导数应用常见九种错解剖析专题汇编

1、全国名校高中数学导数专题优质试题汇编(经典试题附详解)导数应用常见九种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利 用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者 在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。一、对导数的定义理解不清致错f(1+Ax)-fQx)()盂N)例1、已知函数仙=存_|宀6，则啊A -1 B 0 C-1 D 22错解：常f/(X)=x2x2原式=f/(1) =-1，从而选；或/32/f(X)=x -2x，”.原式=f (0) =0定义剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数 中“从”与“ 3”的对应形式的多样性正解：原式=，im十创

2、-Wlim 1 /()-f(11厂匚1 ,从而应选C。32x2 2 (1+3-1 22心X必须2Z , - Ax等。在导2心X ”与“迥”的对应形式的多样性，但不 AX ”与“納”的一致性。“可导”定义理解不清致错。在x=xo处可导是函数y=f(x)在x=xo处连续点评：仏)=鹦寮鹦侬+；-5),函数在某一点X0处的导数， 就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变 量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量 保持对应一致，它是非零的变量，它可以是- 数定义中应特别注意“ 论哪种形式都应突现“二、对“连续”与 例2、函数y=f(x)的()D、A、充分不必要条件B必要不充分

3、条件C、充要条件既不充分也不必要条件错解： 认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选C。或 者对充分、必要条件的概念不清而导致错选B。剖析：防错关键是(1)理清充分、必要条件的概念；(2)函数y=f(X)在X=X0处可导必在X=X0处连续，函数y=f(x)在X=X0 处连续不一定在 X=X0处可导。如函数yxl在X= 0处连续但在X= 0 处不可导。-y=x, X学 又寫 Iim+f(x) = lim# = 0, lim f (x) = lim (x) = 0,. f (x)在X , X 邑 0心母 Tjj0X= 0 处连续，与=f (0 +Ax) f (0) =|Ax|A 2m + 学=1，

4、m = T，二当人X T 0y =|x| 在时，纽的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数x= 0处不可导。从而本题应选A。三、对f/(xo)为极值的充要条件理解不清致错。10,求a、b的例3、函数f(x)=x 3+ax2+bx+a2在x=1处有极值值。错解：f/(x)=3x2+2ax+b,由题意且 之得 a= - 3知 f/(i) =0,且 f(1) =10,即 2a+b+3=0,2f/(Xo)为极值的必要条件当作了充要条 f/(Xo)=O且X0附近两侧的符号相反.，a +a+b+1=10,解 a=4,b= - 11 ,或 b=3剖析：错误的主要原因是把件,f/(x0)为极值的充要条件是

5、所以后面应该加上：当a=4,b= - 11 时 f/(x)=3x2+8x- 11= (3x+11)(x 1),在x=1附近两侧的符号相反，二a=4,b= 11.当a= 3 b=3 时f1 (x)=3 (x 1)2,在x=1附近两侧的符号相同，所以a= 3 b=3 舍去。二(a=4,b= 11 时，f(x)=x 3+4x2 11x+16 的图象见下面 左图，a= 3 b=3 时(f(x)=x 3 3x2+3x+9的图象见右图。)四、对函数的单调区间考虑不全致错例4、求函数f(x)=7xIn(x+1)(X0)的单调增区间。错解：由题意得 f/(x) =0，二 X2-2x +1a0，二 XH1，又2

6、Jx x+1因为函数的定义域是(0, +-),所以函数的单调递增区间是(0, 1 )和(1, +-)。剖析：本题错在对函数在x=1处是否连续没有研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是(0, +-).对于f/(x) 0 (或f/(x) 0 )的解集中的断开点的连续性，我们要进 行研究，不能草率下结论。五、对函数单调的充要条件理解不清致错ax +1x + 2例5、已知函数f(x)= 嘤在(一2,+ -)内单调递减，求实数a的取值范围。2a -1(x+2)20(或f/(x) 0)且f/(x)在D任一子区 间上不恒为零没有理解。而当a=1时f/(x)=0在(一2,+ -)恒成1 (

7、严 2)。错解：f如洛由函数f(x)在(-* )内单调递减知 f/(x) 0知 1 2x ;0= x 0知 12x30=x 兰丄，又 TxX2 0,0 xWl”.0x 兰丄，2& _x222因此原函数y = Jx X2的单调增区间为o评析：利用导数求函数的单调区间，别忘了考虑原函数的定 义域。八、忽视导函数与原函数图象关系致错。BX O则yyX 0例&设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如图所示， =f (X)的图象最有可能的是(错解：本题是一道咼考选择题，抽样表明许多考生由于对导 函数与原函数图象关系深入不够而凭空乱猜。剖析：由导函数的图象知，导函数在x=0和2时的导函数 值为0 ,故原来的函数y = f (x)在x=0和2时取得极值。当X兰0或X工2时， 导函数值为正(或0)当0x2时，导函数值为负，所以当x或X工2 时函数y=f(x)为增函数，当0x -1,c aO ,函数f(x) =x+b的图象与函数g(x)= 的图象相切。求b与c的关系式(用c表示b) o由函数的导函数就是曲线的切线方程知，故 X = -b O 从而有 X +b =x2 +bx +c= c = b2本题前面得到f (X)= g(x)，错解：剖析:x=F是对的，由于条件不够，就胡乱认得 2x +b =1 ,为：f(X)=g(x)而造成错解。正解：依题意令f(x)=g(x),得