对称性与周期性(基础)

1、全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）第13页共14页对称性与周期性【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的 概念，明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性 质解决有关问题.基础梳理1. 奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)= f ( x)那么函数y = f(x)就叫做偶函数.一般地，如果对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)=-f(x,那么函数y = f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称.2. 奇、偶函数的性质(

2、1).奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.在公共定义域内: .两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数;.两个偶函数的和、积都是偶函数;.一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数3. 对称性(1).若对于R上的任意的 x都有f(a+x)= f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(2a +x) = f(-X),则y = f(x)的图象关于直线x=a对称.若对于R上的任意的x都有：f(2a-X) f(x)或f(2a +x) = -f(-x)或第1页共14页f(a+x) f(aX)，则y = f(x)的图象关于点(a,0)对称.若对于R上的任意x都有f

3、(a+x)=2b_f(a_x),且f(2a-X)=2b-f(x)(其中 awb)，则 f (2a +x)=2b-f(-x)，则 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.4. 周期性(1).周期函数：对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T) = f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.最小正周期：如果在周期函数y = f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做y = f(x)的最小正周期.一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.函数的奇

4、偶性与周期性均为全称命题.两个性质(1).若奇函数y = f(x)在x=o处有定义,则 f(o)=o.设y = f(x) y =g(x)的定义域分别是Di , D2，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶,偶x偶=偶，奇x偶=奇.三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：.定义法；.图象法；.性质法. 几条结论(1).若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax) = f(x)，且 f(2b-x)= f(x)(其中 ab),则2(b-a)是函数y= f(x)的周期.若对于 R上的任意x都有f(2a-X)f(x)，且f(2b-x)= f(x)(其中 ab)，则2(b-a)是函数

5、y = f(x)的周期.若对于R上的任意x都有f(2a-x) = f(x),且f(2b-x) f(x)(其中a0,aH1).ax +Va.证明：函数y = f(x)的图像关于点GT的对称;.求 f(_2) + f (-1) + f(0) +f (1)+f (2) + f(3)的值.f(l) + f(2)+f(3)+川+ f(口)n n nn竝逸判断函数的奇偶性的一般方法是：.求函数的定义域；.证明f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断.【练习1】判断下列函数的奇偶性:.七0,1/ +x,xv0.；|x

6、+2|-2.y=lg(x + Jx2 +1)；.迤範.判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(-x)f(x)，丄也来判断. f (X)【例2】设函数f(x) =xln(ex+1)-1X2+3,x引t,t(t 0),若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，贝J M +m =分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对f(x)求导.事实上，x理科学生，求导得f(x)=ln(ex+1)+_xjX，无法找到极值点，而文科学生不 e +1会对这个函数求导.因此，须从考察函数f(x)的性质下手，事实上，令 g(x)=xl n(ex+1)-x2，易求得 g(x)

7、=g(x)，故 g(x)是奇函数，故 g(x)的最大值2与最小值之和是0,从而f(x)的最大值与最小值之和是6.(1).求解析式；.画图像；.求值、比较大小、求最极值；.判断单调性(见第5讲).【例3】已知函数y = f(x)为定义在R上的奇函数，并且当x0时,试求y二f(X)的解析式.【练习3】(1).已知函数y=f(x)为奇函数，并且y = g(x)为偶函数，且f(x)-g(x)nX，试比较 g(1), g(0) , g(-2)的大小.1 +ax(2).设f(x)=v-1,a0,aH1 ,且m是不超过m的最大整数，求f(x)+f(-X)的值域.【例 4】.已知 f(x)=ax3+bx-5，

8、且 f(-2)=10，则 f(2)=【练习4】.已知函数y = f(X), y =g(x)均为奇函数，并且H(X)=af(x)+bg(x)+2在(0,址)上的最大值为 5,贝J H (x)在(虫,0)上的最小值X2 +1【解】f(x)=1十竺空，设g(x)=f(X)_1 = 2X：SinX，则g(x)是奇函数，因f(x)【例5】新课标文设函数fgxp+sinx的最小值为m，最大值为M ,X +1x+1最大值为M，最小值为m，故g(x)的最大值为M -1，最小值为m1，故M -1+m1 = 0, M +m=2 .考点三函数的对称性与周期性【例7】已知函数y= f(x)是定义在R上的偶函数，且y=

9、 f(x)的图象关于直线 x=2 对称，当 X 引2,2时，f(x) = -x2+1.(1).求证：y=f(x)是周期函数;.当X引匕一?时，求函数y=f(x)的解析式.审题视点(1).只需证明f(x+T) = f(x)，即可说明y=f(x)为周期函数;.由y=f(x)在-2,2上的解析式及y=f(x)图象关于x = 2对称求得y=f(x)在-2上的解析式;变题：当X可0,2时，f(x)=-x2+1，求当xq-6,-2时，求函数y = f(x)的解析式.(1).证明：函数y = f(x)为偶函数，则f(-x) = f(x)，函数y=f(x)的图象关于X =2对称，则f(X+4) = f (-x

10、) = f(X)，故y = f(X)是以4为周期的周期函数.(2).当2时，那么x+4引-2,2,又函数y = f(x)的图象关于x=2对称，那E么 f(x) = f(x+4)=(x+4)2+1,x-6,-2.迤型判断函数的周期只需证明f (x+T) = f (x)(T H 0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考 考查的重点问题.【练习7】已知函数y = f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x + 2) = f(x)，当 0x1 时，f(x)=x，求 f(7.5)的值.考点四函数的周期性的应用【例8】(山东)已知y = f(x)是R上最小正周期为

11、2的周期函数，且当0兰x：2xey = 277；-e +1时，f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为 f(X)+ f (-X)=1 n( Jx2 +e +x) -a +1 n( Jx2 +e -x) -a =1 n( Jx2 +e +x)( Jx2 + e-x) -2a =1 ne-2a=1-2a=0，故 a ，又当 a=g 时,gCxX二1), g(X)=r2 一 g=2：e1kg(x)，故 g(x)为偶函 2(2： -1)2(21)2(1-2：) 2(21)数.故存在a =1满足题设条件.25.已知y = f(x)是定义在R上的偶函数，y=g(x)是定

12、义在R上的奇函数，且 g(x)=f(x-1)，贝J f(2013) +f (2015)的值为【解】由题意得，g(_x) = f (_x_1)，又y = f(x)是定义在R上的偶函数，y = g(x)是定义在 R 上的奇函数，故 g(-x)=_g(x) , f(_x) = f(x)，贝J f (x _1) = _ f (x+1),故 f(x)=_f(x +2)，故 fx+4 f(x ，即 y = f(x)的周期为 4,故 f(03 gf f (2015) = f(3) = f(1)，又 f(1)= f(-1) =g(0) =0，故 f (2013) + f (2015) = 0 .56.已知y

13、= f(x)是定义在R上的奇函数，且f(5 + x) = f(-X),且f(1) = 1 ,f (2) =2，贝 J f (3)- f(4)=7.已知y = f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x) = f(-X)，当2,3时, f(x)=x，求y = f(x)在5,7上的解析式.I解】yJ；：；常8.设函数y=f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减, 且y=f(x)的图像关于直线X = 3对称，则f(1.5) , f(3.5) , f(6.5)的大小关系为.解关于X的不等式f(2) + f(xm.10.已知奇函数f(x)是R上最小正周期为3的周期函数，且f(

14、2)=0时，则 方程f(X)=0在区间(0,6)上解的个数的最小值为11.已知函数y = f (x)的周期为2,当X引弓 时，f(X)= X2,那么函数y = f (x)的图像与函数y=|igx|的图像的交点共有个.【解】本题可用图像法解.易知共10个交点.12.设函数y = f(x)是定义在(严母)上的偶函数，f (x+1)= f (x-1), 当 1 x J .2413.已知函数y = f(X)为R上的周期为2的奇函数，当X忘(0,1), f(X)= log2L1 -X则y = f(X)在(1,2)上的单调性为14.已知函数f(x)=72 .求证：f(x) + f(1-x)为定值.15.

15、设函数 fgJ +Iog2 亠，则 f ( f(-) +f(?) + f($=221-X555516. 已知函数f(x)=log2丝U的图像是一个中心对称图形，则f(x)图像的对4x3称中心坐标为.(右-1)17. 设A(X1,y1), B(X2,y2)是函数f (x)=丄+log2的图象上任意两点，且21 -XOM =1(Oa + OB)，已知点M的横坐标为 .求证：M点的纵坐标为定值;【解】因 OM =2(OA+OB),故 M 是 AB 的中点.设 M(x,y),由 X=2(X1+X2)=得，x, +X2 =1，贝J %=1-%2 或 X2=1-X1 .而111X1八尹1 “月齐匕论2()

16、X1X2X1X21XiX21X-Ix21X1X21 士斤匕1+log2(口) +log2(二)r1+log2(二二)匕1+log2(賦)r，故M点的纵坐标为定值118 .已知函数f(x) =1-snx迂R)的最大值为M ,最小值为m ,则1 + |x|M +m =12上海理已知y = f(X)+x2是奇函数，且f (1) = 1，若g(x) = f (x)+ 2,则 g(1)=【解】因函数y = f(X)+x2为奇函数，故g(1) = f (1) + 2，又f (1) M，故g(1) =3 ，f (T) = 3， g(T) = f(1)+2 = 3 + 2 = 1 .19 . 12山东理定义在R上的函数f(x)满足f(x + 6) = f(x)，当-3x-1时,f(x) = -(x+2)2，当1x0 且 aH1).a -12(1).求函数y=