导数起源专题训练

1、全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)专题01 导数起源于切线，曲切联系需熟练【题型综述】导数的几何意义: 函数y = f(x)在x=Xo处的导数f (Xo)就是曲线y = f(x)在点(XoXo)处的 切线的斜率 k，即 k = f (Xo)=f(Xo+：f(Xo).【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 Rxo, yo)，求曲线过点P的切线，则需分点Rxo，yo)是切点和不是切点两种情况求解.(1) 当点Rxo, yo)是切点时，切线方程为y-y0=f '(x。" x-x。)；(2) 当点Rxo, yo)不是切点时，可分以下几步完成:第一步：设出切点坐标 P

2、9;(xi, f (xi)；第二步：写出过P'(xi, f (xi)的切线方程为y-f (xi)=f '(Xi)( x-xi)；第三步：将点P的坐标(Xo, yo)代入切线方程求出xi；第四步：将xi的值代入方程y-f (xi)=f '(xi)( X-Xi)，可得过点Rxo, yo)的切线方程.求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点Rxo, yo)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f '(Xo)，由点斜式写出方程;(2)已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(xo, yo),通过方程k=f ' (xo)

3、解得xo,再由点斜式写出方程;(3) 已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点Rxo, yo)，利用导数求得切线斜率f '(Xo)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得X0,最后由点斜式或两点式写出方程.(4) 若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f '(X0)求出切点坐标(X0, yo)，最后写出切线方程.(5) 在点P处的切线即是以P为切点的切线，P 定在曲线上.过点P的切线即切线过点P, P不一定是切点.因此在求过点 P的切线方程时，应首先检验点 P是否在已知曲线上.【典例指弓】例1.(

4、2013全国新课标I卷节选)已知函数 f(x) = x2+ax+ b, g(x)=eX(cx +d),若曲线y = f(x)和曲线y = g(x)都过点P(0, 2)，且在点P处有相同的切线y = 4x+2.(I) 求 a, b, c, d 的值.简析：(I)由已知得 f(0) =2,g(0) =2f (0) =4©(0) =4，而(x) = 2x+b ,g (x)=ex(cx +d+c)，二 a=4, b =2, c=2, d =2;例2.设函数f(x)=x2 -a(1)当a =1时，求函数g(x)=xf(x)在区间0,1上的最小值;(2)当a"时，曲线y=f(x)在点P

5、(x1,f(X1)(X1 石)处的切线为I , I与x轴交于点A(X2,0),求证:为 ax2 >Ja .简析："1时，由gJc=3x-l = Oj解得H=±亨.的变化情况如下表:JC0(o4>34 A)1一g(x)0极小值z0所以当"争寸，貞巧有最小值娉A-孝证明：曲线y=f在点P(x,纠J町处的切线斜率厂G J=纠曲线J = f("在点P处的切线方程为y - © J -)=坯a -和2 2 2 X1 +a ,jf,fl -X,. JC =Jti =2X1212X127X1二即七 <x又今盏亠警号卸2辰皿例3.已知函数f (

6、x) = ax3+bx2-3x(a,bR在点(1, f(1)处的切线方程为y+2 =0.求函数f(x )的解析式;若对于区间-2,2 上任意两个自变量的值Xi,X2 都有 I f(Xi) f(X2|<C,求实数c的最小值;若过点M(2,mXmH2 )可作曲线y = f(x )的三条切线，求实数m的取值范围.简析：/仗)=3©2 +H?k-3根据题意得/¥=2即.:，所 CJj(£)=兀日-3 兀. b = 0(2燼即3工一3 = 0 .得托=±1 .X-2卜2T)-1(71)1(12)2+/(-)-2増极大值减极小值増2因为/(1)=2, /(1)

7、 = 2,所次当xe-22时，=2 , /(力祝=2.则对于区间m2上任意两个自变量的值眄，都有所CU的最小值为斗.因为点M(2,mXmH2 )不在曲线y=f(x )上，所以可设切点为(y。).则 yo 說-3xo.因为(Xo) = 3X-3，所以切线的斜率为3xo-3 .则3%2-3衆一眺5Xo -2即 2x03 6x2 +6 + m =0 .因为过点M (2,mXm H2 )可作曲线y = f (x )的三条切线,所以方程2x3 -6x2 +6+m =0有三个不同的实数解.所以函数g(x)=2x3-6x2+6 + m有三个不同的零点.贝 J g'(x )=6x2-12x .令 g&

8、#39;(x)=0，贝J x=0 或 x = 2 .xC,0 )0(0,2 )2(2,邑)g'(x)+g(x)增极大值减极小值增叫 g；0；0,即严心0，解得_6<m<2 .2 + m V 0【同步训练】1 .设函数f(x)=aInx-bx2(x>0)，若函数f (x )在x=1处的切线方程为6x 2y 7 =0 .(I)求实数a,b的值;(n)求函数f(x在p,e上的最大值.怙【思路引导】(I) 根据导数的几何意义，可知函数 f(x )在X=1处的导数即为切线 的斜率，又点(1 , -1)为切点，列出方程解出a, b的值；(n)把a, b的值代入解析式，对函数求导判

9、断单调性，根据单调区间写出函数的最值.试題解析： r() = -2fccXx>0),%T函数/(力在x = l处的切线方程为弘-2f 7=0.n-2i=ia = 4,解得1 、所以实数门上的值分别为4和1 ,b= -221 r44/(H)由(I)知/(x) = 4nx-j?, /乂丸)二 _x二、2 XX当-<x<e日寸，令/,得-<x<2,令广(刃<0,得2"",二f(X )在C, 2)上单调递增，在(2 , e上单调递减， f(x)在x =2处取得极大值这个极大值也是f(x)的最大值.又 f (2 ) = 41 n2 -2 , 所以函

10、数f(x )在1,e上的最大值为 4l n2 2lie2 .已知函数f(x) = + m)f + nd£,其导函数丫"'仪)的两个零点为-3和0.(1)求曲线厂仙在点W)处的切线方程;(2) 求函数f凶的单调区间;(3) 求函数颐在区间卜2刀上的最值.【思路引导】对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足仏）=0,解方程组求出m n利用导数的几何意义求切线方程，先求f（i），求 出切点，再求仙得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只 需在定义域下解不等式，兀和冷）"，求出增区间和减区间；求函数在 闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性

11、、极值，求出区间两 端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1）：饰）=（,+ （"心= (25f + (J *+ n)e* = J + (2 t m)x 和m +由隘鶴。知mrrr巴解得m = L 门=1从而f0() = (/ + x-l)eS "仗)=k + 3其所以fU） = 5用=忆曲线尸f河在点2泌的切线方程为¥ “ -"依-lbSPv = 4cm 5c 由于eSo.当X变化时，吓h仙的变化情况如下表:Xr 3|-3(-3.010(0. +f"(X)+0一0f(x)里调递増极大值里调递减极小值单调递增故f何的单调増区间是（亠,6单调

12、递减区间是（-3, 0）.(3)由于ft2) = Se fO)=-l. n胡丸巴所以函数f国在区间-切上的最大值为5，最小值为-1 .3 .设函数y=f（x）的定义域为D ,若对任意Xi , X2f（X,f（X2 ）兰1 ,则称函数y = f（X ）为“ storm ”函数.已知函数f(x)=x3 +bx2 +cx+1的图象为曲线C，直线y=kx1与曲线C相切于(1,10).(1)求f(x )的解析式，并求f(x )的减区间;为“ storm ”函16m(2) 设052，若对任意X珥m 2,m，函数g(x) =数，求实数m的最小值.【思路引导】根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出b,c

13、,得出函数的解对任意X亡m-2,m,析式，利用导数解厂(x)<0求出函数的单调减区间;函数g(x)=竺为“ storm ”函数，等价于在m-2,m上，16mf(X hax - f(X hn -16m，根据函数f(x )的在m-2,m上的单调性，求出 f(x )的最值，根据条件求出m的范围，得出结论.试题解析：(1) /'(x) = 3x" + 2foc+G'/=-la J=-i2,*-f(x = x -I2x+1, /'(x) = 3x -12 = 3(x-2)(x+21 ；列表可知：X(严-2)-22(十)+00+/极夫值极小值/戶椒/G)在(-2,2

14、)上递减. 已知条件等价于在朋一上，/一/力1込-16朋， f(x 在2,2 上为减函数，且 O<mw2，二m 2,mu 2,2,二f(X在m-2,m上为减函数,3二 f (Xhx =f (m-2) = (m-2) -12(m-2)+1 ,f (xhin =f(m戶m3-12m + 1 ,二 f (xhax-f(x)min =6m2+12m+16兰 16m，得 m < -2mH；又 0 cm <2，二 mrnin =4.已知函数 f(X )=4x-x4,x忘 R .(1) 求f (X )的单调区间;(2)设曲线y = f(x )与X轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方 程

15、为y = g(x)，求证：对于任意的正实数X，都有f(x)兰g(x)；(3) 若方程f(x尸a(a为实数)有两个正实数根X1, X2,且x,<X2，求证:aX2 -Xr <3【思路引导】(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；(2)设出点P的坐标，利用导数求出切线方程g(x)=(XoXx-Xo )，构造辅助函数F(x)=f (x)-g(x)，利用导数得到对于任意实数X，有F(x)兰F(Xo)=O , 即对任意实数X，都有f(xRg(x ); (3)由(2)知，g(x)=-12(x-43丿, 求出方程g(x) =

16、 a的根，X2-+43 ,由g(x)在(二，畑)单调递减，得到12全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)他沁,同理得到Xi'兰X1 ,根据不等式性质则可证得1a 3X2 x*!兰 X2 X + 43试题解析： 由/（x） = 4x-x可得/jc） = 4-4a ar（jc）o ,即时，函数才（刃单调递増；当f （力0,即C1时，函数/（刃单调递减.所臥函数的单调递增区间是（.1）.单 调递减区间是（L-Kc）.i殳尸（和0）,则兀=4亍区）=12*曲线f =在点P处的切线方程为y = fx（x-x,即盟（兀）二f （兀）（兀一斗）*令巩工m刃一讥工）即W=/W- /）（-）则r

17、（x）=rx）-r（z,）.由于广（刃=4说在TO"+0O）单调递甌故尸（力在（YO=TO单调递减，又因为Fg",所以当兀戢70压）时，F'（x）'0,所臥当XE （兀,炖时，F' x） 0 ,所以F（对在TO.%）单调递聲在（.-NO）单调递减，所決对任S的实数X, Fd）F（規）=0 ,对于任青的正实数莪都有(3)由(2)知 g(x)=-12 X-43，设方程g（x）=a的根为X2 ，可得1X2=-+43 ,因为g（x）在（二，畑）单调递减，又由（II ）知12g（x）3 f 2X =不（gx,所以xX2'.类似的，设曲线y=f（x）在原

18、点处的切线为y二h（x）,可得h（x） = 4x ,对任意的x（Y,P ），有f（X）-h（x）=-x° 0 即 f（x）兰h（x）.设方程 h（x）=a 的根为 x；,可得oxi蔦，因为h（x）=4x在n单调递增，且狀捲）""（心心,1 因此，x1'<x1,所以X2X1兰X2x；=中433X15 .已知函数f （x） = ax+旦-a（a- R,aHO）在x=3处的切线方程为(2a -1 )x -2y + 3=0 .(1)若g(x)二f(x+1)，求证：曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y =ax围成的三角形面积为定值;【思路引导】

19、 根据导数的几何意义， r(3 )为切线的斜率，解出b，写出g(x )的切线方程求出三角形的面积为定值.2(X-1)试题解析：证明：(1)因为( X) = a-，所以( 3)ab” , b=2422又 g (x) =f (x+1) =ax+-,x2设g (X )图象上任意一点P( x0, y0)因为g'(x) =a- 7所以切线方程为y-(axo+W) = (a-二)(x- x。)XoXo令 x=0 得 y=; 再令 y=ax 得 x=2x 0,X0Xo故三角形面积Sl ±|2x 0|=4，即三角形面积为定值.6.已知函数 f(X )= X3 +mx2 + nx ( m,n

20、亡 R )(1)若f(x )在X"处取得极大值，求实数m的取值范围;(2)若f'(1)=0，且过点P(0,1有且只有两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数m的值.【思路引导】(1 )根据条件得(1)=0,化简得3 + 2m+ n=0 ,再根据有极值得3x2 +2mx +n=0中判别式大于零，进而得m H-3 ,最后列表分析极大值条件得-卜警>1,解得实数m的取值范围；（2）切线条数的确定决定于切点个数，所以设切点，转化为关于切点横坐标的方程2x/ + mXo2+1 = O , 再利用导数研究函数h（X ） = 2x'+mx2+1有两零点，即极值为零，解得实数m的

21、值.试题解析：（I > fYx） = 3x2 + 2iEx + n由导3 + 2m+fi=0A = 4m I2n >0,（m +3）2 >0,得到m H-3（藍）=3丁 + 2mx （2m + 3）二（x. 1）（3蓋 + 2iii + 3） /-r（x）=o,得孟=或盟=一（1+孚由题-fl+ = 1>1.解得 m < 一3 由得m < -3（II）由屮）=嗨3 + 2m + n=0所叹+2mx-（3 + 2m）全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）因为过点（0目与曲线y = /（乂）相切的直线有目仅有两条, 令切点是尸（兀,耳0、则切线方程为y

22、-比=广（兀）（筑-兀）由切线过点（0,1）.所次有1% = f （兀）（勾 二 1 -码/+(3 + 2/m) = 3jc2 +2/?%-(3+2胡)(-兀)整理得2兀m+/«x + l=0所头 关于孟戲方程2x（ +甲f +1 = 0W两个不同的实根.令h（3i）=2J+m3?+h则11（$）需有两个零点h'(x)= 6x +2nix所以m H 0,且丫只）=“导筈=0或孟=罟=0又因为h（o） = i所以彳卜0所比（-于）E（寸）解得m = _3,即为所求.点评：函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为 0的点，再判断导数为0的点的左、右

23、两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f'（x）7求方程f'（x） = 0的根7列表检验f'（x）在f O )=0的根的附近两侧的符号7下结论. 已知极值求参数.若函数f(x)在点(X0,yo )处取得极值，则f'(Xo)=O ,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.7.已知函数(1)若直线Xf(X )=e , g(x )=1 nx +2 .y=kx+b是曲线y=f(x )与曲线y = g(x )的公切线，求k,b ;【思路引导】(1 )设直线y=kx+b与y=ex切于点P(x,e),与y = lrn<+2切于Q(X2,Inx2+2 ), P处的切线方程为

24、yyx+U-. Q处的切线方程为y= = x+lnx1 .根据这两条直线为同一条直线，可得关于X1和X2，解X2得Xi和X2的值，从而可得结果;试题解析：对函数y-求导，得对函数 = liix+2求导，得X设直线F = 十6与，=£.切于点P（九了），与F = 1iix+2切于）3（花十2）.=总岭（jc-西），艮卩y =总*1乂+（1 西总1 ,在点0刘的切线方程为：y1HX1 2 =（兀一花），即= jc+Inx+l这两条直线为同一条直线，所臥有 无（1世軌=/吒 + 1（2）由有画=hix,代入中，有0-町（1 一花）=0,则画=1或为=1.打=当西=1时，切线方程为了=豪，所

25、臥仁"b= 0左=1当:,=1时，切线方程为j = x+1,所以-i = I点评：本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调 性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现 在以下几个方面：（1）已知切点A（X0,f（X0）求斜率k，即求该点处的导 数k=f'（X0 ）； （2）己知斜率k求切点A（xi,f（xi“即解方程f'（xi）=k ； 巳知切线过某点M（x,f（xi）（不是切点）求切点， 设出切点全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)A(Xo,f (Xo )利用 k = f df WX )求解.Xi Xo8.已知函数f(x)

26、=xWx2+ax+b ( a,b为常数)，其图像是曲线C .(1)设函数f(x )的导函数为(X ),若存在三个实数Xo，使得f(Xo)=Xo与f'(Xo)=O同时成立，求实数b的取值范围;(2)已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线li与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线li,l2的斜率分别为k,k2，问：是否存在常数A,使得k2?若存在，求出A的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(1)由于存在唯一的实数Xo，使得f(Xo)=Xo与(Xo)=O同时成立，则X+|xJ(a-1)x+b=0，存在唯一的实数根 Xo，即 b=2xU§x2 + x

27、存在3x2 +5x+ a=o2唯一的实数根Xo，就把问题转化为求函数最值问题；(2)假设存在常数扎，依据曲线C在点A处的切线li与曲线C交于另一点B ,曲线C在点B处的切线l2，得到关于几的方程，有解则存在，无解则不存在.3x + % + /3 = 0试题解析C)/'(k) = 3/+口，由题意知 m 5 ,，消去S得2卅+：爲+斗j-i=O<bp花 + 产+%+b=02有三解-令£(对=2/+ 则y(乂) = (2咒+1)(3兀+小分析单调性,£71即一<i< 548设/(%,/(%»则点/处切戋方程为7-/(兀)=/'(兀心-

28、兀n与曲线c： =/(x)联立方程组，得才/区)=/(兀3兀h即(兀r "(2%所以点的横坐标帀=-仏 + ) 由题意知,= /(Ao) = 3；¥fl + 5xo + J 耐=/'(-2兀0 - ) =+20孔 +H-a,若存在常数几使得怠=碣，24则12卅+2%十一十"几(3蓝+$算严(0,即常数几使得(3鼻：+瓯)(4-刃miM-年，所以44252S25八，解得C仏心令.故当"令时，存在常数宀4,使得(2 - l)tj - - 0,1212*2=銘；当"老亓时，不存在常数2使得人严銘.9.已知函数 f(x)=blnx, g(x)=

29、ax2-x(a R).(1)若曲线f(x与g(x )在公共点A(1,0 )处有相同的切线，求实数a,b的 值;(2)当b=1时，若曲线f(x与g(x )在公共点P处有相同的切线，求证: 点P唯一;(3) 若a。, b=1，且曲线f(x与g(x)总存在公切线，求：正实数a的最小值.【思路引导】(1 ) T曲线f (X)与g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，f(1) = 0/. g(1) = 0,解出即可；(2 )设P(xo,yo),由题设得f'(1 ) = g'(1 )f (xo )=g(xo ), f，(xo )=g(xo )，转化为关于Xo的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；(3)设