常微分方程试题B答案

1、常微分方程模拟试题（B）参考答案2012J一、填空题（每小题3分，本题共30分）25儿（兀）一儿0） +儿（只）3.1/(0 三 0或lV(fo)=Oo/dy dx4.亠5. y = I6. n7.充分9.sa,Re 5 10. (- oo,+oo(3分)令非齐次方程的特解为y = CG)严二、计算题（每小题5分，本题共20分）11.解：齐次方程的通解为代入原方程，确定出C（x） = J“+C原方程的通解为12.解:（5分）对应的特征方程为：才+2 + 1=0,（3分）/3/?解得入=-4+/a： =-i-/22（5分）所以方程的通解为：x = e（c, cos 213.6dx所以此方程是恰当

2、方程.（3分）14.凑微分，xdx - 2ydy + ydx + xdy = 0得一疋+小一y2 = C（5分）令 x-y = 5 = t,则仝=1-.dx dx原方程化为J-虫=丄，变S分离(f-7M-7xdx t-1（3分）（5分）两边积分*2代回变量-(xy +5)-7(x-y + 5) = -7x+e乙三、计算题（每小题10分，本题共30分）15.特征方程为1-A41-/1=0.（4分）=Ci+C,（10 分）字= P（x）y,dx这是一个变量分离方程，通解为y =这里c是任意常数。假设y = c（x）00皿是型=P（xy + Q（x）的通解，代入方程，则有 dx16.解:(!)（4分

3、）特征根为人=3.几2=-1=3对应特征向量应满足1-3111o_ 41-3_o_可确崔出f2_同样可算出儿=-1对应的特征向量为1 -2_所以.原方程组的通解为如2=皿dx积分后得到c(x) = jQ(x)e gJx + c,（8分）这里？是任意常数，方程的通解为（10 分）I Pxdx f PCY)* ,y = e (I Qxe 丿 dx + cI17.解:设f(x. y)= - y则堂=丄门(丫工0)2 勿 2故在yHO的任何区域上堂 存在且连续,（4分）因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，y三0是通过点（0, 0）的一个解;（6分）又哙=討解得,3|y| =(A-

4、c)-所以，通过点（0, 0）的一切解为y三0及lylh(xc),cG是常数（10 分）四、证明题（每小题10分,本题共20分）18.证明：必要性 若该方程为线性方程，则有d = P（%） +e（x）, drI P（ vlf/v（4分此方程有枳分因子（兀）=0丿a）只与X有关.充分性若该方程有只与X有关的积分因子“（x）,则 pxdy-pxfx. ydx = 0 为恰当方程,央而 6（-刃）心） 纱=/（X）dydx ，dy /（%）（8分）（10 分）于是方程可化为tfy-(P(x)y + 0(x)Mv = O即方程为一阶线性方程19-证明：0（x），0（x）的朗斯基行列式Wx) =勿X) 肖(X)0(X)0(X)0（）,仔（X）是基本解组，故若存在如乩 使得0（兀）=0（%） = 0,则由行列式性质可得VV（Xo） = 0矛屑.即 汎V）最多只能有简单零点.同理对0（x）有同样的性质.故 得证.若存在XqGR ,使得0（Xo）=肖（兀）=0,则由行列式性质可得W（兀）= 0,矛盾.即0（x）w（x）无共同零点.故（i