常微分方程自学练习题(20210112020234)

1、常微分方程自学习题及答案一填空题：一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.二阶线性齐次微分方程的两个解yi（x）;y2（x）为方程的基本解组充分必要条件是方程y-2y'+y = 0的基本解组是一个不可延展解的存在区间一泄是方程冬= Jl-y2的常数解是_ dx区间.方程x-p（tW+ = g,x = O 一个非零解为Xj，经过变换.若4是线性方程组X '=A（t）X的基解矩阵，则此方程组的任一解4“产8910一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为_ 满足条件的解，称为微分方程的特解.如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为.一阶线性方

2、程y'+p（x）y = qx有积分因子（“=12求解方程另一 S的解燃13 axy- + 3x-ydx + (x+ y)xfy = 0为恰当方程，则 八.dyr14dx ，./e：闵<ly|< 1由存在唯一性世理加解的存在区间是（）（0） = 015方程生-5型+ 6，= 0的通解是（、dx）dx 16方程 17若向量函数Y心）;丫2（/）；丫3（切Y“（x）在区间D上线性柑关,则它们的伏朗斯基行列式W （X）=18若P（X）是方程组空=A（x）Y的基本解方阵则该方程组的通解可表示为.ClX二单项选择:1方程纟=兀-亍+ $满足初值问题解存在且唯一楚理条件的区域是（ ax（

3、A）上半平而（B）xoy平而（C）下半平而（D）除y轴外的全平而2方程冬=Jy + K ）奇解dx(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个在下列函数中是微分方程y'+y = 0的解的函数是(A) y = (B)y = x(C) y =sinx (D) y = e方程= 0*=兀的-个特解形如()(A)。/” =b(B) axe + hx (C) +hx + c(D)心g" + bx + cdvfy)连续可微是保证方程丄=fy)解存在且唯一的()条件.dx(A)必要 (B)充分 二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间(C)

4、充分必要(D)必要非充分(B)构成一个3维线性空间(D)构成一个无限维线性空间方程d = 3W过点(0,0)有( dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解 (D)只有三个解在区间，-oO</< 8上的解是(初值问题*=(B)"=P(C) H(f=>、(D) M=z、el-f丿l-f丿0丿(A) %X , x(o> =方程 +cosx = 0是().dx(A) 一阶非线性方程 (B)阶线性方程(C) 超越方程(D)二阶线性方程10方程生+3少=0的通解是().) dx(A)C +(2戶(B) CiX + C?”亠 (C)C,(D)C尹亠z/y+ 4-

5、+ 4y =。的-个基本解组耿(A)xe -(B)l,严dx12 若 yi 和 y2 是方程+/?(x)+ </(%)y = 0 的两个解，则 y =+0莎 (5®V dx )dx为任意常数)(A)是该方程的通解(B)是该方程的解（C）不一定是该方程的通解（D）是该方程的特解13方程 = Jl-y2过点（0,0）的解为y = sinx,此解存在（） （ix(A) (Y+8)(B) (-00.0(C)0,+oo)（D）-雪 16 求(3x" + ()xy+ (6x">' + 4y')dy = 0 的通解.14 方程 y=3Fy Y“是(（

6、A）可分离变量方程 （B）齐次方程（C）全微分方程（D）线性非齐次方程15微分方程生一丄y = 0的通解姥（ ）dx XC(C)y = + c (D) y =x + c X（A） y = -（B） y = bX16在下列函数中是微分方程）+y = 0的解的函数是（A)y = 1(B) y = x (C) y = sin x (D) y = e 17方程的一个数解y”形如（(A) ae +h(B) axe + hx(C) aQ +hx + c(D) eixe" + hx + c18初值问题*x；x(0) =A在区间一O0<z <8上的解是（I、(A)% = =(C)%)=(

7、D)叫“=rJ >H丿c /0三求下列方程的解：1求下列方程的通解或通枳分:dy(1)= yhiydx/ 2y2+上X</V5 y = xy'+2(y')(4) 2xydx + (犬2 - y)dy = 0求方程的解X一 tx=0解方程：d = y2 COSX并求出满足初始条件:当X=0时沪2的特解 dx求方程：d = = + fg二clx X X5求方程：生=6上一小2的通解（ix X4伯努利方程5 Lipschitz 条件6线性相关求解方程：害辺害*0，亠十d'x1未方穆乔"的解求方程”一5)4 - 5/2的通解10求下列方程组的通解<d

8、x=y+dtdv=-X dtsin/y j-yb (-1) = 012求方程的通解11求初值问题2R:X+I<1< 1的解的存在区间并求出第二次近似解dy y話宀方法) d = n-dx X X+ 4y = 013讣算方程y'+4y = 3sm2x 的通解14讣算方程dx dx ,4 + 4.v = cosZ elt dt1516171819(3) (y - 3x" )dx - (4> - x)ciy = 0 (三种求下列常系数线性微分方程：y''-2y+Qy = w"试求x =试求矩阵A =试求矩阵A =X的基解矩阵-13-5的特

9、征值和对应的特征向量.的特征值和特征向量(y(3 2)11 2丿*解方程组需词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程五证明题1 在方程 y *+/?(%)y+t7(x)y = 0 中已知 p(x);q(x)在(-oo;+s)上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平而上不能与X轴相切. 2设X】、X2分別是非齐次性线方程cTx 严 r+乔r+ 6(5 = /；dX 叫证明：x,(t)+X2是方程+ G,(0- + - + Gjz)x = /,(z) + /,(r)的解。3设f(x)在0； +8上连续且lim f(x)=0求证J方程+y = f(x)的一切解y(x)： YTOCdx均

10、有 lim y (x)=04在方程y'+p(x)y'+q(x)y = 0中p(x)、q(x)在(一g+oo上连续：求证j若p(x)恒不为零：则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(X)是(-00,+8)上的严格单调函数。5证明：X|+X2是方程+ +A(0的解。deat6证明：函数组e-e (其中当心7时人工/1丿在任意区间(a,b)上线性 无关。常微分方程习题答案一填空题：2、3、4、2线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)7: xc'开5、6、X = J ydt7、,c为常数列向量y=x+c初始10、常微分方程8、9、11、ejp(x)dx12、x2+yjc;c

11、为任意正常数13、/14、15、5 P Cx =6 6 65 1 . y = -p-p6 616、417、018、0(x)G尖中c是确世的n维常数列向量二单项选择I、D 2、 C 3、 CII、D 12、 B 13、 D 三求下列方程的解4、D5、B6、C7. A8、D9、A 10. C14、 D15、 B16、 C17、 D18、 D1(1)解：当时.分离变量取不定积分，得pL十+cJ yUiy J通枳分为lny= Cc*(2)解：令y= XU,则d = “ + x也，代入原方程，得 dxdx(in rX=VI dx分离变量，取不世积分，得右卄心。)通枳分为：arcsin = 1/iCvX(

12、3)解：方程两端同乘以尸，得-5 dy -4y 辰"+X令y Z ,则-4y5 = ，代入上式，得dx dx1 dz z = x4dx通解为原方程通解为(4)解：因为罟f ,所以原方程是全微分方程。2解:取(xu,yo) = (0, 0)原方程的通积分为2xydx-£ ydy = Cxy $3 = C3”解：原方程是克莱洛方程通解为：y = cx+2c3/lxdx 1d Y设，=则方程化为y = 0 ,枳分后得 =（；1 KP = r/dtdttdt于是 X=CIt+CztVC3t-+C4l+C5集中 C八 C2，C3,C4、C5 为任意常数=譽+q（枠+ G”七+ - +

13、 G(Z)x.(Z) + - + G,(Z)-=fl(t) + f2(l)故 Xi(t)+X2为方程 d ；y)+ Gj (f)d 二y)+ + G”x(0 =fl(l)+f2 (t)的解。3解：将变量分离,得到两边积分，即得= sinx + c y因而，通解为y =-:sinx + c这里C是任意常数。以x=0.y=i代入通解中以决世任意常数S得到c =-7因而，所求特解为y =1-sinxdx dx解：以上=“及空=+ H代入，则原方程变为duX + " = / + tgu dxdu tgudx X将上式分离变量,即有,dxctgudu =X两边积分，得到fnsmu =tnx +

14、c这里q'是任意函数,整理后，得到令=C 得到sin u =±£*sinu = CXX解：令"yi得代入原方程得到dxdz 6 Z + XX这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量几得到1 c X"y " 7" T这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0 O 解： 这里 M =3x-H-6xy-N = 6x-y+4y ,这时因此方程是恰当方程。现在求U,使它同时满足如下两个方程 = 6xy + 4y6由（1）对X 积分，得到 M = x+3x'y+（y）为了确定将（3）对y求导数并使它满足（2）,即得i +讐 T+

15、4F于是如= 4y4dy枳分后可得将0（y）代入（3）,得到u = x+3xy + /因此，方程的通解为x? + 3xV + /=c这里C是任意常数 解：特征方程才+2才+ 1 = 0即特征根2 = ±i是重根，因此方程有四个实值解cost、(cost、Sint . tsint故通解为X = (Cl+C2t)COSt + (C3+C4t)Sin其中C】；C2 ； C3 ； C4为任意常数解：令乔=则方程化为：扌-严“积分后得丫=：1 即一 =C/于是 X=Clt5 + czt + Cjt- + C4l" + C5 dr其中C|；C2C5为任意常数，这就是原方程的通解。解 对

16、应齐次方程的特征方程为兄? -5兄=0, 特征根为人=0.兄2 =5齐次方程的通解为y=Ci+C2c5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的待解为 yi(x)=x (Ax-+Bx + C)代入原方程，比较系数确定出A=- , B=- , C= 3525原方程的通解为y = G+G严+丄»+丄疋+2兀352510解：先解出齐次方程的通解=Cicost一 sin/+C2Sintcosf13令非齐次方程特解为X=c,(t)COSZ+C2sin/3一 sinfcosfcosZsinfc,(叫-sinf cost=sinfc (Z)_0_J解得CM)= _G"积分，得 C,(Z)

17、 = lHsinZ,C2(/)=/通解为=GCOST-sinr+csin/cosZcosHnsinZ +zsinr-sin Zin sill Z +tcost11解:M=max f(X,y) =4 /z =)=故解的存在区间为 x + 1 < -M 42)qo(x)=0qi(x)=0+F(£2-0)dg = r=+ -q2(x)=O+Pg- - + -8-dg=- + -sr999363369XXX X 1 1=3918 60 42求方程的通解：1) 1=ax x + y解：变形g =匕二= ±v + y,将y看作自变量.x为未知函数 dx解齐线性方程 = -x.通解

18、为x = cy 心 y令微分得齐理址缪vq）dydy, L XJc(y)c(v)y由(1)(2)知一+y = +Vydyy虫型=1 积分得c(y=Y + c故x = (y + C y(?是任意常数) dy2)生=上+3上 dx X XVdvdudx dx解：令=u则y =于是=X+ UXdx则原方程变为x + u = u + tanudxdu tan»即=dx X将上式分离变量有coutdti =枳分得In sin”= Uix+e.c为任意常数。整理sinw = ±£' X令土ec =c0得sinM = cx(c H0)方程还有解lanu=0即sinu=0

19、,故通解为sinu = ex （c为任意常数） 3) (y - 3x- )dx - (4y - x)dy = 0(H种方法)解：法一，这里 M=y-3x-. N= - (4y-x )= 4-4yan办.T因此此方程是恰当方程现求。使驚，詈对(1)中 X 积分得 w = yx-x'+0(y)(3)对（3）中y求导色=牙+0"）=-4y6dy积分得0（y） = -2r，代入（3）得 =）戈一x'-2y2故通解为)戈-x'-2r=c, C为任意常数法二，重新组合得ydx - 3xdx - 4ydy + xJy = 0 ,即 ydx 一 dx' - 2dy +

20、 xdy = 0于是通解为Ay-，-2r =c次中C是任意常数。4)(字)“-5(字)2+4y = 0 ax ax解： 令 p =则 p4 -5/7" +4y = 0, v = /?" - "4dx44对 X 求导得 P = p业-p' = ( p- p),( p - p')dp- pdx = 02 clx dx 2dx 25 254 P 积分得(/?" _ ) _ px = c,x = 44-Y气.4513 C= =P_ = P 一一 P44P于是方程通解为51 3 C乳=屮)一一卩-一4 4/75 21 4y = -p -P44(p=

21、0)13方程)N+4y = 3sm2工的通解解：齐次方程是 y-+4y = 0,2-+4 = 0,42 =±2/y = c, cos2z + s sin 2/由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式Vi =x(Acos2x + Zjsm2x)3代入原方程-4A = 39B = O=> A = -.B = 043 ry, =xcoszx八 4故通解为y = -xcos2x + r, coslt + c sin2r，其中c©为任意常数cPx 4dx .14+ 4x = cosrdt clt解：特征方程2-42 + 4 = 0有重根2, =/U =2因此对应齐线性方程的通解

22、为X =（C, +，英中cbCz为任意常数。因为土f不是特征根，现求形如x=Acost + Bsint的特征解.代入原方程化简(3A-4B)cost+(4A + 3B)smt=coslA-23A-4B = W 25 于是故，4A + 3B = 0D 4D =25故通解为兀=C+ COSZ- sinA其中CI,C2为任意常数252515求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为y"-2/+IOy = O特征方程为才一？兄+ 10 = 0特征根为几a = ±3i a不是特征根,故原方程有形如y*=（ax+b）e上、的特解代入原方程得t/-,/? = - 故原方程通解为y*（心gs

23、in3f） + （才 =）几"2为任意常数）2 12 00 I=+0 20 2._0 0_16解：因为A =而且后而的两个矩阵是可交换的'2o'0 1'y 1 'o r02Z - exp_0 0_t =0 0E +_0 0_得到 expAf = ex pt +° 1+但是,2!0 1"2'o o'0 0 _0 0_所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是expAf = e"17解：特征方程为det(/l£ A)=X-2-11/1-4=加一6/1 + 9 = 0丙此，2 = 3是A的二重特征值为了寻求

24、对应于2 = 3的特征向量考虑方程组'1 -f1 -1e, =0(3E-Ac =是对应于特征值2 = 3的特征向量，苴中是任意常数.18解A特征方程为det(A 一 AE =3-25-53-/1特征根为血2 =3±5f对应于l=3+5i的特征向is» =满足19A-AE)u =-5i 5-5 -5i=0解得u=a为任意常数对应于几2 =3-5/特征向量V =U"f满足U1 /V丄V0为任意常数(A-/t,£)v = 0 解得v ="0HO解：A =32、1 2,的特征方程为detU£-A) =/1一3-I-2A-2= (A-l

25、)(/t-4)=021=1, /h=4 为特征根,(A-4£)n = 0=>»,=为方程组解a为任意常数.(A 一 4Eu =0=>/(2 =这样y2020为方程组解.为方程的解名词解释联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上 的微分方程称为偏微分方程。形如的方程,dv称为变量分离方程，这里/(x)0(y)分别是X y的连续函数。形如的方程，称为伯努利方程，这里P(x)，ew为X的连续函数，是常数5函数f(x.y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如果存在常数1>0使得不等式/(儿”)-/(儿2)S ” 一对于所有(X, ”)9(X,儿) R都成立丄称为Lipschitz常数.6世义在区间a<t<hh的函数“("心("大<'(0如果存在不全为零的常数CI.C2,.Ck使得恒等式C|Xj(r) +(