ?= 3,

8、a - b=（e1+2e0 - （2e 任2）=2?-6 ?+8 亡二舟 因此b在a方向上的投影为9-? ?H 3 3 |?=亍一-26.童答案-3«解析由题意不妨设 e1=(1,0),e 2=(0,1),贝J 3e1-e2=( 3,-1),e 1+入 e2=(1,入).根据向量的夹角公式得cos 60 ° =（3,-1） （1,入-3-入=1,所以3-入二订两,2 1+ ? 21+ ? 27解得入=-.37.童答案-4盒解析 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(0,2),C(1,0),?=(1,0), ?：1,-2).设 M(x,y),则?(x,

9、y),所以? ?=(x,y)-(1, -2)=x-2y=0,所以 x=2y,又?入? ?即(x,y)=入(0,2)+1a（1,0）=（ a,2 入），所以 x= a ,y=2 入，所以?弓?=4.ftrzAc*8. 解析 (1) T rmLn,二 m- n=0.故2sin x-2严 x=0, tan x=1.2 2? - ?sin ?cos ? 1- 22二丄1 XI2Vm与n的夹角为n, cos<m,>？?| ?故 sin ? n=1丁7 厂 cn.n 厂n n又 x 0, 2 , x-; - 4, 4 , 则x- n=n,即x=5n,故x的值为5n9.欧解析 (1)证明：V ?

10、：0,2sin x), (? ?=0x 3+2sin x x 0=0,（?丄？ ABC是等腰三角形，则AB=BC,2 2 2二(2sin x) =(3cos x- 3) +sin x,2整理得 2cos x- 3cos x=0, 解得 cos x=0 或 cos x= + - x 0, n ,3 n二 cos x=,x=.2、 6B组提升题组1.D 由|a+b|=|a-b| 可知 a丄b,设?=b, ?=a,如图，作矩形 ABCD连接 AC,BD, 可知?a+b,?=a-b,设AC与 BD的交点为0,结合题意可知OA=OD=AD, / AOD=, / DOC=n,又向量 a+b与 a-b 的夹

11、角为?与?的夹角,33故所求夹角为一,选D.32给案11li解析由？?2?得?£ ? ?33八所以?1?+ 2?.（入？?>?燹3 入？?？科入？花？又? ?5X 2X cos 60=3, ?=9, ?=4, 所以? ?X -3+8入-2=宁入-5=-4,解得入今.33II全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）3.<解析 (1)因为(2a- 3b) (2a+b)=61, 所以 4|a| 2-4a b-3|b| 2=61.又 |a|=4,|b|=3, 所以 64-4a b-27=61, 所以 a b=-6,缶【、【n?-61所以 cos 0 -=二-.| ? ? 4 X3 22又 0W 0 Wn ,所以 0 = n .3(2)|a+b| 2=(a+b)2 =|a| 2+2a - b+|b| 2 =42+2X(-6)+3 2=13.所以 |a+b|=13.、, 2因为?与?的夹角0 =- n ,所以/ ABCn -3=上.33又 |?=|a|=4,|?=|b|=3.所以 Saabcf1 ? sin / ABCgx 4X 3X=3 3.4. «解析(1)由 m- n=-3,5得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- 所以 COS A=- 3,因为 0<A<